最全面相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)(完整版)

学习必备欢迎下载相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△AB∽△′′′的对应边的比，即相似比为k学习必备欢迎下载相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△AB∽△′′′的对应边的比，即相似比为kABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必学习资料精品学习资料第1页，共13页学习必备欢迎下载须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。6. 位似①定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．②性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7.三角形的重心①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍学习必备欢迎下载须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。6. 位似①定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．②性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7.三角形的重心①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、相似三角形解题思路：1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习资料精品学习资料第2页，共13页学习必备欢迎下载学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠学习必备欢迎下载学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠D(或∠E)，则△看成把第一个图中的△A旋转某一角度而形成的．温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．相似三角形专题分类练习讲解学习资料精品学习资料第3页，共13页学习必备欢迎下载题型一：线段的比、黄金分割1.在比例尺10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（）200cm．200dm．200mD．200kmBC2.若则下列各式中不正确的是（）．Cxyxy25xxyyx3y5z，且6xy2，则33.若，则= ；已知= ；已知6，则3y2zyx ,y 。0，则x∶ = 。4.若5x0且xyy4y5.2和学习必备欢迎下载题型一：线段的比、黄金分割1.在比例尺10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（）200cm．200dm．200mD．200kmBC2.若则下列各式中不正确的是（）．Cxyxy25xxyyx3y5z，且6xy2，则33.若，则= ；已知= ；已知6，则3y2zyx ,y 。0，则x∶ = 。4.若5x0且xyy4y5.2和8的比例中项是 ；线段2㎝与8㎝的比例中项为 。6.已知a：b：c＝2：3：4，且2a＋3b－2c＝10，求a，b，c的值。题型二：相似的性质1.如果两个相似三角形的面积比为3∶ 。2.已知△AB∽△DE，且ABC的面积与△DEF的面积之比为3.如图,DE∥Δ= 。4.如图，已知等边三角形ABC的边长为DE是它的中位线，则下面四个结论：（）DE=（）△CD∽△CA（）△CD的面积与△CA的面积之比为1：4.其中正确的有： 个5.4ABE面积之比为 6.平行四边形是对角线AE=EF=F，DE交AB于点，M交C于点CN= 。AADDEEBCBC第3题第4题第5题第6题7.如图，已知平行四边形E是AB边的中点，AC于点四部分的面积分别为学习资料精品学习资料第4页，共13页学习必备欢迎下载下面结论：①只有一对相似三角形；②③：：：=：2：4：5．其中正确的结论是（）A ．①③．③．①．①②BCD的大小关系是（）8.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是，那么>=的大小关系不确定B.C.D.9.如图，在正方形中，点E在AB边上，且AE学习必备欢迎下载下面结论：①只有一对相似三角形；②③：：：=：2：4：5．其中正确的结论是（）A ．①③．③．①．①②BCD的大小关系是（）8.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是，那么>=的大小关系不确定B.C.D.9.如图，在正方形中，点E在AB边上，且AE∶EB＝1，AF⊥DE于G交BC于F，则△ABCDAEG的面积与四边形的面积之比为（）BEGFA.1 ∶2∶4∶9∶3B.1C.4D.2∶＝4∶9，则AE∶EC为（）O，SS10.如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点DOECOBA.2 ∶111.已知三个边长为∶3∶9∶4B.2C.4D.53，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为 ．第7题第8题第9题第10题BC交第11题12.如图在△AB中，矩形 DEF，、F在BC上，、E分别在DE于，D∶DE＝12cm，8cm，求矩形的各边长。ADMEBGH2F C变式图DFA的面积和四13.已知如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F为垂足，求△边形CDFE的面积S2。题型三：相似的有关证明1.已知：如图，梯形于M、N点ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交学习资料精品学习资料第5页，共13页学习必备欢迎下载求证：MD：ME＝ND：NENDCMABE2，求证：△AEF∽△ACD．D在AB上，且DE∥BC，交AC于E，F在AD上，且学习必备欢迎下载求证：MD：ME＝ND：NENDCMABE2，求证：△AEF∽△ACD．D在AB上，且DE∥BC，交AC于E，F在AD上，且ADAFABABCDA作AE⊥BC垂足为E连接DEF为线段DE上一点且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．题型四：函数与相似1. 如图，正方形DC中点，E为BC上任一点，（E点与点C不重合）设，过E作AB于与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。2.