2022年福建省青少年“大梦杯”数学水平测试试卷含解析

福建省青少年“大梦杯”数学水平测试试卷一、单选题1．已知二次函数的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若，且△ABC的面积为3，则a+b（）A．3 B．-5 C．3 D．52．已知实数x，y满足且，则的值为（）A． B． C． D．23．将形如3m和（m，n为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为若第k个数，则k的值为（）A．682 B．683 C．684 D．6854．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（）A． B． C． D．5．已知正整数a，b，c，d满足：a<b<c<d，a+b+c+d=2022，，则这样的4元数组(a，b，c，d)共有（）A．251组 B．252组 C．502组 D．504组二、填空题6．若正数a，b，c满足abc=1，，则.7．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为.8．若素数p，使得是一个完全平方数，则p=.（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.）9．如果对任意的n个不大于1的非负实数总有成立，则正整数n的最大值为.三、解答题10．同余数是一个三边均为有理数的直角三角形的面积，即如果存在三个正有理数a，b，c，使得，且，则称n为同余数.如果正整数n为同余数，则称n为整同余数.由于5是三边长分别为，，的直角三角形的面积，6是三边长分别为3，4，5的直角三角形的面积，7是三边长分别为，，的直角三角形的面积，所以5，6，7都是同余数，且是整同余数.如何判断一个正整数是否为同余数至今尚未完全解决.关于同余数的第一个重要结论是费马（Fermat）在17世纪证明的1不是同余数.在，中，令，，得.因此，若正整数n是同余数，则二元三次不定方程有有理数解；若正整数n使得二元三次不定方程有有理数解，则n是同余数.这样，古老的同余数问题与现代的椭圆曲线的有理点（横、纵坐标均为有理数的点）之间建立了联系.阅读上述材料，请你写出椭圆曲线上的一个有理点坐标(x，y)=.11．已知开口向上的抛物线与直线：y=ax+c，y=cx+a中的每一条都至多有一个公共点.（1）求的最大值；（2）当取最大值时，设直线交抛物线于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值.12．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，以线段AC为直径的圆与AB和AD的延长线分别交于点E和F，过点B作AC的垂线，垂足为H.求证：E，H，F三点共线.13．将1，2，3，…，16这16个数分成8组若.求的最小值.必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设，为两组实数，是的任一排列，则.14．已知矩形ABCD的边AB=21，BC=19，r是给定的小于1的正实数.（1）在矩形ABCD内任意放入114个直径为1的圆.证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；（2）在矩形ABCD内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）.证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）.

答案解析部分【解析】【解答】解：依题意为方程的两根，且.所以，.所以，所以面积.解得，经检验符合题意，.因为函数的图象与x轴有两个不同交点，因此，，符合要求.所以.故答案为：C.【分析】易得x1+x2=4，x1x2=，则AB=|x1-x2|=，根据三角形的面积公式可得a的值，然后求出b的值，据此计算.【解析】【解答】解：∵，得，即.∴或.即或.∵，所以，.故答案为：A.【分析】原方程可变形为x6-26x3y3-27y6=0，给方程两边同时除以y6，求出的值，根据x2≠y2可得=3，给分式的分子、分母同时除以y2，然后将=3代入计算即可.【解析】【解答】解：易知形如和(，为正整数)的正整数不可能相等.考虑在从小到大排列的形如(为正整数)的正整数3，6，9，27，…中，从小到大添加形如(为正整数)的数.由知，将形如(为正整数)的正整数从小到大排列，2022是第674个数.由于，，所以有10个形如(为正整数)的数小于2022，这10个数排在2022前面.所以.故答案为：C.

【分析】由2022=3×674知，将形如3m的正整数从小到大排列，2022是第674个数，根据210=1024，211=2048可得有10个形如2n的数小于2022，这10个数排在2022前面，据此解答.【解析】【解答】解：设，则，.作于，则.所以.所以，即，解得.于是，.所以，.又，所以.因此.所以.故答案为：B.

