常微分线性微分方程的一般理论

常微分线性微分方程的一般理论第1页，共120页，2023年，2月20日，星期四理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求第2页，共120页，2023年，2月20日，星期四n

阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。4.1.1引言

n

阶微分方程一般形式：第3页，共120页，2023年，2月20日，星期四方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1及都是区间则对于任一及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果第4页，共120页，2023年，2月20日，星期四4.1.2齐线性方程解的性质与结构

定理2

（叠加原理）如果则它们的线性组合的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例有解第5页，共120页，2023年，2月20日，星期四证明第6页，共120页，2023年，2月20日，星期四问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。当是齐线性方程的解，如在上例中第7页，共120页，2023年，2月20日，星期四函数线性无关和相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为零的常数对所有成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。如上线性无关上线性相关上线性无关要使得则第8页，共120页，2023年，2月20日，星期四定义在区间上的k个可微k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式第9页，共120页，2023年，2月20日，星期四

定理3在区间上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式。则在证明由假设，即知存在一组不全为零的常数（4.6）（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到若函数的齐次线性代数方程组，关于第10页，共120页，2023年，2月20日，星期四它的系数行列式方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。不一定第11页，共120页，2023年，2月20日，星期四故是线性无关的。第12页，共120页，2023年，2月20日，星期四如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4设有某个，使得考虑关于的齐次线性代数方程组证明

反证法（4.9）第13页，共120页，2023年，2月20日，星期四其系数行列式，故（4.9）有非零解构造函数根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件由解的唯一性知，即因为不全为0，与的假设矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，线性无关证毕也满足初始条件（4.10）第14页，共120页，2023年，2月20日，星期四定理5

n

阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，线性相关定理4定理3重要结论方程(4.2)的解在区间上线性无关的充分必要条件是且任意n+1个解都线性相关。证明在上连续，取则满足条件存在唯一。第15页，共120页，2023年，2月20日，星期四线性无关。即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。任取方程(4.2)的n+1个解，第16页，共120页，2023年，2月20日，星期四任意n+1个解都线性相关。第17页，共120页，2023年，2月20日，星期四引理方程(4.2)的解组在上是线性无关(相关)的，当且仅当由它们构造的向量函数组在上是线性无关(相关)第18页，共120页，2023年，2月20日，星期四

定理6（通解结构）其中是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。如果n

阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。第19页，共120页，2023年，2月20日，星期四例

已知方程，求它的基本解组？并写出它的通解。分析：试探方法求其基本解组。则原方程的通解为第20页，共120页，2023年，2月20日，星期四

4.1.3非齐线性方程与常数变易法

性质1

如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，则性质2

方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。第21页，共120页，2023年，2月20日，星期四是任意常数，且通解（4.14）包括定理7为方程（4.2）的基本解组，是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为其中（4.14）设方程（4.1）的所有解。证明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立的任意常数，是通解。2)是方程（4.1）的任一个解，则是方程（4.2）的解证毕第22页，共120页，2023年，2月20日，星期四由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解组。只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐线性方程的解。一阶非齐线性微分方程求解中常数变易法的精神实质是什么？提问：为了寻找，只要再找n-1个限制条件即可，而这些条件在理论上是任意取的，当然以运算上“方便”为前提。适当选取方法，就可得到一关于的线性方程组，进而利用求解线性方程组的方法可求得。第23页，共120页，2023年，2月20日，星期四设为方程（4.2）的基本解组，为（4.2）的通解。（4.15）（4.16）非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键常数变易法为（4.1）的解。第24页，共120页，2023年，2月20日，星期四令第25页，共120页，2023年，2月20日，星期四（4.16）代入方程（4.1）第26页，共120页，2023年，2月20日，星期四方程组有唯一的解，设为（4.16）第27页，共120页，2023年，2月20日，星期四特解通解非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构:通解与自身的一个特解之和。第28页，共120页，2023年，2月20日，星期四3、非齐线性方程的求解步骤求对应齐线性方程的一个基本解组；用常数变易法求非齐线性方程的通解。方法一求非齐线性方程的一个特解；求对应的齐线性方程的一个基本解组；写出非齐线性方程的通解。方法二常数变易方法：把对应齐线性方程的通解中任意常数看成待定函数，给出n个限制条件即可求解。第29页，共120页，2023年，2月20日，星期四例1

求方程基本解组为，的通解，已知它对应齐线性方程的解解得原方程的通解为令第30页，共120页，2023年，2月20日，星期四第31页，共120页，2023年，2月20日，星期四例2

求方程于域解对应的齐线性方程为上的所有解。得易见有基本解组这里A、B

为任意常数。设为方程的解故得原方程的通解（为任意常数)

