概率论与数理统计课后习题答案

试用A,B,C表示下列事件：（1）仅A发生；（2）中至少有两个发生；习题一1．写出下列随机试验的样本空间及下A,B,C列事件中的样本点：（3）中不多于两个发生；A,B,C（1）掷一颗骰子，记录出现的点数.A奇数点’；（2）将一颗骰子掷A‘两次点数之和为10’，B‘第一（4）中恰有两个发生；A,B,C‘出现（5）中至多有一个发生。A,B,C两次，记录出现点数.解（1）ABC次的（2）或或ABACBC点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的（3）ABCABCABCABCABC；球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A‘球的最小号码为1’；ABCABCABCABCABCABCABC；（4）；ABCABCABC（4）将a,b两个球，随机去，观察放球情况，A‘甲至少有一球’；3．一个工人生产了三件产品，以（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽A(i1,2,3)表示第i件产品是正品，试用A车流量，A‘通过汽车不足5台’，B‘通汽车不少于3台’。解（1）地放入到甲、（5）或ABACBCABCABCABCABC；乙、丙三个盒子中盒中ii表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。过的其中S{e,e,e,e,e,e}e123456，i‘出现点’ii1,2,,6A{e,e,e}。解（1）；（2）AAA；（3）AAA1325（）1AAAAAAAAA231；（4）23S{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)123123AAAAAA1。231213234．在电话号码中任取一个电话号码，面四个数字全不相同的概率。解设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，）(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；A{(4,6),(5,5),(6,4)}；B{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。则（35．一批晶体管共40只，其中3只是坏今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；）S{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)的，（4S{(ab,,),(,ab,),(,,ab),(a,b,),(a,,b),(b（,a,),2）5只中有两只坏的的概率。解（1）设A‘5只全是好的’，则(b,,a),(,a,b,),(,b,a)}，其P(A)C50.662；37中‘’表示空盒；C540（2）设B‘5只中有两只坏的’，则A{(ab,,),(a,b,),(a,,b),(b,a,),(b,,a)}C2C3P(B)0.0354.3C537。406．袋中有编号为1到10的10个球，（5）今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率；S{0,1,2,},A{0,1,2,3,4},B{3,4,}。2．设A,B,C是随机试验的三个事件，E（2）3个球的最大号码为5的概率.事件只有一个，故解（1）设‘最小号码为5’，则1C2C23!12601AP(A)；C25C310（2）设B‘最大号码为5’，则1；12P(A)75解七个字母中有两个E，两个C，2把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n个，第二种元素有n个…，第k种C21.20107．（1）教室里有r个学生，求他们的生P(B)4C312元素有n个(nnnn)，将这n个元2素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不k1k日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的同的排列总数为生日在同一个月的概率.n!，解（1）设A‘他们的生日都不相同’，则n!n!n!21对于本题有k14.1P(A)PrP(A)；3653657!7!1260r2!2!0,1,2,,9等10个数字中，任意选（2）设B‘至少有两个人的生日在同一个月’，则10．从出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A‘三个数字中不含0和5’，A‘三个P(B)C2C1P2C2C2C3P2C11241；9612数字中不含0或5’，‘三个数字中含0A412114124124123但不含5’.或解P(A)C837.C15P(B)1P(B)1P12441.124961310CCC14333P(A)，28．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的或某两天，但不是都在同一天的概率.99CCC831533101010C141解设A‘生日集中在一星期中的某P(A)1P(A)1，83C1522两天，但不在同一天’，则10P(A)C827.C3C2(262)776P(A)0.01107.3031011．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A‘每堆各成一双’的概率.9．将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？解n双鞋子随机地分成n堆属分组问解设A‘恰好排成SCIENCE’1将7个字母排成一列的一种排法看作基(2n)!(2n)!‘每堆各2!2!2!(2!)n题，不同的分法共本事件，所有的排法：成一双’共有n!种情况，故12．设事件A与B互不相容，字母C在7个位置中占两个位置，共有C2种占法，字母E在余下的5个位置中占两7个位置，共有C2种占法，字母I,N,C剩下的，求P(A)0.4,P(B)0.3与P(AB)P(AB)解53个位置上全排列的方法共3！种，故基本P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)0.3事件总数为，而A中的基本CC3!1260因为A,B不相容，所以AB，于是227513．若且，求P(AB)P(AB)P(A)PP(AB)P(AC)P(BC)P(AB)P(AC)P(ABC)P(B).P(ABAC)P{A(BC)}P(A).解P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)由P(AB)P(AB)得14．设事件及的概率分别为证毕.19．