正余弦定理举例教案

天津职业技术师范大学人教A版数学必修5正弦定理余弦定理的应用举例理学院数学0701田承恩教材分析本课是人教A版数学必修5第一章解三角形中的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。重点正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。难点根据已知条件如何找出最简单的解题方法。用应用数学的思想解决实际问题。关键让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。学情分析学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。学习目标知识与技能熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤过程与方法通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品质通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程情感、态度与价值观让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。教学手段计算机，ppt，黑板板书。教学过程（设计）教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图（一）引入（预计时间2分钟）同学们，众所周知，古有诸葛亮夜观天象，郑和七次下西洋，徐霞客游历多国名山大川。他们对我天文观测，航海和地理测量方面作出了突出贡献。随着当代科技与数学的发展，我们现在掌握了更先进的办法来认识自然。我们这一章解三角形的理论就在其中发挥了重要作用。前不久我们过了一个中国的传统节日——中秋节。中秋节的夜晚明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想。同学们想到了什么呢对，有的同学想到了月饼，那位同学说想到了嫦娥。很好。嫦娥奔月的神话故事想必大家都耳熟能详了。嫦娥因偷吃丈夫后奕从西王母哪里讨来的不死药之后，飘飘然就飞起来，因想念后奕就停在了离地球最近的月宫。讲到这里我有问题了。那遥不可及的月宫离地球究竟有多远呢早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约为385400km。他们是怎样测出两者之间的距离呢带着这一系列问题，我们进入今天的数学学习。教师需要用生动的语言引导同学思考。学生听讲思考引入这节课所讲内容，并给同学提出疑问。（二）回顾（预计时3分钟）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即常用于①已知两角和一边②已知两边和其中一边的对角。合并成一个就是如果知道一边，必须知道该边对角。余弦定理三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即常用于①已知三边②已知两边和它们的夹角。帮助同学回顾上节课知识。积极配合老师的提问，要快速记忆和掌握这两个公式。回顾上节课所学习的正弦定理余弦定理公式及基本应用。为下面的应用问题打下基础。（三）新课讲解（计时为8分钟）新课讲解新课讲解本环节一共给学生讲解两个例题，由易到难，让同学在解三角形测量长度这一类问题上有所了解与掌握。其中例1：如下图，设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧。在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°。求A，B两点间的距离（精确到0.1m）。分析：所求的边AB的对角是已知的，又已知角形的的一边AC，根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB。AABC解：根据正弦定理，得答：A、B两点间的距离为65.7m。（值得注意的是在解决实际问题中某些角度和长度我们是可以通过测角仪器和米尺测量的，这些条件通常默认为是已知条件）例二：如图,点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A,B两点间距离的方法。分析：用例一的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离。再测出∠BCA的大小，借助余弦定理可以计算出两点的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测的得CD=a，并且在C、D两点分别测的∠BCA=，∠ACD=，∠BDA=.在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得AABCD在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线。如例一的AC例二的CD.基线选择要适当。一般来说，基线越长，测量精度越高。通过例一例二由浅入深地给同学讲述利用正、余弦定理测量距离的问题，中间有些问题需要师生之间的互动。认真思考求解的一般步骤和方法，找出其中的规律。考虑例二有没有别的求解方法交给同学解答一般解三角形实际问题中测量距离的求解方法。让同学们了解到解三角形在实际中的应用是很广泛的。引出基线帮助同学进一步了解此类问题。（三）解答上课时候的问题——地月距离(记时1分钟)通过上面例一、例二的讲解，同学们对正余弦定理的应用有了一定的认识了吗那让我们返回去想想我们上课时提问的问题。两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一条子午线的柏林和好望角，测量计算出∠CAB、∠ABC的大小和两地之间的距离AB的长，从而计算出地月距离越385400KM.ABC现在我们再看这个问题是不是很简单，和容易解答了呢当然，随着科学技术的发展，还有一些更为先进和准确的测量距离的方法。启发学生独立思考的能力。结合所学最好能独立解答。回归课前疑问，用本节课所学知识解答。（四）小结（计时1分钟）拿到一个题目，我们要三步走：第一步要认真读题，找出题目中的已知条件和所求问题。第二步，把所求的边放到一个三角形中，并观察该三角形的已知条件能否求解。第三步，如果条件不足，把所需条件再放到一个已知条件多的三角形中求解。最终得到所求边长。希望同学们学习了今天的内容，能够灵活掌握正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤。并且在遇到现实中一些问题时，能的用我们学到的数学知识加以求解，达到学以致用的效果。（五）课后作业同学们课后自己完成12页课后题1和2.要求学生独立完成让学生熟悉解题的过程；加深了解。六、板书设计正弦定理余弦定理的应用举例一、回顾公式二、新科讲解例一公式例二