2023年黄高预录数学试题

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湖北省黄冈中学理科试验班预录考试数学试卷

一．选择题（共11小题）

1.记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且

A．I＞0B．I＜0C．I=0D．当n取不同的值时，以上三种状况都可能出现2.对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．若[

]=3有正整数解，则正数a的取值范围是

．则（）

（）

A．0＜a＜2或2＜a≤3B．0＜a＜5或6＜a≤7C．1＜a≤2或3≤a＜5D．0＜a＜2或3≤a＜5

3.6个一致的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有（）A．4种B．6种C．10种D．12种

4.有甲、乙、丙三位同学每人拿一只桶同时到一个公用的水龙头去灌水，灌水所需的时间分别为1.5分钟、0.5分钟和1分钟，若只能逐个地灌水，未轮到的同学需等待，灌完的同学马上离开，那么这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是（）A．3分钟B．5分钟C．5.5分钟D．7分钟5.已知实数x满足x2+

+x﹣=4，则x﹣的值是（）

A．﹣2B．1C．﹣1或2D．﹣2或1

6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，

的值为（）

A．

B．

C．

D．

7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2B．4C．6D．88．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1=∠2D．无法确定

9．已知某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）

A．B．3πC．C．2

D．6π

10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0B．1

D．3

11．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点〞，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共4小题）

试卷第1页，总4页

12．已知x为实数，且

，则x2+x的值为．

13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．

15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．三．解答题

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之中止运动．设点P的运动时间为x（秒）．

2

（1）设△PBQ的面积为y（cm），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；

（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．

17．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回复：AP的最大值是．

参考小伟同学思考问题的方法，解决以下问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）

18．某水库大坝的横截面是如下图的四边形BACD，期中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观测员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．

（1）求两渔船M，N之间的距离（结果确切到1米）；

（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队

试卷第2页，总4页

在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）

19．已知关于x的方程

，

（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若

20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点〞，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点〞，且点B在线段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．

21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，假使它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数〞．（1）反比例函数y=

是闭区间[1，2023]上的“闭函数〞吗？请判断并说明理由；

，求m的值．

（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数〞，求此函数的解析式；

（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数〞时，求c，d的值．

22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价作风控等手段来达到俭约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损花费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损花费c元；若用水量超过a立方米时，除了付同上的基本费和定额损花费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．（1）当月用水量为x立方米时，支付费用为y元，写出y关于x的函数关系式；（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求a、b、c．用水量（m3）月份水费（元）1992151932233

试卷第3页，总4页

23.某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．

经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y（元）与废气处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=

，且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某

种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．

（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x的取值范围；

（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为x（40≤x≤80）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a的值．

24.如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时中止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．

（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；

（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；

（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．

试卷第4页，总4页

参考答案与试题解析

一．选择题1.∴等式

∴I=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，应选A．2.解：∵[∴3≤

]=3有正整数解，＜4，

成立，

即6≤3x+a＜8，6﹣a≤3x＜8﹣a，∴

≤x＜

，

∵x是正整数，a为正数，∴x＜，即x可取1、2；

①当x取1时，

∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴3≤a＜5；②当x取2时，

∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴0＜a＜2；

综上可得a的范围是：0＜a＜2或3≤a＜5．应选D．

3.解：∵6个一致的球，放入四个不同的盒子里，

∴若有三个盒子里放了1个，一个盒子里放了3个，这种状况下的方法有4种；

若有两个盒子里放了2个，两个盒子里放了1个，这种状况下：设四个盒子编号为①②③④，可能放了两个小球的盒子的状况为：①②，①③，①④，②③，②④，③④，所以有6种状况；∴6个一致的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有：4+6=10．应选C．

4.这道题可以采用逆推法，我们可以先分析最终一位会用多长时间，很显然不管是谁最终灌水都得用3分钟，所以只需考虑前两个接水的，怎样能够更加节省时间，显然乙第一个灌水会最省时，由于只需0.5分钟．接着是丙，丙灌水的时间加上等乙的时间，也就是1.5分钟，最终是甲．所以只有按乙，丙，甲安排灌水才最省时．

解：按乙，丙，甲安排灌水最省时，这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是0.5+（0.5+1）+（0.5+1+1.5）=5分钟．应选B．

考察了应用类问题，运用了逆推法，