设A,B,C是三个事件，且P(A)P(B)P(C)1,P(AB)P(BC)0A,BAB，，求及P(AB)P(AB)4p,q,r1解P(AC)，求至少有一个发生的概A,B,C8率。P(AB)P(A)P(B)P(AB)pqr解1qpqr1pr.P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(15．设，且仅发生A,BP(A)P(B)0.7一个的概率为0.5，求都发生的概率。A,B0P(ABC)P(AB)0因为，所以解由题意有10.72P(AB)，P(ABC)0，于是20．随机地向半圆0y（为2axxa2所以正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的P(AB)0.1.A,B仅发生一个可表示为解连线与轴的夹角小于的概率.x/42ABAB，故所以解：半圆域如图设A‘原点y16P(AB)0.1.与该点连线与轴夹角小于/4’设由几何概率x．P(A)0.7,P(AB)0.3,P(BA)0.2，求的定义与.P(AB)P(AB)x21．把长为的棒任意折成三段，求它a们可以构成三角形的概率.0解0.3P(AB)P(A)P(AB)0.7P(AB)，a解设A‘三段可构成三角形’，又所以1三段的长分别为，则x,y,axy故P(AB)0.4，P(AB)0.6；0xa,0ya,0xya，不等式构成平面域S.发生A0.2P(B)P(AB)P(B)0.4.aa0xS2aa,0yxya22,所以17．设，试证明ABCP(A)P(B)P(C)1不等式确定Aa/的子域，所以SA[证]因为ABC，所以故0aaA的面积1/.P(A)S的面积4P(A)P(B)P(C)1证毕.18．对任意三事件，试证解设三段长分别为x,y,z，则A,B,C2P(AB)P(AC)P(BC)P(A).0xa,0ya,0za且]xyza，不等式确定了三维空[证间上的有界平面域S.故z1L2LP(A)2sinda发生xyzAa20A习题二不等式确定的子域，所以SAy1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设A‘任取一件是i等品’A的面积1P(A)x.S的面积422．随机地取两个正数和，这两个i1,2,3数中的每一个都不超过1，试求与之和xyxyi，所求概率为不超过1，积不小于0.09的概率.P(A|A)P(AA)，3解，不等式确定平面0x1,0y11P(A)13域.yS3因为AAA231A1所以P(A)P(A)P(A)0.60.30.9S‘’则A发生的312xy1,xy0.09A充要故P(A|A)62.条件为不932．设10件产品中有4件不合格品，从130xy1,1xy0.09y00.10.91等式中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等确定了S的子域，故A解设A‘所取两件中有一件是不合距离a(a0)的一些平行线，向平面上随机地格品’B‘所取两件中恰有i件不合i格’i1,2.投掷一根长l(la)的针，求针与任一平行线相交的概率.则解设A‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。P(A)P(B)P(B)C1C1C42，C24C26121010所求概率为为针P(B|A)P(B2)C21.4P(A)C1C1C252a与平行线的夹角，则4643．袋中有5只白球6只黑球，从袋中a一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这0xa,0，不等式确定了平面上颜色是黑色的概率.2解设A‘发现是同一颜色’，B‘全的一个是白色’，C‘全是黑色’，则x区域S.ABC，所求概率为S发生A4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求LA，不等式确定的子域SAxsin在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃02的概率.解设A‘至少有3张黑桃’，‘5概率。Bi张中恰有张黑桃’，i3,4,5，i解设A‘收到‘·’’，B‘发出‘·’’，由贝叶斯公式则ABBB，533所求概率为45P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)34P(B|A)8553318583P(B|A)P(AB)P(B)55P(A)P(BBB)5.345C513C3C2C4C1C516869.9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑1339133913P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8的概率.5．设求P(AB)与P(BA).解事件如第6题所设，所求概率为解10．已知一批产品中96%是合格品，检P(AB)P(A)P(B)P(AB)1.1P(A)P(B|A)1.1查0.4产品0.7时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品P(BA)P(B)P(AB)0.60.40.2.确是合格品的概率。6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋解设A‘任取一产品，经检查是合中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2格品’，球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球B‘任取一产品确是合格品’，则是白球的概率。解设A‘从乙袋中取出的是白球’，Bi‘从甲袋中取出的两球恰有个白球’i，0.960.980.040.050.9428i0,1,2.所求概率为P(B|A)P(B)P(A|B)0.960.98由全概公式0.998.P(A)0.942811．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30C4C1C11C61322.32C10C22C102523225557．一个盒子中装有15个乒乓球，其中件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样（取出的零件均地任取3只球，求第二次取出的3个球均为出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍解设A‘第二次取出的均为新球’，然是一等的概率.B‘第一次取出的3个球恰有解设i次取出的零件是一等不放回），试求：（1）先取新球的概率。A‘第ii个新球’i0,1,2,3.