2023届全国百套高考数学模拟试题分类汇编

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2023届全国百套高考数学模拟试题分类汇编

2023届全国百套高考数学模拟试题分类汇编

08圆锥曲线

三、解答题(第一部分)

x2y21、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设F+=1的1、F2分别是椭圆

54左、右焦点.

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）易知a?5,b?2,c?1,?F1?(?1,0),F2(1,0)

22设P（x，y），则PF?PF?(?1?x,?y)?(1?x,?y)?x?y?112x2?4?421x?1?x2?355?x?[?5,5]，

?当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值3；

当x??5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值4

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭

圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为y?k(x?5)

?x2y2?1??由方程组?5，得(5k2?4)x2?50k2x?125k2?20?04?y?k(x?5)?依题意??20(16?80k)?0，得?255?k?55当?55?k?时，设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点为R(x0,y0)，55x1?x250k225k2,x0??2则x1?x2?

25k2?45k?425k2?20k?y0?k(x0?5)?k(2?5)?2.

5k?45k?4又|F2C|=|F2D|?F2R?l?k?kF2R??1

?k?kF2R20k)220k25k?4?k????1

25k24?20k21?25k?40?(?2

2

2

∴20k=20k－4，而20k=20k－4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|

2、(XX省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

2

(2)设过点P,且斜率为?3的直线与曲线M相交于A,B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

?(2)(i)由题意得,直线AB的方程为:y??3(x?1)由?y2??3(x?1)消去y得:?y?4x1123163x2?10x?3?0,解得x1?,x2?3.所以A(,),B(3,?23),|AB|?x1?x2?2?.3333

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

162?22(3?1)?(y?23)?(),?3相减得:42?(y?23)2?(4)2?(y?23)2,解得y??143(不符,舍)?122162339)?()?(?1)2?(y?33?3因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

?由?y??3(x?1)得y?23,此时A,B,C三点共线,故y?23.?x??1，

12322843y16256又|AC|2?(?1?)2?(y?)???y2,|AB|2?()2?339339，当|BC|2?|AC|2?|AB|2,即28?43y?y2?∠CAB为钝角.

28432562?y?y2?,即y?3时,9399

当|AC|2?|BC|2?|AB|2,即2843256?y?y2?28?43y?y2?939

103时?CBA为钝角.3

2562843y又|AB|2?|AC|2?|BC|2,即???y2?28?43y?y2993y??即:y2?44223y??0,(y?)?0333.

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

y??10323或y?(y?23)39.解法二：以AB为直径的圆的方程为:

528528(x?)2?(y?3)2?()2圆心(,?3)到直线L:x??1的距离为333333.23).3

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.所以,以AB为直径的圆与直线L相切于点G(?1,?过点A且与AB垂直的直线为:y?233123?(x?).令x??1得y?3339.

310(x?3),令x??1得y??333.

过点B且与AB垂直的直线为:y?23??又由?y??3(x?1)解得y?23,所以,当点C的坐标为(?1,23)时,?x??1A，B，C三点共线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：

y??10323或y?(y?23).39

3、(XX省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：⊿ABC的垂心H也在

该双曲线上；

（2）若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。

解：（1）略；（2）A(2+3,2－3),B(2－3,2+3)或A(2－3,2+3),B(2+3,2－3)4、(XX省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1,

15)为方向向量的直线l过点(0,)，抛物线C：24y2?2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若OA?OB?p2?0(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题意可得直线l：y?15x?①24过原点垂直于l的直线方程为y??2x②解①②得x??1．2∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．∴?p1???2，p?2222∴抛物线C的方程为y?4x．

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x,y)，由OA?OB?p2?0，得x1x2?y1y2?4?0．又y1?4x1，y2?4x2．解得y1y2??8③直线ON：y?22y24x④x，即y?y2x2由③、④及y?y1得，

点N的轨迹方程为x??2(y?0)．

5、(安徽省皖南八校2023届高三第一次联考)已知线段AB过y轴上一点P(0,m)，斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为4k(k?0)，

（1）求以O为顶点，y轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；

（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；解：（1）设抛物线方程为x2?2py(p?0)，AB的方程为y?kx?m，联立消y整理，得x2?2pkx?2pm?0；∴x1?x2?2pk，又依题有|x1?x2|?4k?2pk，∴p?2，∴抛物线方程为x2?4y；

2xx12x2（2）设M(x1,)，N(x2,)，Q(x0,?1)，∵kMQ?1，

244x12x1?(x?x1)?x12?2x1x?4y?0；∴MQ的方程为y?4222∵MQ过Q，∴x1?2x1x0?4?0，同理x2?2x2x0?4?0

∴x1,x2为方程x2?2x0x?4?0的两个根；∴x1x2??4；又kMNx1?x2x12x1?x2??(x?x1)，∴MN的方程为y?444∴y?x1?x2x?1，显然直线MN过点(0,1)46、(江西省五校2023届高三开学联考)已知圆M:(x?5)2?y2?36,定点N(5,0),点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP?2NQ,GQ?NP?0.

