《复变函数论》第六章

本文格式为Word版，下载可任意编辑——《复变函数论》第六章第六章留数理论及应用

第一节留数

1、留数定理：

设函数f(z)在点z0解析。作圆C:|z?z0|?r，使f(z)在以它为边界的闭圆

盘上解析，那么根据柯西定理，积分

?等于零。

Cf(z)dz

设函数f(z)在区域0?|z?z0|?R内解析。选取r，使01)。这就是说，在去掉中心z0的某一圆盘内（z?z0），

f(z)?1(z?z0)k?(z),

其中?(z)在这个圆盘内包括z??(z)泰勒级数展式是：

而且?(z0)?0z0解析，

。在这个圆盘内，

???(z)???n(z?z0),

nn?0由此可见，

Res(f,z0)??k?1,

因此问题转化为求?(z)泰勒级数展式的系数。假使简单求出?(z)的泰勒级数展式，那么由此可得Res(f,z0)??k?1；否则要采用其他方法求留数。

显然，

?k?1??(k?1)(z0)(k?1)!?lim?(k?1)(z)z?z0(k?1)!,

因此，我们也可根据以下公式计算Res(f,z0)：

Res(f,z0)?lim(k?1)!z?z01dk?1[(z?z0)f(z)]dzk?1k.

例6.1.2、函数

f(z)?seczz3,

在z=0有三阶极点，则

?(z)?secz?1?12!z?254!z?...,4

因此Res(f,0)?12.

由上述公式也可得：

Res(f,0)?12limddz22z?z0(z?3seczz3)?12.

例6.1.3、函数

f(z)?e2iz2z(z?1),

在z=i有二阶极点。这时

?(z)?eiz2z(z?i),

令z=i+t，那么在

h(t)?ei(t?i)2(i?t)(2i?t),

的泰勒展式中，t的系数就是f(z)在i的留数。写出h(t)中每个因子的到t的一次项，我们有：当|t|（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行探讨；

（3）我们只探讨应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有探讨。由于时间的关系，我们不探讨应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。例6.2.1、计算积分

I??2?dta?sint0,

其中常数a>1。解：令eit?z，那么sint?12i(z?1z),dt?dziz。而且当t从0增加到2?时，

z按逆时针方向绕圆C:|z|=1一周。因此

I??2dzz?2iaz?12z?2iaz?122C,

于是应用留数定理，只需计算可求出I。

在|z|1，那么z=i包含在Cr的内区域内。沿Cr取的积分，则有

1(1?z)221(1?z)22，这个函数有两个二阶极点，在上半平

?rdx(1?x)22?r??dz(1?z)22?r?2?iRes(1(1?z)22,i)?2?i14i??2.

其中?r表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。

现在估计积分??dzr(1?z)22。我们有

dz1(r?1)22|??r(1?z)22|???r,

因此

limr????dz(1?z)22

?0,?r令r???，就得到

?从而

I?12?????dx(1?x)22????2.

dx(1?x)22????4.注解1、我们计算所得的值是这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。

注解2、应用同样的方法，我们可以计算一般形如

I??????R(x)dx,

的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次。引理设f(z)是闭区域?1?Argz??2,r0?|z|???(r0?0,0??1,?2??)上连续的

复变函数，并且设?r是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段(r?r0)。假使当z在这闭区域上时，

limf(z)?0,

z??那么我们有

r???lim??rf(z)edz?0.

iz证明：设M(r)是f(z)在?r上的最大值，则有

|??rf(z)edz|?M(r)?e?riz?tsin?rd??M(r)?e0???rsin?rd??2M(r)?2e0?rsin?rd?.

由于当0????2时，

2??sin???1,

所以

???20e?rsin?rd???20e?2?r?rd?????0e?2?r?rd???2.

又由于

limf(z)?0,z??，所以

r???lim??rf(z)edz?0.iz

例6.2.3、计算积分

I????cosxx?120dx,

解：取r>0，则有

?函数

e2izrcosxx?120dx??re?e2ix?ix02(x?1)dx?12?re2ix?rx?1dx,

z?1在y?0除去有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析。取积

分区域如图，而只要取r>1。于是我们有

?r?re2ixx?1dx??e?r2izz?1d?2?iRes(e2izz?1,i)??e,

其中?r表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。

现在应用引理3.1，取f(z)?1z?12,?1?0,?2??,r0?2，那么在这引

理中所设各条件显然成立。因此，令

r???，就得到

?2er???lim?r?re2ixx?1dx??e,从而可见积分I收敛，并且I?。

注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如

I??????f(x)edt,

ix的积分，其中f(x)在Imz?0上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在Imz?0上时，引理中的条件满足。注解2、上面求出的广义积分也是其柯西主值。

注解3、假使函数f(x)在Imz?0上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些积分，如下例：

例6.2.4、计算积分

I????sinxx0dx,

解：取?及r，使r???0，我们有

r??函数

eizrsinxxdx???e?e2ixix?ixdx??i2[?reix?xdx?????reixxdx],

z只是在z=0有一个一阶极点。作积分路径如图，在上半平面

上作以原点为心、?与r为半径的半圆??与?r。于是我们有

??reixxdx??eiz?rzdz?????reixxdx??eiz??zdz?0,

在这里沿??与?r的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的。

现在求当?趋近于0时，??eizeiz?z1zdz的极限。当z?0时

z??h(z),

其中h(z)是在z=0的解析函数。因此