六同第一讲 还原法解题

本文格式为Word版，下载可任意编辑——六同第一讲还原法解题第一讲还原法解题

教学目标：1、初步了解“还原法〞，加强学生的运算能力

2、把握“还原法〞的解题步骤，并运用于解决实际问题3、培养独立思考、自主探究的能力教学重难点：熟练的应用还原法解允许用题教学方法：讲练法教学用具：讲义教学过程一、导入

清朝书画家郑板桥在山东潍县当县官时，有一年春天，他提着一壶酒在街上边走边饮，又是吟诗，又是画画，正好遇上老朋友计山，计山说：“光你一个人喝酒，也不说请我喝呀？〞郑板桥说：“请倒是想请，只是你来晚了，我的酒已经喝完了。〞计山问道：“你一个人喝了多少酒呀？〞郑板桥“哈哈〞一笑，吟出一首诗来：“我有一壶酒，提着街上走，吟诗添一倍，画画喝一斗。三作诗和画，喝光壶中酒。你说我壶中，原有多少酒？〞计山眨着眼想了半天，说：“我算出来了，你的壶中原来一共有7/8斗酒。〞郑板桥说：“对，你很聪明。〞同学们，你们知道计山是怎样算出来的吗？

其实，计山在计算的过程中用到了我们今天要学习的方法还原法。等学完之后，大家确定会比郑板桥的好朋友更加聪明的。二、新课学习

例1、将一个数扩大7倍后，减去5，再除以5，最终加上最大的一位数，得22。这个数是多少？

解析：由已知我们知道，一个数经过了多步变化后变成了22，顺着推确定我们没方法解决，那就只能倒着推了怎么来的怎么回去。这里呢我们采用方框法先把题目中的变化过程表示出来：

在上图中，第一个方框表示原来的数，最终一个方框表示多步变化之后的新数。中间的每一个方框表示，每一步变化之后得到的中间结果。我们要求的是第一个方框里面的数，从最终一个方框一步一步往前推即可，要注意的是倒退的时候采用的是逆运算：

〔（22-9）×5+5〕÷7=（13×5+5）÷7=70÷7=10

小结：这种数学运算题是用还原法解题的经典类型之一，我们采用了倒推法，即为还原法解题的精华从最终结果一步一步倒着推理，回到已知条件。每一步运算为原来的逆运算，变加为减，变减为加，便乘为除，变除为乘。而且，做这类题目时采用方框法，简单明白。下面大家照着这个思路，计算郑板桥原来有多少酒，看看计山有没有算错。

练习：“我有一壶酒，提着街上走，吟诗添一倍，画画喝一斗。三作诗和画，喝光壶中酒。你说我壶中，原有多少酒〞解析：同样的我们先画方框图

〔（1÷2+1）÷2+1〕÷2=（1.5÷2+1）÷2=1.75÷2=0.875（斗）

所以，计山算的是正确的。

例2、一筐鱼连筐重100千克，先卖出一半的鱼，又卖出剩下鱼的一半，这时连筐还重28千克，原来筐重多少千克？

解析：这一例与方才的例子稍有区别，虽然都是一半的关系。但是筐子的重量并没有发生变化，只是鱼的重量存在一半的关系。

从图中，可以发现原来的鱼最终被分成了4份，我们假设最终剩下的鱼为一份，那么原来的就为4份，一共卖出去3份鱼。而筐子不变，所以我们可以求出没份鱼的重量，然后再计算筐子的重量。

（100-28）÷（2×2-1）=24（千克）28-24=4（千克）

例3、贝贝的阿姨给贝贝送来一筐苹果，贝贝将其中的一半分给弟弟，又将剩下的一半分给哥哥，最终将其次次剩下的一半留给爸爸和妈妈，自己拿了剩下的4个苹果。问阿姨一开始送来了多少个苹果？

解析：在这一例中都是“一半〞的关系，我们依旧可以采用方框图法来分析

4×2×2×2=32（个）小结：一半问题是还原法解题中的一大类型，在这两例中，关系比较简单，大家很简单理解。但好多时候，并不能恰好为一半，譬如说“一半多几个〞“一半少几个〞??对于这样的问题，我们怎么解决呢？下面看例3

过渡：学习了“一半还多〞的类型，那么“一半要少〞该怎么解决呢？下面看例4

例4、仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少12吨。其次天售出的重量比剩下的一半少12吨，结果还剩下49吨。这个仓库原有大米多少吨？