（I）求点G的轨迹C的方程；

（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设OS?OA?OB,是否存在这样

的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.

NP?2NQ??解：（1）??Q为PN的中点且GQ⊥PN

GQ?PN?0???GQ为PN的中垂线?|PG|=|GN|

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a?3，半焦距c?5，∴短半

x2y2??1???5分轴长b=2，∴点G的轨迹方程是94（2）由于OS?OA?OB，所以四边形OASB为平行四边形

若存在l使得|OS|=|AB|，则四边形OASB为矩形?OA?OB?0?x?2?x?2??若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由2得??xy225?1?y????4?93?

?OA?OB?16?0,与OA?OB?0矛盾，故l的斜率存在.???7分9设l的方程为y?k(x?2),A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?k(x?2)?由?x2y2?(9k2?4)x2?36k2x?36(k2?1)?0

?1??4?936k236(k2?1)?x1?x2?2,x1x2?①29k?49k?4

y1y2?[k(x1?2)][k(x2?2)]

20k2?k[x1x2?2(x1?x2)?4]??2②?????9分

9k?42

把①、②代入x1x2?y1y2?0得k??32∴存在直线l:3x?2y?6?0或3x?2y?6?0使得四边形OASB的对角线相等.

7、(安徽省淮南市2023届高三第一次模拟考试)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=

12

x的焦点，离心率等于25.45（1）求椭圆C的方程；

又?k1?k2?0,?x??1.????????????????11分

2y1?y2?x12?x2?(k1?1)2?(?k2?1)2?(?k1?1)2?(k1?1)2y????2222??(k12?1)??1,

又k1??2,?y??5.

∴所求M的轨迹方程为：x??1(y??1且y??5).

11、(北京市东城区2023年高三综合练习一）已知定圆A:(x?1)2?y2?16,圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.

（I）求曲线C的方程；

（II）若点P(x0,y0)为曲线C上一点，求证：直线l:3x0x?4y0y?12?0与曲线C有且只有一个交点.解：（I）圆A的圆心为A(?1,0),半径r1?4，

设动圆M的圆心M(x,y),半径为r2,依题意有,r2?|MB|.由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1—r2，即|MA|+|MB|=4，

所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

x2y222设椭圆方程为2?2?1，由2a?4,2c?2,可得a?4,b?3.

abx2y2??1.故曲线C的方程为4342x0y0??1,可得x0??2，（II）当y0?0时,由43????6分

当x0?2,y0?0时,直线l的方程为x0?2,直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0).当x0??2,y0?0时,直线l的方程为x0??2,直线l与曲线C有且只有一个交点(?2,0).当y0?0时,直线l的方程为y?12?3x0x?y?,?4y0?联立方程组:?22?x?y?1.?3?4消去y,得(4y0?3x0)x?24x0x?48?16y0?0.①由点P(x0,y0)为曲线C上一点，

232212?3x0x,4y0

22x0y022得??1.可得4y0?3x0?12.

432于是方程①可以化简为x2?2x0x?x0?0.解得x?x0，

将x?x0代入方程y?12?3x0x可得y?y0,4y0

故直线l与曲线C有且有一个交点P(x0,y0),综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x0,y0).

x2y212、(北京市东城区2023年高三综合练习二)已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为

aby?3x，两条准线的距离为l.

（1）求双曲线的方程；

（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的

斜率均存在，求kPM·kPN的值.

?b?a?3,?2?2a?1,?（1）解：依题意有：?c

?a2?b2?c2,??解得a2?1,b2?3.y2?1.??????????????????6分可得双曲线方程为x?32（2）解：设M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得N(?x0,?y0).

设P(xP,yP),则kPM?kPN2023yP?y0yP?y0yP?y0???2.2xP?x0xP?x0xP?x02y0又x??1,322所以y0?3x0?3,22同理yP?3xP?3,

所以kPM?kPN223xP?3?3x0?3??3.22xP?x013、(北京市丰台区2023年4月高三统一练习一)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)经过点（0,2）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；

?????????????（Ⅲ）已知点M（2，0），N（0,1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共

线？假使存在，求出k的值；假使不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)设C（x,y）,

∵AC?BC＋AB?2?22,AB?2,∴AC?BC?22?2,

∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点.∴a?2,c=1.∴b2?a2?c2?1.

2x∴W:?y2?1(y?0).?????????????????2分2(Ⅱ)设直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程，得x?(kx?2)2?1.

2整理，得(1?k2)x2?22kx?1?0.①??????????5分

2由于直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k2?4(1?k2)?4k2?2?0，解得k??2或k?2.222∴满足条件的k的取值范围为k?（??,?