品’，i1,2.iB‘取到第i箱’，i1,2.i则由全概公式5280.089.5915（1））8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概11112121(13)2.2555率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的（2P(A|A)P(AA)P(AABAAB)（2）因为先取出的是女生表的概率为137531015259029；12P(A)121P(A)12221111C2C229，所以先取出的是男生表的概率为，619090按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率10189512C2C240.4856.503024929P(B)61.90于是512．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为（2）0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，P(AB)P(ABCABCABC)售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求：qP(A|B)123P(B)P(B)13778520310915142524（1）顾客买下该箱的概率；20.61（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.6190解设A‘顾客买下该箱’，B‘箱中恰有i件残次品’，品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋14．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次i0,1,2，中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得（1）到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)解设A‘任取一枚硬币掷r次得r个001122国徽’，B‘任取一枚硬币是正品’，则CC41840.80.10.10.94；19CC442020ABABA，所求概率为P(AB)0.8（2）P(B|A)00.85.0.940P(A)13．设有来自三个地区的各10名，名和25名考生的报名表，其中女生报名表3份、7份和5份，随机地取一个地先后取出两份（1）求先取到的一份为女生表的概率15m1mn2r分别为mmn2r.区的报名表，从中m1mn2rnmnp；15．甲、乙两人独立地对同一目标各射（2）已知后取到的一份是男生表，求先击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知抽到的一份是女生表的概率q.目标被击中，求甲击中的概率.解设A‘先取到的是女生表’，解设A‘目标被击中’，‘第i个Bi‘后取到的是男生表’，人击中’i1,2,BC‘取到第i个地区的表’，所求概率为ii1,2,3.0.610.40.5）0.75.（1pP(C)P(A|C)P(C)P(A|C)P(C)P(A|C)16．三人独立地破译一个密码，他们能112233译出的概率分别是1,1,1，求他们将此密码534译出的概率.解设A‘将密码译出’，B‘第i111，2241iP(BBB)1111.个人译出’i1,2,3.44464123则于是11130.6.534533137.4166464P(BB)P(BBB)解事件如上所设，则223123P(A)1P(A)1P(BBB)142330.6解253451233337.64.P(A)1P(A)1P(BBB)1417．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射123解事件如解1所设，则3击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击，123ABBBBBB211故13133137.落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概44444464率.解设A‘飞机被击落’，B‘飞机19．设，证明A、B互P(A)0,P(B)0不相容与A、B相互独立不能同时成立.证若A、B互不相容，则AB，于i中i弹’i1,2,3.则设C‘第i个人命中’，i1,2,3，是所以A、B不相互P(AB)0P(A)P(B)0独立.i则若、相互独立，则BP(AB)P(A)P(B)0，于是AB，即A、BA0.40.50.30.60.50.70.60.50.30.36，不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1）若A、B互不相容，则A、B又是相0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41，互独立的或.P(A)0P(B)02）因，所以ABABAP(A)P(BA)P(BA)P(B)P(CCC)0.40.50.70.14，3所以123如果P(B)1，则P(BA)0，从而可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.P(A)0.20.360.60.410.140.458.18．某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率.解设A‘该生能借到此书’，B如果P(B)0，则P(AB)0P(A)P(B)，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。20．证明若三事件A,B,C相互独立，则AB及AB都与C独立。证P{(AB)C}P(ACBC)P(AC)P(BC)p(ABC)1i‘从第i馆借到’i1,2,3.则P(B)P(B)P(B)P(第i馆有即AB与C独立.1此书且能借到)23即AB与C相互独立.21．一个教室里有4名一年级男生，6解答对每道题的概率为，1所求概率名一年级女生，6名二年级男生，若干名二4为年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？3141313.256P(3)P(4)C34444解设还应有名二年级女生，A‘任N4426．设在伯努里试验中，成功的概率为选一名学生为男生’，B‘任选一名学生为p，求第n次试验时得到第r次成功的概率.一年级’，则解设A‘第n次试验时得到第r次成功’，则1010N16P(A)N16，P(B)，A‘前n1次试验，成功r1次，第n次试验出现成功’，所以1044P(AB)，N1610N16欲性别和年级相互独立，即P(A)P（前n1次试验，成功4N16N16N161010P(AB)P(A)P(B)，r1次）（P第n次试验成功）所以N9，即教室里的二年级女生应为9Cp(1p)pCpr(1p).名。r1r1nrr1n1nrn127．设一厂家生产的每台仪器，以概率22．图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了n(n