第六章定积分在几何上应用

微元第章六 平面图形的面章定分积 立体的体分 -1 U具有下列三个特点 U是与一个变 x的变化区间[a,b]有关的量章 U对于区间[a,b]具有可加性，即如果用分章 ax0x1x2 xn分把区间[ab]分成n个小区间xi1xi](i12n),分n相应地分成n个部分量UinUUii Ui的近似-2 Uif(i

(i1,2,"n其中xixixi1,ixi1xin Uf(ii 令max{xi}0,n章 n章 U f(积 0积

bf(b 这里Uif(i)xi含义是Uif(i 是较

即f(i)xi是Ui的线性主部一般地,如果某个实际问题具有上述的三个特点,-3根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；设想把区间[ab]分成n个小区间，取其中任一小区间并记为x,xdx]，求出相应于这小区间的部章分第分量U的近似值.如果U能近似地表示为[a,b]上六的 续函数在x处的值f(x)与dx的乘积(省略定的部分是dx的高阶无穷小)，就把f(x)dx称为量U积的元素且记作dU，即章分dUf(以所求量U的元素fx)dx为被积表达式，在b间[a,b]上作定积分，得U f(x)dx，即为所求量的积分表达式-4 第-5 平面图形的面1y设[a,b六 f(x),g(x)满六 f(x)g(x)x[a,b]积 则由曲线yf(x)积 yg( xa,x

f(g(SSba[f(x)g(

b-6 直线xaxb之间 因此选取x作为积章 变量,[a,b]作为积章 积

x

f(g(b (2)在[a,b]上任取一个区间[x,x f(x)g(x)为高,为底长的长方形,dS(f(x)g(-7 (3)以(fxgx))dx作为定积分的被积表示式在[a,b]b 六

S[c,d

a[f(x)g(ydydg(f(y(f(y),(g(y),cox xf(y),xg(y)(f(y)g(定与直线ycyd积分图形的面积SSdc(f(y)g(-8 yyxyoxxyyxyoxxx 两曲线的交点 选x为积分变量

x六x

dS

x S xx

x2 130 130y或选y为积分变量,y dSy

y21S1

y2

(2

y) 133 y) 1330-9yyxox1xxy yx 求由曲线yyxox1xxy yx解法 x xy六 积 该图形可以看成是由y x,y x,x1围成的平积 图形与y x,yx2,x 部分构成的,因此取x为积分变量 x4x41S01

x))dxx-10x

(x 3 x30

x2

2 61yyoxxxyyoxxxy第 积分区间为[1,2],2章2 S积

(y2y2分 2y 6

-11 例 计算由曲线yx36x和yx2所围成的形的面积. yx36 yx六

y(2,

选x为积分变量x[2,

yx362 x[2,

dS1(

6x

x

dS2(x2x36SS10S0

(x3

6x

x2)dx 3(x0-12

x36x)dx253例4在曲线ylnx(2x4)上求一点P，使得该点的切线与曲线ylnx,直线x2x4所围成y(y(t,lntylno24x六 (t,lnt (2t六章定 ylnt1(xt 4S(t)(x1lntln4 62lnt6lnt

-13S(t)62 S(t)0t3,S(3)422t

因此当t3时，面积最小。所求点为(3,ln例 求椭圆x

y2

1的面积. a 六章

xacos定 椭圆的参数方程ybsin定积 令xacos 则ybsin A

24ab2sin2 -142极坐标系下平面图形的面积设由曲线()及射线,围成一曲边扇形 ()六第[]上连续六 ,积分区

((x积定[],在区间[上任取一小区间[,d],积 地得到一小的曲边扇形,它可以用半径为(),中心S1S12(2dS12()d2-15同理,

(

2(

)(01()2(

(及射线,( S1S1222()21(o定

x 例6求心形线a(1cos)所围平面图形的面 a(1cos(a0). dS1a2(1cos)2 2-16 S2

1a2

(1cos)22a2 0

(12coscos2a232sin1sin23a2 六

例 求双纽线2a2cos2所围平面图形的面积定 分S S 0

cos2da 2-17 求由曲线3cos,1cos o3xo3x3cos六 1六 得积,

,

1 积分区间 ],因 S 3[9cos(1cos)2 3[8cos22cos1]d0-18 立体的体设空间某立体是由一曲面和过a,b且垂直于x轴 如果已知该立体上且垂直于x轴的各六第个截面面积SS(x),求此立体体积 其中S(x)为六章间[a,b]上连续函数积 积分为积分区间，在[a,b

xxdx],

x -19 VaS(VaS(b例9 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积第章 章 x分R 2y2 x分R垂直于x轴的截面为直角三角形

A(x)1(R2x2)tan2

V1R(R2x2)tandx2R3tan2 -20 例10 求以半径为R的圆为底、平行且等于圆径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 六 六章定x2y2R2定积

垂直于x轴的截面为等腰三角形

A(x)hyR2R VR2R

-21

x2dx12 yfx)(fx0)与直线xaxbx第 面图形绕x轴旋转一周而章的,求此物体的体积

yf( 积 取x为积分变量,[a,b]为积分区间,在[a,b]上任积 一点x,相应物体的截面是以f(x)为半径的圆,因此面积为Sxf2x),VVb2a (-22线xgy)(gy0)与直ycyd及y面图形绕y六第的,六章定

VVd2cg( 求由曲线y x,直线x4及x轴所围分yox4xx面图形绕x,y轴旋转一周所得立体的体积yox4xx 绕x轴旋x为积分变量[0,4]区间,-23 Vx

x)dx

xy 取y为积分变量,[0,2]六

4 积分区间,对[0,2]上任一y,相应的截面面积定分 S(y)(16y4分2424Vy

5-24例 求由曲线yex及yex在点(1,e)处的切线和 平面图形绕x, 第 第

yy yex在点(1,e)处切线方 章 yxxxeey1y1

e2x2

1y2

y2 Vy0e2

dy1(e2 (2

3

-25 例13求星形线x3 y3 a3(a0)绕x轴旋转构成旋转体的体积. x3y3a 第 xacos3 yasin3分 分令xacos3 则yasin3 V2

y

62

a3sin7tcos2

6a

2(1cost)costdcos0

-26例 yfx)直线xax及x 绕y轴旋转一周所得立

yf( xdx 章 取x为积分变量,[a,b]为积分区间,在[a,b]章 任取小区间[x,xdx],相应的曲边梯形可以近似地分 成底长为dx高为f(x)的矩形,其绕分

[(xdx)2x2]f(x)2xf(x)dxf(b2xf(x)dxb所 V2axf(-27 平面曲线弧设A、B

n Bn0 A0章

,

,"Mi ",Mn1,Mn定积

A 分无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的n|Mi1Mi|的极限存在，则称此极限为曲线弧ABi弧长-28 设曲线弧为yfx)(axbfx在[a上有一阶连续导数,六x,在[ab]上任取小第区间xxdx],以对应小切六定分 分

xdx

f((dx)2 (dx)2

ds 1y2ssba1y2 3例15计算曲线y x2上相应于x从a到b的一段3abab的长度.解

∵

x12 ds22六2

1(x1)2dx 1

s

1xdx x3x

(1a)2 例 解求曲线y

3t2dt的全长

3 y 3x23s 1y2dx

4x2dx 2 2

343343cos

-30

x(t), (ty(t其中(t),(t)在[上具有连续导数,且第 2(t)2(t)章则[[2(t)2(t)](dt(dx)2(dx)2分 2(t)2(tss2(t)2(t-31 例 求星形线x3y a3(a0)的全长xacos3解星形线的参数方程为 (0tyasin3第 s第