????????（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP?OQ＝（x1+x2，y1+y2),

222)?(,??)????7分22由①得x1?x2??42k2.②

1?2k又y1?y2?k(x1?x2)?22③

?????由于M(2,0)，N(0,1)，所以MN?(?2,1).?????????11分?????????????所以OP?OQ与MN共线等价于x1?x2=-2(y1?y2).

将②③代入上式，解得k?2.2?????????????所以不存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线.

14、(北京市海淀区2023年高三统一练习一)已知点A,B分别是射线l1:y?x?x≥0?，l2:y??x?x≥0?上的动点，O为坐标原点，且?OAB的面积为定值2．

（I）求线段AB中点M的轨迹C的方程；

（II）过点N?0,2?作直线l，与曲线C交于不同的两点P,Q，与射线l1,l2分别交于点R,S，若点P,Q恰为线段RS的两个三等分点，求此时直线l的方程．

解：（I）由题可设A?x1,x1?，B?x2,?x2?，M?x,y?，其中x1?0,x2?0.

x1?x2?x?,??2则??y?x1?x2,??2(1)1分

(2)∵?OAB的面积为定值2，∴S?OAB?11OA?OB?22?2x1??2x2?x1x2?2.2分

?(1)2?(2)2，消去x1,x2，得：x2?y2?2．4分

由于x1?0,x2?0，∴x?0，所以点M的轨迹方程为x2?y2?2（x＞0）．

5分

（II）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?kx?2．

由??y?kx?2,22?x?y?2,22消去y得：1?kx?4kx?6?0，6分

??设点P、Q、R、S的横坐标分别是xP、xQ、xR、xP，

?1?k2?0,?22???16k?24?1?k??0,?4k∴由xP,xQ?0得?8分

xP?xQ??0,?1?k2??6?xPxQ??0,?1?k2?解之得：?3?k??1．

∴xP?xQ??xP?xQ?226?2k2.9分?4xPxQ?2k?1由??y?kx?2,2消去y得：xR?，

1?ky?x,??y?kx?2,2消去y得：xS?，

?1?k?y??x,4.10分2k?1由?∴xR?xS?由于P,Q为RS的三等分点，∴xR?xS?3xP?xQ.11分解之得k??5.12分3

经检验，此时P,Q恰为RS的三等分点，故所求直线方程为y??5x?2.315、(北京市十一学校2023届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，

2其左焦点F1与抛物线y??4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、ByCA两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，CDAB?22．

F1OF2x（Ⅰ）求椭圆的方程；

（II）求过点O、F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

（Ⅲ）求???F???????2A?F2B的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F1(?1,0)．

x2y2设椭圆的方程：a2?b2?1(a?b?0)．

解方程组??y2??4xx??1得C（-1，2），D（1，-2）．

?由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴

|FC1||CD|2|F??22，|F1A|?，∴A21A||AB|2(1,2)．∴

1a2?12b2?1又a2?b2?c2?1，因此，1b2?1?12b2?1，解得b2?1并推得a2?2．故椭圆的方程为x22?y2?1．（Ⅱ）?a?2,b?1,c?1，

?圆过点O、F1，

?圆心M在直线x??12上．

设M(?12,t),则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

∴r?(?1)?(?2)?322.由OM?r,得(?1)2?t2?322,解得t??2.

BD????2分

????4分

19?所求圆的方程为(x?)2?(y?2)2?.??????????8分

24（Ⅲ）由点F,0),F2(1,0)1(?1①若AB垂直于x轴，则A(?1,22),B(?1,?)，22??????2????2?F2A?(?2,),F2B?(?2,?)，

22??????????17F2A?F2B?4??????????????????9分

22②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为

y?k(x?1)

?y?k(x?1)由?2得(1?2k2)x2?4k2x?2(k2?1)?02?x?2y?2?0???8k2?8?0，?方程有两个不等的实数根．

设A(x1,y1)，B(x2,y2).

4k22(k2?1)x1?x2??,x1?x2?????????????11分221?2k1?2k?F2A?(x1?1,y1),F2B?(x2?1,y2)

F2A?F2B?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(x1?1)(x2?1)?k2(x1?1)(x2?1)

?(1?k2)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?1?k2

2(k2?1)4k22?(k?1)(?)?1?k2?(1?k)221?2k1?2k27k2?179=??2221?2k2(1?2k)k2?0,1?2k2?1,0?1?1

1?2k277?F2A?F2B?[?1,]，所以当直线l垂于x轴时，F2A?F2B取得最大值

22当直线l与x轴重合时，F2A?F2B取得最小值?1

，0)及椭圆x?3y?5，过点C的动直线与16、(北京市西城区2023年4月高三抽样测试)已知定点C(?1椭圆相交于A，B两点.