如图，是（F与点点C不重合），过F作EH的平行线交AB于BF为，四边形 HGFE面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。学习资料精品学习资料第6页，共13页学习必备欢迎下载3.如图，有一块直角梯形铁皮ABC，A＝3c，B＝6c，C＝4c，现要截出矩形EFC，（E点在AB上，与点学习必备欢迎下载3.如图，有一块直角梯形铁皮ABC，A＝3c，B＝6c，C＝4c，现要截出矩形EFC，（E点在AB上，与点B不重合），设，矩形，（1）写出与的函数关系式，并指出自变量取值范围；（ 2）取何值，矩形。24.如图，已知抛物线y＝x－1与x轴交于、B两点，与y轴交于点 （1）求、、C三点的坐标．（）过点A作x轴上方的抛物线上是否存在一点过作M⊥x轴于点，使以、、G三点为顶点的三角形与△M点的坐标；y否则，请说明理由．POBAxCA(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．(1)求经过C三点的抛5.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为物线解析式； (2)设直线BC交y轴于点AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点 AD交BC于点F，试问以B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．学习资料精品学习资料第7页，共13页学习必备欢迎下载题型五、圆与相似1.（2013?绥化）如图，点D为⊙O上的四个点，AC平分∠BA，AC交BD于点则AE学习必备欢迎下载题型五、圆与相似1.（2013?绥化）如图，点D为⊙O上的四个点，AC平分∠BA，AC交BD于点则AE的长为（）A.4B.5C.6D.72.如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，AC交AC的延长线于O的切线BF交F。(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若O的半径为 BF的长。3.如图，Rt△O为直角边 BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点BC交于另一点BEO（）求证：△AO≌△AO；D（O的半径及图中阴影部分的面积AC4.如图⊙O是△AB是直径，D是AB延长线上一点，DC的延长线于点AC平分∠（1）求证:DE是⊙O的切线；若AB=6,AE=4, 求BD的长(2)学习资料精品学习资料第8页，共13页学习必备欢迎下载5.（2012辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点 C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D作AC的垂线交AC的延长线于点学习必备欢迎下载5.（2012辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点 C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D作AC的垂线交AC的延长线于点BC交F。（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若6，5，求AF的长。6.（2013十堰）如图△ABC中，CA=C，点在高C上，O⊥CA于点，O⊥CB于点O为圆心，（1）求证：⊙O与CB相切于点 （2）如图2，若⊙O过点BHE的面积．题型六、因动点产生的相似问题D是△AB边上一点，过及三角形边上的一点E的三角形与△ABC相似，画出示意图。D是Rt△BC边上一点，过D及三角形边上的一点E的三角形与△AADC第9页，共13页学习资料精品学习资料BBCD学习必备欢迎下载2．已知Rt△OB的中点，点C为折线PC把Rt△C在什么位置时，分割得到的三角形与△线段，写出点C的坐标。yy85BDA7463B5P241PA43o-5-4-3-2-11235x2-1BC1-2-3o-1-1123456Ax-4F第2题第3题第4学习必备欢迎下载2．已知Rt△OB的中点，点C为折线PC把Rt△C在什么位置时，分割得到的三角形与△线段，写出点C的坐标。yy85BDA7463B5P241PA43o-5-4-3-2-11235x2-1BC1-2-3o-1-1123456Ax-4F第2题第3题第4题3．在直角坐标系中有两点（，，（，2，如果点C在x轴上（C与AC的坐标为时，使得由点C组成的三角形与△ 4．已知：如图，P是边长为 4的正方形 BF上找一点C为顶点的三角形与△ABP相似。5. 正方形ABC边长为4，、分别是B、C上的两个动点，当点在B上运动时，保持A和M垂直.（）证明：Rt△AB∽Rt△MC；（）设Bx，梯形ABC的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当形（）当点运动到什么位置时 Rt△AB∽Rt△AM，求此时 x的值.ADNB6. 如图，在△AB中，∠BAC=9°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与MCB,CF,G．（1）求证：EGADCGCD；（FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；A（FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．FGBCDE学习资料精品学习资料第10页，共13页学习必备欢迎下载7.矩形OAB在平面直角坐标系中位置如图所示，C两点的坐标分别为（6，，（，－，直线y34与D点．x＝－（1）求点D的坐标；942（2）若抛物线经过点y学习必备欢迎下载7.矩形OAB在平面直角坐标系中位置如图所示，C两点的坐标分别为（6，，（，－，直线y34与D点．x＝－（1）求点D的坐标；942（2）若抛物线经过点y＝axx－（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线，点P为对称轴上一动点，以形与△OC相似，求符合条件的点P的坐标．yAO6x-3BCD3y＝－ x42x＋5x－2与x轴相交于点128．如图，抛物线y轴相交于点2（）求证：△AO∽△CO；（2）过点C作x轴交抛物线于点P在线段AB上以每秒 1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，P＝A．yABPxODCQ学习资料精品学习资料第11页，共13页学习必备欢迎下载799．如图，二次函数的图象经过点D(0，3)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．题型三：位似1.如图所示，以点O为位似中心，将五边形已知10＝20cm，则五边形 学习必备欢迎下载799．如图，二次函数的图象经过点D(0，3)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q的坐标；如果