一阶线性常微分方程解法及其应用

一阶线性常微分方程解法及其应本文重点归纳了一阶线性常微分方程的分类及其基本的初等解法，比如变量分离方程，线性微分方程，恰当微分方程等。也初步探讨了常微分方程模型在生态问题，社会问题方面等多个方面的应用，文章介绍了单种群模型、理论的常微分方程模型建立,而学会从实际生活中抽象出这种数学模型尤为重要。以及用语言求解常微分方程。因为常微分方程广泛的应用于生活的各个领域，更是人们学习数学的一个重要组成部分，那么了解常微分方程的初等解法，是人们初步认识常微分方程和更好的应用这个工具的关键一步。：常微分方程，初等解法，模型应用RESERACHANDAPPLICATIONONTHESOLUTIONOFASTAGEOFORDINARYDIFFERENTIALEQUATIONThetextmainlyconcludedtheclassificationitselementarysolutionofastageofastageofordinarydifferentialequation.suchastheseparationofvariablesequation,lineardifferentialequation,theexactdifferentialequation.Anditsalsodiscussedtheapplicationofordinarydifferentialequationonecologicalandsocialissues.thepaperintroducesthetheoryofsinglepopulationmodelcompetitionandadvertisingtheoryofordinarydifferentialmodelestablished,andlearnfromreal sthemathematicalmodelisparticularlyimportant.Becausetheextensiveapplicationsofordinarydifferentialequationhavebeenputintouseineveryfield.What’smoreit’sanimportantpartforustolearnmath.SoavitalsteptolearnabouttheelementarysolutionofordinarydifferentialonlyinThistooltolearnabouttheordinarydifferentialequation：ordinarydifferentialequation,elementarysolution,modelApplication,绪 常微分方程的基本概 常微分方程的定 线性和非线 解和隐式 一阶线性微分方程的初等解 变量分离方 直接变量分离方 可化为变量分离方 线性微分方 线性齐次微分方 线性非齐次微分方 伯努利方 恰当微分方 一阶隐式微分方 直接 参数 常微分方程的应 种内竞争理论（单种群模型 理 常微分方程的实 总 参考文 致 附 绪程、控制论等各个数学分支的重要根基。17世纪末，常微分方程作为研究自然现象的工具快速的发展起来，伽利略研究自由落体运动、LeVerrier预见并确定么去用解决常微分方程问题十分方便。通过对其学习，能让大家掌握d2

例如

dt

cyf(tyt是唯一变量。 d2 dn方程左端是ydxdx2...

dn dn1

a1(x)dxn1an1(x)dxan(xyf(x即为n方程的一般形式，其中a1(x、a2(xan1(xxy(xy(x(x,y)0y(x)是方程的解，则称(x,y)0A(xy)dxB(xy)dy0A(xyB(xy中xyA(x,y)A1(xA2yB(x,y)B1(x)B2y则方程A1(xdxB2(x)dyf(x)ydyf(x)y 量分离方程[2]。若y不等于零，方程可化为(x)

dyf(x)y)dyx2y2

y2

dyx2dxarctany1x3c,3yta（1x3c），又因为1x3cx3(33(c),33(

dygy称其为齐次微分方程，令uyyux dyxduug(u)则可以得到： du1dx此方程即为变量分离方程

g(u) 例二、求解方程(xy)dyxy)dxx(1y)dyy1)dxyuyux u1du1dx即为变量分离方程两边同时积分并将uyu22arctany2

dy

其中前面的系数为常数[1]a1b1c

dykykxc，其中c a1b1kc1，令uaxbydu

bkuc1

ua1

，a1xb1yc1

axbyc 为(a,b，令Xxa

a1X

Y Y

Yy a2X dy2x

xX13解：首先我们要求方程组的解为：x ，y ，令：13

1313 yY

2XY

u

1 du

1dX X 2u22u (y1)2(y1)2(x1)(y1)(x3333形如dyp(xy形如dyp(xyQ(x，并且Q(xx且Q(x)0dyp(xyycepx)dxc为常数。因为齐次方程是非齐次方程的特殊情况，则可设想，将常数cx的待定函数c(x)yc(x)epx)dx，可得：dydc(x)epx)dxc(xp(x)epx)dx c(x)

Q(x)ep(x)dxdx

p(，，y 1方程转换为变量分离方程1例四、求解方程：dy xxcyc再利用常数变易法求解非齐次微分方程的解，令xcy

dydc(y)

cy

2xy3cy1c1y01dyp(x

的方程称为方程，其中n不等于0和1，下介绍利用变量变换法求解方程。由方程的形式可将方程化为yndyy1np(xQ(xzy1ndz1np(x)z1n)Q(x 化为了线性微分方程[3]。然后带回原来的变量可求其通解dyxyx3y3解由题意知此方程是n3 方程可化为y3dyy2xx3则令zy2 化为：dz2(y2xx3)，又因为zy2，则dz2zx2x3，即化为了 y2x21cex21，其中c为任意常数，y1dyf(x,

