2023年高考第二次模拟考试试卷数学（全国乙卷理）（全解全析）

年高考数学第二次模拟考试卷数学·全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。1．已知集合A=x∈Rx2−2x−3≤0，B=A．(1,3] B．[1,3] C．[1,3) D．(1,3)【答案】D【分析】解不等式求得集合A，求出集合B的补集，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】因为集合A=x∈Rx所以∁R所以A∩∁故选：D．2．已知复数z=1−2i，且z+az+b=2i，其中a,b为实数，则A．7 B．11 C．13 D．4【答案】C【分析】根据复数的运算，结合复数相等得a=2【详解】解；因为复数z=1−2i，所以z+所以1+a+b所以a+故选：C3．已知向量a=1,1，b=1,−2，c=x,−1，若A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【分析】因为向量c⊥a+2【详解】因为向量a=1,1，b=因为c⊥a+2b，所以故选：D．4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角躁）,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第n层有an个球,从上往下n层球的总数为Sn,则下列结论正确的是（A．1a1+C．a98=99×100【答案】A【分析】先根据规律写出递推关系式,即可判断选项D的正误;再利用累加法即可求得通项公式,即选项C正误,求出前7项,即可得选项B正误,求出1a【详解】解:由题知,第一层有1个球,第二层有3个球,即1+2=3,第三层有6个球,即3+3=6,则第四层的球数为6+4=10,当第n层有an第n+1层有a所以an故选项D错误;因为aan⋯,a3a2将上述式子相加可得:a=1+2+3+⋯+=n故1a所以1a故选项A正确;因为anS==84≠85,故选项B错误;因为a98故选项C错误.故选:A5．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若NF=MN，则A．33 B．1 C．43【答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l与x轴交点为E，画出图象，由抛物线定义及NF=MN可知△MNF【详解】由题可知，p=2，抛物线焦点F为1,0，准线l为x由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知因为NF=MN，所以△MNF是正三角形，则在Rt所以∠EFN=∠MNF故选：D6．在计算机的算法语言中有一种函数x叫做取整函数(也称高斯函数)，x表示不超过x的最大整数.例如:1.5=1,2=2,−3.5=−4.取整函数在科学和工程上有广泛应用.下面的程序框图是与取整函数有关的求和问题，若输入的kA．21 B．76 C．264 D．642【答案】C【分析】根据给定的程序框图，分析i的最大取值，再利用高斯函数的意义计算作答.【详解】初始值S=0，i=0，输入k=64，当i<64计算并进入判断框，不等式不成立，退出循环，输出S=[而[log21]=0，[log28=⋯=log232=⋯=所以S=故选：C7．在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面A1B1A．82π3 B．642π3【答案】A【分析】先确定四棱锥P−ABCD为正四棱锥，从而得出外接球的球心O在直线PO【详解】设AC与BD相交于点O1因为四棱台ABCD−ABB1的交点为P，所以四棱锥P−ABCD为正四棱锥，所以四棱锥P−ABCD的外接球的球心O在直线PO1上，连接因为AB=12=2,AB平行于A1B所以BO2=O1O则四棱锥P−ABCD的外接球的体积为故选：A8．在等差数列an中，若a1=1923,amA．2 B．8 C．15 D．19【答案】C【分析】根据等差数列通项公式可得d=30m−1=【详解】由题意可知，设等差数列an的公差为d则am=解得d=30m易知m,n>1即3n+7是10的整数倍，易得m=2,3所以m=4时，n的最小值为n所以m+n的最小值为故选：C9．已知函数f2x+1是定义在R上的奇函数，且f2x+1的一个周期为2，则（A．1为fx的周期 B．fx的图象关于点C．f2023=0 D．fx【答案】C【分析】举例判断A，B，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关系式论证C正确.【详解】因为y=tanπx2故函数f2令2x+1=t函数y=ft的最小正周期为4，对称中心为2函数y=A错误，B错误，D错误；因为函数f2x+1所以f−2取x=0可得，f因为f2所以f2取x=μ−1由fμ+4=所以f2023故选：C.10．12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（

）A．110 B．15 C．310【答案】D【分析】列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为a,则共有：a,满足条件的有4种情况，则p=故选：D11．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线C的左顶点，以F1A．2 B．3 C．5 D．2【答案】C【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入AP⋅AQ=−4方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.【详解】方法一：依题意，易得以F1F2又由双曲线C:x2当y=bax时，如图，设联立y=baxx2+y2又因为A(−a,0)所以AP=(2a,b)，AQ因为a2+b同理，当y=−ba故双曲线C的离心率为e=故选：C.方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且|PQ所以AP⋅AQ=14故选：C.12．已知函数fx=log33x−1+3A．−∞,−2 C．−2,43 【答案】C【分析】构造函数gx=log33x+1−12x【详解】因为gx=log33又x∈0,+∞时，3x2≥1，y=3所以gx在0,+∞所以fx=log所以fx关于直线x=2对称，且在所以fa两边平方，化简得a+23a故选：C．【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数gx二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。13．已知a>0,b>0，且ab=a−b+3，则a+b的最小值为___________.【答案】2【分析】利用等式ab=a−b+3求解b【详解】因为ab=a−则a当且仅当a=2−1故答案为：2214．经过点P1,1以及圆x2+【答案】x【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.【详解】联立x2+y代入x2+y2−4=0，得x则圆x2+y2−4=0设经过点P1,1以及(0,2),(−2,0)的圆的方程为x则2+D+E故经过点P1,1以及圆x2+y2故答案为：x15．