解析：已知卖出了一半少12吨，也就是剩下的要比一半多12吨，看方框图

（49-12）×2=74（吨）（74-12）×2=124（吨）

小结：解决这一类一半问题时，要充分理解“多减少加〞的思想。下面大家看练习题5，试试看！

练习：三位同学共同买了一些铅笔，甲分得的比总数的一半少1支，乙分得的是余下的一半多一支，丙分得8支。问一共买了多少支铅笔？解析：这一题里面既有“一半多〞，也有“一半少〞，那么根据我们前面学的，画方框图

（8+1）×2=18（支）(18-1)×2=34(支)

过渡：到目前为止，我们学习的都是一个量在变化的过程，那么假使最开始有两个量、三个量相互发生变化，我们能不能用还原法解决呢？答案是确定的，我们看例题5

例5、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多一个，其次天吃了剩下的一半多一个，第三天又吃了剩下的一半多一个，还剩下一个。问爸爸买了多少个橘子？

解析：这一例相对于上一例来说，要繁杂一些，由于不是恰好一半了。而是“一半多一个〞，也就是剩下的为“一半少一个〞，运算时要在一半的基础上再减去一个。看方框图：

（1+1）×2=4（个）（4+1）×2=10（个）（10+1）×2=22（个）

小结：这一例属于典型的一半问题，“一半多一个〞，计算时需要减一，即多减少加的思想。大家在做这一类题目时，一定要分析明白，否则倒推的时候就会出错！下面大家看练习题2，先自己试试。

练习：商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？解析：

（95+20）×2=230（台）（230+10）×2=480（台）

例6、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃球共100颗，甲给乙13颗，

乙给丙18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗后四人的个数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？解析：这一例就比我们方才学习的要繁杂一些，由于有四个人，他们的玻璃球数都在不停的变化。由已知我们可以求出，他们变化到最终拥有的玻璃球数：

100÷4=25颗，然后我们和前面一样，用方框图把每一个人的玻璃球数变化过程表示出来：

甲：

乙：

丙：

丁：

100÷4=25（颗）

甲：25-2+13=36（颗）乙：25+18-13=30（颗）丙：25+16-18=23（颗）丁：25-2-16=11（颗）

小结：在这一例中，是多个量之间发生相互变化，在把每一个量从后往前倒推的时候一定要考虑到这个量发生关系的所有变化，不能有遗漏。下面大家自己做练习题4

练习：甲乙丙三组共有图书90本，假使乙组借给甲组3本后，又送给丙5本，结果三个组所有图书刚好相等，甲乙丙三个组原有图书各多少本？

解析：甲

乙

丙

90÷3=30（本）甲30-3=27（本）乙30+5+3=38（本）丙30-5=25（本）

例7、有甲乙丙三个油桶，各盛油若干千克，先将甲桐油倒入乙、丙两桶，使他们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使他们的油各增加一倍；最终按同样规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时各桶油都是16千克。求甲乙丙原有油多少千克？

解析：这一例是还原法解题的经典类型，称为“同样多〞问题，即变化量和原来一样，也可以说变为原来的2倍，或者增加一倍等。对于这一类题目，我们寻常采用列表法：第3次倒后第2次倒后第1次倒后原来甲168426乙1682814丙1632168下面大家看练习题9

练习：甲乙丙三箱内共有384个皮球，先由甲箱内取出若干个放进乙、丙两箱内，所放个数分别为乙丙当时所有的球数；再由乙箱取出若干放进甲丙两箱；最终由丙箱取出若干放进甲乙两箱，放法都同前，结果三个箱子内的皮球数彼此相等。问甲乙丙各箱内开始分别有多少个球？

解析：这一题和我们的例题十分相像似，只是题目的说法变了。我们可以抓住“三箱内球数彼此相等〞这句话一步步往前推，列表如下：384÷3=128（个）第3次变化后第2次变化后第1次变化后原来甲1286432208乙12864224112丙12825612864例8、两只猴子拿26个桃，甲猴眼疾手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多2个(改一下)。问甲猴最初准备拿几个？

解析：从最终一步开始考虑，两只猴子拿桃的总和是没有变的，这时乙猴比甲猴多2个，则可以得到甲猴：（26-2）÷2=12个，乙猴：12+2=14个。乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，则此时甲猴有：12+5=17个，乙猴有14-5=9个；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半，则此时甲猴有：17-9=8个乙猴有：9×2=18个；乙看甲猴拿得太多，就抢去一半，则此时甲猴有：8×2=16个，乙猴有18-8=10个。由上可知，甲猴最初准备拿16个。

三、课堂总结：这一讲我们学习了还原法解应用题，对于一个量的变化过程我们一般采用方框