f(xy)dxdy0或者把xy看做同级，写成具有下面的对称形式的一阶微分方程：M(x,y)dxN(x,y)dy0M(x,yN(x,yx,y的连续程右端恰好是一个二元函数u(x,y)的全微分的形式时，即：M(xy)dxN(xy)dydu(xyudxudy 其通解就是u(xy)c，其中c2、微分方程的判断及函数u通过观恰当察M(xy)dxN(xy)dyudxudy，我们可以得到：

xMyN，两式分别对yx求偏导得：yx

y,xy

，又因为

MM(x,y),N(x,y)具有连续的一阶偏导数故yxxy所以得出： x若存在u(x,y)使其同时满足uMuN时，就能找到u(x,y) uMy看作参数则可以解得：uM(xy)dxy，其中yy何一个可微函数，我们只需选择一个y使u同时也满足uN,则uy

d(

d( 导得：yyM(x,y)dx

N

NyM(xy)dxxx xNyM(xy)dxxy[xM(xy)dxx

0yy)[N

M(x,y)dx]dy uM(x,y)dx[N

M(x,

,则其通解可表示为： M(x,y)dx[N

M(xy)dx]dyc，其中c例六、求方程(3x26xy2dx6x2y4y3)dy0

12xyN12xyu同时满足uMuNx积分可求得u的表达式： ux33x2yyyyuydy)4两边同时积分可得：yy4，则ux33x2y2y4，综上可得，其通解可以表x3y43x2y2c，其中c为任意常数。3若存在函数 ，在一定矩形区域内连续可微，且(x,y)c，使(x,y)M(x,y)dx(x,y)N(x,y)dy0变成一个恰当微分方程，即存在函数v得MdxNdydv，则 即为所要求的积分因子。则v(x,y)c就是要于MdxNdy0，若

(M)(N)NuMu Case1x有关，(xyyM到：Ndu(MN)则积分因子只与x有关的充要条件是： x(x)， 其中(xx

MCase2：积分因子只与y有关，同理令： x(y)，其中(y)是只ye例七、求方程y1xy)dxxdy0

1xN1M x1p(x1x有关，exNuxyexex(xy1)exyxyf(xdyf(xdy

p

xxf(xp

f pffp

p阶微分方程的初等解法即可得出其通解形式[1]pt(xcyf(x,t(x若求得：xtpc是任意常数

xt(p,yf(tpc

p例八、求方程dy)32xdyy0 dyd

两边同时对x求导并化简得：3p2dpxdxpdx0c3 2(c3p4当p0时：乘以p得：x ,yp3 p0y0xfydyxyxyF(xy0pydy，F(xy0的几何意义是平面oxpx(t，其中t

dypdxxy带入并积分得：y(t)'(t)dt，则原方程通解为：yy

，其中c可以任意的实数x2y'21xsinycostxsintyxsin

1sin2t

xsin tc则方程的解可写为参数方程的形式 y t其中t为参数

Fyy0pyyp(t，其中t为参数。由于关系式dypdx'(t)dt(t)dx，我们可得：x'(t)dtcx'(t)dt的形式： ，其中t表示参数，c为任意常数。另外，若F(y,0)yykyky21y2y解：有题意知，令2y'yt， 化为：y2(yt1)y2t2，带入得yt1ty1t2dxdy1dtx1cy t2 x1

1y y24y2种内竞争理论（单种群模型dN(t)rN为：

0N0

tt以通过分离变量解得：N(tertc，由初值条件得：clnN0rt0，带入可以求得N(t)N0e(tt0)我们称其为马尔萨斯（Malthus）生物增长模型[4]，它是最简单最基础的模型N(tdN(t)rN(t)[kN(t k被称为负容载量，那么生物总数的实际增长率我们用r1来表示rr[kN(t)]，当N(t)k时，r0，那么出生率 率是相等的，也 明了这是一个处于动态平衡之中的生物种群。这说明增长率r与种群密度之间dN(t)rN(t)[kN

为 N(t) {

N 表示：此时的方程写为 dN(t)rf[N

N dN(t)N(t)F[N(tlogistic f(t来表示第t 表示第t个月时该产品的所有费用，我们用M表示刚开始月份二、若市场持动态稳定销售，也就说产品的每个月销售是常数，并且有f(0)f(tF(t)f(t记为p(f 但是该产品的销售量肯定会饱和当其达到市场的最大容量时f(tMpf(t0f(t0pf(tpf(tF(tr也称r为衰减因子，表示的效果随着销售时间的增加而减小，自然衰减也是df(t)rf(t为：df(t)pf(t))F(t)，又因为pf(t))是关于f(t)的函数，我们可令p(f(t))

df(t)abf(t))F(tf(tM时，pf(t0abMf(t0pf(tpa

a b

带入 得 df(t)

f(t))F(t)，p表示影响系数，即 宣传力度对产品销售速度 合分析，就可以建立一个产 的数学模型，可以将方程表示为df(t)p(1

f用F 表示费用，根据上面的综合分析，我们可以设计一套方案F(t)0(tF(t)c(0tw)，即在w个月之前，我们投入F(t)0(t后，由于市场饱和，宣传将起不到效果，我们可以选择不做，则(0