第32页，共120页，2023年，2月20日，星期四作业：P.131，第1，2，3（3，5），4，5，6，7题练习题，并求方程的基本解组为1验证的通解。2求方程方程的基本解组为，的通解，已知它对应齐线性思考题常数变易法中待定函数的条件如何选择？第33页，共120页，2023年，2月20日，星期四

关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具。4.2常系数线性微分方程的解法第34页，共120页，2023年，2月20日，星期四具体内容复值函数与复值解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法应用分析：质点振动第35页，共120页，2023年，2月20日，星期四4.2.1引子:复值函数和复值解1、复数及其相等的定义。2、有关定义：复值函数的连续、可导性等。第36页，共120页，2023年，2月20日，星期四1、复值函数在点连续的定义如果，就称在连续。如果对于区间中的每一实数t，有复数与它对应，其中和是在区间上定义的实函数，i是虚单位，就说在区间上给定了一个复值函数。如果实函数，,当t趋于时有极限,就称复值函数当t趋于时有极限，并且定义第37页，共120页，2023年，2月20日，星期四复值函数在区间上连续的定义：即表示在区间上每一点都连续。注：复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该点连续。第38页，共120页，2023年，2月20日，星期四2、复值函数在点有导数的定义如果极限存在，就称z(t)在点有导数（可微）,且记此极限为或者。显然在处有导数相当于,在处有导数，且第39页，共120页，2023年，2月20日，星期四3、复值函数的微分运算性质注意：同实值函数的微分运算法则一样。线性性乘积性第40页，共120页，2023年，2月20日，星期四4、复指数函数的运算性质设是任意一复数，这里是实数，而为实变量。基本性质重要性质第41页，共120页，2023年，2月20日，星期四5、复值解的定义定义于区间上的实变量复值函数称为方程（4.1）的复值解。如果对于恒成立。第42页，共120页，2023年，2月20日，星期四定理8：

方程（4.2）的复值解的实部和虚部也是对应方程（4.2）的解。定理9：

复方程的复值解的实部和虚部也是方程对应的实方程和虚方程的解。6、两个重要定理第43页，共120页，2023年，2月20日，星期四问题：常系数线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解-如果？常数变易法(至少)比较系数法Laplace变换法有无其它方法？？?欧拉指数法第44页，共120页，2023年，2月20日，星期四4.2.2常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程欧拉（Euler）待定指数函数法

特征根是单根的情形有复根的情形特征根是重根的情形应用欧拉方程1、框架第45页，共120页，2023年，2月20日，星期四2、常系数齐线性方程其中是常数。此时，称（4.19）为n阶常系数齐线性方程。若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式：第46页，共120页，2023年，2月20日，星期四3、欧拉（Euler）待定指数函数法引子：一阶微分方程解形式的启示有指数形式的解：对于n阶齐线性方程（4.19）是否也有类似形式的解？下面用试探法进行讨论。提问第47页，共120页，2023年，2月20日，星期四假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解于是有：要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。第48页，共120页，2023年，2月20日，星期四求解常系数线性微分方程问题转化为求解一个代数方程问题。第49页，共120页，2023年，2月20日，星期四设是特征方程（4.17）的n个彼此不相等的根，则相应地方程（4.16）有如下n个解：可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程（4.19）的基本解组。如果均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个线性无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为:其中为任意常数。3.1特征根是单实根的情形第50页，共120页，2023年，2月20日，星期四例1

求方程的通解。解：(单实根)特征方程为：特征根：通解：对应的基本解组：第51页，共120页，2023年，2月20日，星期四3.2特征根是单虚根的情形设有单复根，此时，由定理8，可以求得实值解：第52页，共120页，2023年，2月20日，星期四例2求方程的通解解：(复单根)特征方程为：特征根通解对应的基本解组第53页，共120页，2023年，2月20日，星期四3.3特征根是重根的情形设特征方程有k重根，由代数学基本知识有：下面分三步来讨论基本解组的构成：先讨论，此时，有线性无关的函数组：讨论把这种情况通过变换化为第一种情况。再构成线性无关的函数组：第54页，共120页，2023年，2月20日，星期四特征根的重数分别为：则有线性无关的函数组：第55页，共120页，2023年，2月20日，星期四对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。譬如假设是k重特征根，则也是k重特征根，仿1一样处理，将得到方程（15）的2k个实值解：第56页，共120页，2023年，2月20日，星期四例3求方程的通解特征方程：解：复重根的情形对应的基本解组：通解：特征根：是2重根。第57页，共120页，2023年，2月20日，星期四4、欧拉方程定义：形如的方程被称为欧拉方程。欧拉方程的求解方法是通过变换变为常系数齐线性方程，因而求解问题很容易解决。引进变换：得到常系数齐线性微分方程：

