质能方程的证明

要想导出这个你首先要认可狭义相对论的两个假设:1.任一光源所发之球状光在一切惯性参照系中的速度都各向同性总为c2.所有惯性参考系内的物理定律都是相同的.

如果你的行走速度是v.你在一量以速度u行驶的公车上.那么你当你与车同相走时.你对地的速度为u+v.反向时为u-v.你在车上过了1分钟.别人在地上也过了1分钟--这就是我们脑袋里的常识.也是物理学中著名的伽利略变幻.整个经典力学的支柱.该理论认为空间是独立的.与在其中运动的各种物体无关.而时间是均匀流逝的.线性的.在任何观察者来看都是相同的.

而以上这个变幻恰恰与狭义相对论的假设相矛盾.

事实上.在爱因斯坦提出狭义相对论之前.人们就观察到许多与常识不符的现象.物理学家洛伦兹为了修正将要倾倒的经典物理学大厦.提出了洛伦兹变换.但他并不能解释这种现象为何发生.只是根据当时的观察事实写出的经验公式--洛伦兹变换--而它却可以通过相对论的纯理论推倒出来.

这个不能帖图.不然我把公式给你帖出来.你可以自己到网上去查一下洛伦兹变换的公式.

然后根据这个公式又可以推倒出质速关系.也就是时间会随速度增加而变慢.质量变大.长度减小.公式写起来也很麻烦.我只写一个质量的.其他你可以到网上查到--m=m0/sqr(1-v＾2/c＾2).

其中sqr是开根号的意思.m是该物体的实际质量.而m0为静止质量.m-m0就是物体的通过运动所多出来的质量.

一个物体的实际质量为其静止质量与其通过运动多出来的质量之和.

当外力作用在静止质量为m0的自由质点上时.质点每经历位移ds.其动能的增量是dEk=F·ds.如果外力与位移同方向.则上式成为dEk=Fds.设外力作用于质点的时间为dt.则质点在外力冲量Fdt作用下.其动量增量是dp=Fdt.考虑到v=ds/dt.有上两式相除.即得质点的速度表达式为v=dEk/dp.亦即dEk=vd(mv)=V＾2dm+mvdv.把爱因斯坦的质量随物体速度改变的那个公式平方.得m＾2(c＾2-v＾2)=m02c＾2.对它微分求出:mvdv=(c＾2-v＾2)dm.代入上式得dEk=c＾2dm.上式说明.当质点的速度v增大时.其质量m和动能Ek都在增加.质量的增量dm和动能的增量dEk之间始终保持dEk=c＾2dm所示的量值上的正比关系.当v=0时.质量m=m0.动能Ek=0.据此.将上式积分.即得∫Ek0dEk=∫m0mc＾2dm(从m0积到m)Ek=mc＾2-m0c＾2

上式是相对论中的动能表达式.爱因斯坦在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解.他把m0c＾2叫做物体的静止能量.把mc＾2叫做运动时的能量.我们分别用E0和E表示:E=mc＾2.E0=m0c＾2一步：要讨论能量随质量变化，先要从量纲得知思路：能量量纲[E]=[M]([L]^2)([T]^(-2)),即能量量纲等于质量量纲和长度量纲的平方以及时间量纲的负二次方三者乘积。我们需要把能量对于质量的函数形式化简到最简，那么就要求能量函数中除了质量，最好只有一个其它的变量。把([L]^2)([T]^(-2))化简，可以得到只有一个量纲-速度[V_]的形式：[V_]*[V_]。也就是[E]=[M][V_]*[V_]可见我们要讨论质能关系，最简单的途径是从速度v_下手。----------------------------------------------------第二步：先要考虑能量的变化与能量的变化有关的有各种能量形式的转化，其中直接和质量有关的只有做功。那么先来考虑做工对于能量变化的影响。当外力F_(后面加_表示矢量，不加表示标量)作用在静止质量为m0的质点上时，每产生ds_（位移s_的微分）的位移，物体能量增加dE=F_*ds_(*表示点乘)。考虑最简化的外力与位移方向相同的情况，上式变成dE=Fds----------------------------------------第三步：怎样把力做功和速度v变化联系起来呢？也就是说怎样来通过力的作用效果来得出速度的变化呢？我们知道力对物体的冲量等于物体动量的增量。那么，通过动量定理，力和能量就联系起来了：F_dt=dP_=mdv_----------------------------------------第四步：上式中显然还要参考m质量这个变量，而我们不想让质量的加入把我们力和速度的关系复杂化。我们想找到一种办法约掉m，这样就能得到纯粹的速度和力的关系。参考dE=Fds和F_dt=dP_，我们知道，v_=ds_/dt那么可以得到dE=v_*dP_如果考虑最简单的形式：当速度改变和动量改变方向相同：dE=vdP---------------------------------第五步：把上式化成能量和质量以及速度三者的关系式（因为我们最初就是要讨论这个形式）：dE=vd(mv)----因为dP=d(mv)---------------------------------第六步：把上式按照微分乘法分解dE=v^2dm+mvdv这个式子说明：能量的增量含有质量因速度增加而增加dm产生的能量增量和单纯速度增加产生的能量增量2个部分。（这个观点非常重要，在相对论之前，人们虽然在理论物理推导中认识到质量增加也会产生能量增量，但是都习惯性认为质量不会随运动速度增加而变化，也就是误以为dm恒定为0，这是经典物理学的最大错误之一。）---------------------------------第七步：我们不知道质量随速度增加产生的增量dm是怎样的，现在要研究它到底如何随速度增加（也就是质量增量dm和速度增量dv之间的直接关系）：根据洛仑兹变换推导出的静止质量和运动质量公式：m=m0[1-(v^2/c^2)]^(-1/2)化简成整数次幂形式：m^2=(m0^2)[1-(v^2/c^2)]化成没有分母而且m和m0分别处于等号两侧的形式（这样就是得到运动质量m对于速度变化和静止质量的纯粹的函数形式）：(m^2)(c^2-v^2)=(m0^2)c^2用上式对速度v求导得到dm/dv（之所以要这样做，就是要找到质量增量dm和速度增量dv之间最直接的关系，我们这一步的根本目的就是这个）：d[(m^2)(c2-v2)]/dv=d[(m02)c2]/dv(注意式子等号右边是常数的求导,结果为0)即[d(m2)/dv](c2-v2)+m2[d(c2-v2)/dv]=0即[m(dm/dv)+m(dm/dv)](c2-v2)+(m2)[0-2v]=0即2m(dm/dv)(c2-v2)-2vm2=0约掉公因式2m(肯定不是0，呵呵，运动质量为0？没听说过)得到：(dm/dv)(c2-V2)-mv=0即(dm/dv)(c^2-V^2)=mv由于dv不等于0（我们研究的就是非静止的情况，运动系速度对于静止系的增量当然不为0）(c^2-v^2)dm=mvdv这就是我们最终得到的dm和dv的直接关系。--------------------------------------------第八步：有了dm的函数，代回到我们第六步的能量增量式dE=v^2dm+mvdv=v^2dm+(c^2-v^2)dm=c^2dm这就是质能关系式的微分形式，它说明：质量的增量与能量的增量成正比，而且比例系数是常数c^2。------------------------------------------最后一步：推论出物体从静止到运动速度为v的过程中，总的能量增量：对上一步的结论进行积分，积分区间取质量从静止