x+1x+1【答案】10【分析】确定x+1x+11−x6=x1−x【详解】x+1−x6展开式的通项为取r=2得到T取r=3得到T取r=4得到T故x3的系数为15−20+15=10故答案为：1016．若函数y=ex与y=e【答案】(1,+∞)【分析】令fx=ex−ea(lnx+a【详解】令fx函数y=ex等价于fx在0,+∞f'令f'x=0令gx=xex故gx在0,+∞单调递增，易得lim故存在x0∈0,+∞，使得gx0当x∈0,x0时，gx<0，等价于当x∈x0,+∞时，gx>0，等价于故fx0为极小值，因为fx则fx0<0因为x0ex则ex0−x故答案为：(1,+∞).三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=32，且满足c(1)求△ABC的外接圆半径；(2)若∠B的平分线BD交AC于点D，且BD=3，求△ABC【答案】(1)6(2)3【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解；（2）根据角平分线利用三角形面积间的关系得ac=a+【详解】（1）csin由正弦定理，得c2a−即cosB因为0<B<π设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知2R所以△ABC的外接圆半径为6．（2）由BD平分∠ABC，得S△则12acsin在△ABC中，由余弦定理可得b2又b=32，则联立ac=a+解得ac=6（ac故S△18．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2π3，E为BC的中点，F为AB上一点，且EF⊥AB.现将△BEF沿EF翻折到(1)证明：EF⊥AB(2)已知二面角B'−EF−A为π3，在棱AC上是否存在点M，使得直线BC与平面B'MF【答案】(1)证明见解析(2)存在，AM【分析】（1）翻折前，在△ABC中，EF⊥AB，翻折后，有EF（2）由二面角的定义可得∠B'FA=π3，然后以点F为坐标原点，FE、FA所在直线为x、y轴，过点F且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，设AM=【详解】（1）证明：翻折前，在△ABC中，EF⊥AB，翻折后，有EF又AF∩FB'=F，AF、FB因为AB'⊂平面AF（2）解：因为二面角B'−EF−A为π所以，二面角B'−EF以点F为坐标原点，FE、FA所在直线为x、y轴，过点F且垂直于平面ABC的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=4，则F0,0,0、A0,1,0、C23AC=23,2,0，FA=设AM=λAC=2设平面B'MF的法向量为由u⋅FB取c=2λ，可得cosu,EC故当AM=156AC时，直线BC与平面19．港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平．在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下表所示：t1234567z0.010.040.140.521.382.314.3研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数z=kebt进行拟合．令u=lnz，计算得：z=1.24，i=17ti−(1)请判断是否可以用线性回归模型拟合u与t的关系；（通常r>0.75(2)试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；(3)已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险．若规定每天下午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方．附：①相关系数r=i=1②回归直线y=b③参考数据：210≈14.5，ln【答案】(1)可以(2)z=e0.9(3)第7天【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可.（2）根据公式计算u与t的回归方程，然后转化为z与t的回归方程；（3）注意下沉速率9毫米/天，指的是瞬时变化率，利用导数求解.【详解】（1）t=i=1r=∴|r（2）设z=keb=lnk∴kz=e0.9t−4.8所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为e2.4（3）z=下沉速率：z'所以设第n天下沉速率超过9毫米/天，则：0.9e0.9n−4.8>9，e0.9n所以第8天该隧道拱顶的下沉速率超过9毫米/天，最迟在第7天需调整支护参数，才能避免塌方．20．已知双曲线C:x2a2−y2b2=10<a<10,b>0的右顶点为A，左焦点F−c,0到其渐近线bx+ay=0的距离为2，斜率为(1)求双曲线C的方程；(2)过点T6,0的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N两点，试问：以线段【答案】(1)x(2)以线段MN为直径的圆过定点6−23,0和【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解b=2，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解a（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【详解】（1）∵双曲线C的左焦点F−c,0到双曲线C的一条渐近线bx+ay=0的距离为d∴双曲线C的方程为x2依题意直线l1的方程为y由x2a2依题意：36−a2≠0，Δ>0则xA∵xA=a，∴AB=1+13即a−aa2+36a2−36=8∴双曲线C的方程为x2（2）依题意直线l2的斜率不等于0，设直线l2的方程为由x=my+6,x2∴4m2−9≠0设Px1,y1，Q直线AP的方程为y=y1x1−3x−3同理可得N6,3y2x设该定点为Rt,0，则RM=故RM====6−解得t=6−23或故以线段MN为直径的圆过定点6−23,0和【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.21．已知函数fx(1)讨论fx在0,+(2)若a>0时，方程fx=lnx−12x【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；（2）令t=xe【详解】（1）由题意得f'因为x>0，所以x当a≤0时，aex−1<0，f'当a>0时，令aex①若a≥1，则x=−lna≤0，当x>0时，f②若0<a<1，则x=−lna>0，当x∈0,−lna时，f'x<0，所以f综上，当a≤0时，fx在当a≥1时，fx在当0<a<1时，fx在0,−ln（2）证明：方程fx=lnx因为axex−令t=xexx>0，因为方程axex−lnx+x=0有两个实根x1，x2，令t1要证x1x2>e2−x由已知at所以at整理可得t1不妨设t1即证lnt即证lnt令s=t1t2构造函数gs=lns所以函数gs在1,+∞上单调递增，当s>1时，【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分。请考生在第22