【分析】设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a，作MH⊥AB于点H，根据同角的余角相等可得∠EMH=∠FAB，证明△EMH∽△FAB，根据相似三角形的性质可得a的值，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得S△ABF，根据相似三角形的性质可得S△AEG，然后根据S四边形BFGE=S△ABF-S△AGE进行计算.【解析】【解答】解：因为，，，为正整数，且，所以.所以.因此，，即，.所以，因此.又，所以，因此.所以符合条件的4元数组为，其中.所以符合条件的4元数组有504组.故答案为：D.【分析】根据题意可得a+3≤b+2≤c+1≤d，则2022=d2-c2+b2-a2≥(d+c)+(b+a)=2022，推出d-c=1，b-a=1，a+c=1010，结合a+2≤c可得a的范围，据此解答.【解析】【解答】解：由，得，因此，.由此可得，.所以故答案为：.【分析】联立已知条件可得a、b、c的值，然后代入c+中进行计算即可.【解析】【解答】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，.则，.∵，∴//，∴∴BE=CD，∵∴.在Rt△中，AB=10，所以，由勾股定理得，∴.所以圆的面积为.故答案为：41π.

【分析】连接AO，并延长交圆O于点E，连接EB、EC，根据圆周角定理可得AB⊥BE，AC⊥CE，推出BD∥EC，得到BE=CD=8，利用勾股定理可得AE，然后求出OA，接下来根据圆的面积公式进行计算.【解析】【解答】解：设，为正整数.则，即.∴.由为整数，为正整数，且，得，或，或，或.解得，或，或，或.又为素数，所以.所以当素数时，是一个完全平方数.故答案为：11.【分析】设4p2+p+81=n2（n为正整数），两边同时乘以16，再利用完全平方公式化简可得(8p+1)2+1295=16n2，利用平方差公式分解可得(4n-8p-1)(4n+8p+1)=5×7×37，据此可得n、p的方程组，求出n、p的值，结合P为素数就可得到p的值.【解析】【解答】解：当时，取，，则.当时，取，，时，，则.所以.当时，由，得，，，，，，中至少有一个数为非负数.不妨设，则.所以.于是符合要求.所以正整数的最大值为7.故答案为：7.【分析】当n=8时，取x1=x3=x5=x7=1，x2=x4=x6=x8=0，则S8=8>6；当n≥9时，取x1=x3=x5=x7=1，x2=x4=x6=x8=0，则Sn=8>6，故n≤7；当n=7时，设(x1-x2)(x2-x3)≥0，则(x1-x2)2+(x2-x1)2≤(x1-x3)2≤1，故S7≤1+(x3-x4)2+(x4-x5)2+(x5-x6)2+(x6-x7)2+(x7-x1)2≤6，据此解答.【解析】【解答】解：根据同余数定义，若是同余数，则(为正整数)也是同余数.由5是同余数知，也是同余数.由5是三边长分别为，，的直角三角形的面积，可得是三边长分别为，，的直角三角形的面积，即三边长分别为，，的直角三角形的面积.将，，，代入，，计算得，.于是是椭圆曲线上的一个有理点.注：将，，，代入，，计算得，.于是也是椭圆曲线上的一个有理点.故答案为：（25，75）(答案不唯一).

【分析】根据5是同余数，知20=5×22也是同余数，根据面积为5的直角三角形的三边长可得面积为20的直角三角形的三边长，代入，中可得x、y的值，据此解答.【解析】【分析】（1）令ax2+bx+c=ax+c求出x，根据抛物线与直线y=ax+c至多有一个公共点，得a=b，由ax2+bx+c=cx+a结合a=b以及△≤0可得的范围，进而可得的最大值；

（2）当取最大值时，得顶点C的坐标，联立抛物线与直线解析式求出x，得AB=，CA=CB，设I为△ABC的内心，D为线段AB中点，则∠DBI=30°，∠ABC=60°，△ABC为等边三角形，CD=3，据此可得a的值.【解析】【分析】延长BH与直线AD相交于点P，连接CP，易得∠BPA=45°，推出P、A、B、C四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠CBE=∠APC，连接CE，根据圆周角定理可得∠CEA=∠CHB=90°，推出C、E、B、H四点共圆，得到∠CHE=∠CBE，连接CF，同理可得∠APC=180°-∠CHF，据此推出∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF，据此证明.【解析】【分析】设ai<bi，i=1、2、……8，且a1<a2<……a8，则62=136-2(a1+a2+……+a8)，求出a1+a2+……+a8的值，易得a7≤7，则S=(a1-b1)2+(a2-b2)2+……+(a8-b8)2=(12+22+…+162)-2(a1b1+a2b2+……+a8b8)，当b1、b2、……b8从小到大排列时，S=(1-8)2+(2-10)2+(3-11)2+(4-12)2+(5-13)2+(6-14)2+(7-15)2+(9-16)2，据此计算.【解析】【分析】（1）将矩形ABCD的每条边向内缩进，得到一个长和宽分别为2