利用齐线性方程的求解方法可求得其解，然后带回变量变换即可完成欧拉方程的求解。第58页，共120页，2023年，2月20日，星期四及由数学归纳法，不难证明其中都是常数。事实上，由，有注：如果，则用所得结果一样，为方便，设，但最后结果应以代回。第59页，共120页，2023年，2月20日，星期四于是对应于欧拉方程（4.23）的齐线性方程有形如的解，从欧拉方程有形如的解。若以代入欧拉方程，得到其对应的特征方程：方程（4.25）的m重实根，对应于方程（25）的m个解方程4.25的m重复根，对应于方程（4.23）的2m个实值解欧拉方程的解第60页，共120页，2023年，2月20日，星期四例5求解方程解：分析原方程为欧拉方程，于是有：得到确定的代数方程：方程的通解为其中是任意常数。特征根为二重实根：寻找方程的形式解，法一：利用欧拉方程求解过程进行求解；法二：可以直接利用欧拉方程的求解方法求解：第61页，共120页，2023年，2月20日，星期四例6求解方程解：分析可知，这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，于是由欧拉待定指数方法求解。特征方程为：或特征根为：第62页，共120页，2023年，2月20日，星期四于是可以写出这个方程的一个基本解组为：于是可以写出这个方程的通解为：其中是任意常数。第63页，共120页，2023年，2月20日，星期四4.2.3非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法——求特解考虑常系数非齐线性方程其实，该方程（4.26）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（4.1）的求解问题，即比（4.26）更一般的微分方程（4.1）的通解问题是这样解决的：（常数变易法）用先求出对应齐线性方程（4.2）的一个基本解组，然后找出（4.1）的某一个解，根据前面的定理7就可以写出（4.1）的通解。于是也就完成了（4.26）的求解问题，只是用常数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算。（注：大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性。）但是，在解决实际问题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即带有特殊形式的微分方程，为此，在这里，介绍两种常用的方法：比较系数法和拉普拉斯变换法，它们的共同特点是不需要通过积分而用代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解。第64页，共120页，2023年，2月20日，星期四类型Ⅰ那么，方程（4.26）有形如①如果不是特征根是特征根②如果作变量变换，（4.26）化为特征方程的根对应于（4.27）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有：的特解。其中k为特征方程的根的重数而是待定系数，可以通过比较系数来确定。一、求特解--比较系数法第65页，共120页，2023年，2月20日，星期四①如果不是特征根,取k=0,有如下形式的特解：则比较t的同次幂的系数，得到常数应满足的方程组为第66页，共120页，2023年，2月20日，星期四②如果是k重特征根，即，方程（4.26）将为作变换：，则方程（4.28）化为对于（4.29），已不是它的特征根。因此，由前面的讨论，有形如下列形式的特解。第67页，共120页，2023年，2月20日，星期四这表明是t的m+k次多项式，其中t的幂次的项带有任意常数。但因只需要知道一个特解就够了。特别地取这些任意常数均为零，于是得到方程（4.28）（或方程（4.26））的一个特解因而方程（4.28）有特解满足：第68页，共120页，2023年，2月20日，星期四③如果作变量变换，（4.26）化为特征方程的根对应于（4.27）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有：在不是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：在是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：其中k为重数.第69页，共120页，2023年，2月20日，星期四利用比较系数法求解非齐线性常系数微分方程的一般步骤：1、求对应齐线性常系数微分方程的特征根；2、分析f(t)的形式；3、判定上述f(t)中的指数是否为特征根？4、然后利用比较系数法求得.第70页，共120页，2023年，2月20日，星期四例7求解方程解：对应齐线性方程的通解为再求非齐线性方程的一个特解。这里并且不是特征根，故可取特解形如将代入原方程，得到：比较系数得原方程的通解为第71页，共120页，2023年，2月20日，星期四例8求方程通解分析:主要目的-求一特解。故根据比较系数法有特解形如，通过代入，化简求得于是原方程的通解为：这里，且，特征根为：其中正是单特征根:第72页，共120页，2023年，2月20日，星期四类型Ⅱ设，其中为常数，而是带实系数的t的多项式，其中一个的次数为m，而另一个的次数不超过m，那么有如下结论：方程（4.22）有形如的特解。这里k为特征根的重数，而P(t)，Q(t)均为待定的实系数的次数不高于m关于t的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。第73页，共120页，2023年，2月20日，星期四的解之和必为方程（4.26)的解。与则根据非齐线性方程的叠加原理有：通过分析,（4.26）有解形如：改写f(t)的形式如下其中第74页，共120页，2023年，2月20日，星期四利用非齐线性方程的叠加原理和类型I类型II的求解思想注意：正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。第75页，共120页，2023年，2月20日，星期四例9求方程通解解：很容易求得原方程对应齐线性方程的通解为：再求非齐线性方程的一个特解。因为不是特征根，求形如的特解，将它代入原方程并化简得到通过比较同类项的系数，得到原方程的通解：第76页，共120页，2023年，2月20日，星期四类型Ⅱ的特殊情形例10用复数法求解例9解：由例9已知对应齐线性方程的通解为：为求非齐线性方程的一个特解,先求方程的特解。这属于类型Ⅰ，而2i不是特征根，故可设特解为：将它代入方程并消去因子得，因而，由定理9，这是原方程的特解，于是原方程的通解为于是：复数法求解第77页，共120页，2023年，2月20日，星期四二、拉普拉斯变换法定义（拉普拉斯变换）：由积分