22

（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是?1，求直线AB的方程；2（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MA?MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）解：

依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y?k(x?1)，

将y?k(x?1)代入x2?3y2?5，消去y整理得(3k2?1)x2?6k2x?3k2?5?0.????..2分

???36k4?4(3k2?1)(3k2?5)?0，(1)?设A(x1，y1)，????..4分B(x2，y2)，则?6k2?x1?x2??2.(2)3k?1?1x1?x23k21??2??，由线段AB中点的横坐标是?，得

223k?12解得k??3，适合(1).????..5分3所以直线AB的方程为x?3y?1?0，或x?3y?1?0.????..6分（Ⅱ）解：

假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA?MB为常数.

6k23k2?5，x1x2?2.(3)①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知x1?x2??23k?13k?1????????所以MA?MB?(x1?m)(x2?m)?y1y2?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?1)(x2?1)

?(k2?1)x1x2?(k2?m)(x1?x2)?k2?m2.????..8分

1142(2m?)(3k?1)?2m?????????(6m?1)k?5233?m2将(3)代入，整理得MA?MB??m?3k2?13k2?12?m?2m?216m?14?.33(3k2?1)????????47注意到MA?MB是与k无关的常数，从而有6m?14?0，m??，此时MA?MB?...11分

39②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为??1，?、???1，??2??3??2??，3?????????47当m??时，亦有MA?MB?.????..13分

39综上，在x轴上存在定点M??，0?，使MA?MB为常数.

?7??3?

17、(北京市西城区2023年5月高三抽样测试)已知抛物线的方程为x2?2py?p?0?，过点P?0,p?的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2的斜率之积为定值；

（Ⅰ）证明：直线l1和l2的斜率之积为定值；

（Ⅱ）求点M的轨迹方程。

解：(I)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋p

18、(北京市宣武区2023年高三综合练习一)在面积为9的?ABC中，

4tan?BAC??，且CD?2DB。现建立以A点为坐标原点，以?BAC的平分

3线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如下图。

(1)求AB、AC所在的直线方程；

(2)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；

(3)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求DE?DF的值。

解：（1）设?CAx??

EAyCxDF

B

则由tan?BAC?tan2??2tan?4??231?tan???为锐角，

?tan??2，

?AC所在的直线方程为y=2x

AB所在的直线方程为y=-2x?????????????????.4分（2）设所求双曲线为4x2?y2??,???0?设C?x1,y1?，B?x2,y2?，?x1?0,x2?0?，由CD?2DB可得：D?2?x1?2x22x1?4x2?,?33??2?x?x2??2x1?4x2??4?1??????，

3?3???32x1x2??944由tan?BAC??，可得sin?BAC?，

35即又?AB?5x1，AC?5x2，?x1x2?0?

114ABACsin?BAC??5?x1x2??2x1x2?9，225?S?ABC?即x1x2?9，代入（1）得??16，2x2y2??1???????????????????9分双曲线方程为

416（3）由题设可知，?DE,DF?????BAC，

?cos?DE,DF??cos(???BAC)?35xy设点D为?x0,y0?，则0?0?1

416又点D到AB，AC所在直线距离

22DF?2x0?y05，DE?2x0?y05，

而DE?DF?DE?DF?cos?DE,DF?=

2x0?y05?2x0?y05?348?525x2y219、(北京市宣武区2023年高三综合练习二)已知椭圆2?2?1ab?a?b?0?的离心率为1，且其焦点F（c，

2

0）(c＞0)到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A、B两点。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设M为右顶点，则直线AM、BM与准线l分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合），求证：FP?FQ?0

?c1???a?2?a2解：（1）由题意有?2解得?

a?c?1??c?3??cx2y2∴椭圆的标准方程为??1??????????????5分

43（2）①若直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x?1

∵该椭圆的准线方程为x?4,

∴P(4,?3)，Q(4,3)，∴FP?(3,?3)，FQ?(3,3)∴FP?FQ?0∴当直线AB与x轴垂直时，命题成立。②若直线AB与x轴不垂直，则设直线AB的斜率为k，∴直线AB的方程为y?k(x?1),k?0又设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4)

?y?k(x?1)?联立?x2y2消y得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0

??1?3?48k24k2?12?9k22,x1x2?∴x1?x2?∴y1y2?k(x1?1)(x2?1)?

3?4k23?4k23?4k2又∵A、M、P三点共线，∴y3?2y12y2同理y4?x1?2x2?2∴FP?(3,2y22y1)，FQ?(3,)

x2?2x1?24y1y2?0

x1x2?2(x1?x2)?4∴FP?FQ?9?综上所述：FP?FQ?0

x2?y2?1的左、右顶点分别为A1、A2，20、(四川省成都市2023届高中毕业班摸底测试)设双曲线C：2垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。

（Ⅰ）若直线m与x