设给定微分方程及初始条件其中是常数，而f(t)为连续函数且满足原函数的条件。所定义的确定于复平面上的复变数s的函数F(s)，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式这里为某两个正常数，将称为原函数，而称F(s)为象函数。第78页，共120页，2023年，2月20日，星期四

拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数的代数方程（组）。通过一些代数运算，一般地利用拉普拉斯变换表，很容易求出微分方程（组）的解。方法十分简单，为工程技术人员所普遍采用。当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不再适用了。第79页，共120页，2023年，2月20日，星期四那么，按原函数微分性质有可以证明，如果函数是方程（4.22）的任意解，则x(t)及其各阶导数均是原函数。记第80页，共120页，2023年，2月20日，星期四于是，对方程（4.22）两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质得到这就是方程（4.22）的满足所给定初始条件的解的象函数。即或第81页，共120页，2023年，2月20日，星期四例11求方程满足初始条件的解。解：对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的象函数所满足的方程：所以，利用初始条件有：直接利用拉普拉斯变换表，可得的原函数分别是。因此，利用拉普拉斯变换的线性性质得的原函数为即为原方程的解。第82页，共120页，2023年，2月20日，星期四例12

求解方程解：由于初始条件不在零点，所以先作平移变换：于是有再对新方程施行拉普拉斯变换，得到还原变量代换得原方程的通解：有于是第83页，共120页，2023年，2月20日，星期四借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数S的代数方程（组）。优点：通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的解。方法简便，为工程技术工作者所普遍采用。缺点：要求微分方程右端的函数是一个原函数(满足条件（*）)。拉普拉斯变换法的主要思想注意：拉普拉斯变换存在是有条件的。第84页，共120页，2023年，2月20日，星期四§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法

第85页，共120页，2023年，2月20日，星期四一、可降阶的一些方程类型

n阶微分方程的一般形式:

1不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是若能求得(4.58)的通解对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即第86页，共120页，2023年，2月20日，星期四

解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解第87页，共120页，2023年，2月20日，星期四解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次,得原方程的通解为例1第88页，共120页，2023年，2月20日，星期四

2不显含自变量t的方程,

一般形式:因为第89页，共120页，2023年，2月20日，星期四用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一阶第90页，共120页，2023年，2月20日，星期四

解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解第91页，共120页，2023年，2月20日，星期四解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量得到所以得原方程的通解为第92页，共120页，2023年，2月20日，星期四

3已知齐线性方程的非零特解,进行降阶的非零解令则代入(4.69)得即第93页，共120页，2023年，2月20日，星期四引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则第94页，共120页，2023年，2月20日，星期四因此(4.69)的通解为第95页，共120页，2023年，2月20日，星期四

解题步骤:第一步:第二步:解之得即第96页，共120页，2023年，2月20日，星期四第三步:第四步:(4.69)的通解为注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)第97页，共120页，2023年，2月20日，星期四解这里由(4.70)得例3第98页，共120页，2023年，2月20日，星期四代入(4.2)得第99页，共120页，2023年，2月20日，星期四事实上第100页，共120页，2023年，2月20日，星期四若则即因此,对(4.67)仿以上做法,第101页，共120页，2023年，2月20日，星期四第102页，共120页，2023年，2月20日，星期四二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件用级数表示解?第103页，共120页，2023年，2月20日，星期四例

求方程的满足初始条件y(0)=0的解。解：分析：设y可以表示成级数形式：为方程的解，这里是待定系数，由此有将

的表达式代入方程，并比较x的同次幂的系数，得到第104页，共120页，2023年，2月20日，星期四及y(0)=0，就有,利用数学归纳法可以推得，一般地代入（4.71）得这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解而由条件y(0)=0,确定常数c=-1，即得方程的解为。第105页，共120页，2023年，2月20日，星期四例

求方程的满足初始条件y(0)=0的解。解：以代入原方程并比较的同次幂的系数。并利用初始条件，有于是有此级数对任何都是发散的，故，所给问题没有形如假设形式的级数解。第106页，共120页，2023年，2月20日，星期四注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式，它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。这里只提一下Bessel方程和Bessel函数。第107页，共120页，2023年，2月20日，星期四定理10第108页，共120页，2