6空间向量的坐标运算（1课时）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——6空间向量的坐标运算（1课时）东北师大附中高三数学（文、理）第一轮复习064

空间向量的坐标运算（1课时）

备课人：盛世红2023-1-22

一、知识点：

1、单位正交基底：假使空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长都为1，则这个基底叫做单

位正交基底，常用????i,j,k?来表示．

2、向量的直角坐标运算：设??a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?,则

???1?a?b??a1?b1,a2?b2,a3?b3?,???2?a?b??a1?b1,a2?b2,a3?b3?,???3?a???a1,?a2,?a3????R?,???4?a?b?a1b1?a2b2?a3b3,???5?a//b?aa1a2a31??b1,a2??b2,a3??b3,???R?或b??,1b2b???36?a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0,??????????????7?设A?x1，y1，z1、B?x2，y2，z2?，则AB?OB?OA??x2?x1，y2?y1，z2?z1???3、夹角公式：设a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?，则

??????a?a?a?a22221?a2?a3,b?b?b?b221?b2?b3,???a?b?a1b1?a2b2?a3b3,则

??cosa,b?a1b1?a2b2?a3b3a222.1?a22b22?a31?b2?b34、空间两点距离公式：在空间直角坐标系中，已知A?x1,y1,z1?,B?x2,y2,z2?，则

????????????AB?AB?AB??x22222?x1???y2?y1???z2?z1?.或dA,B??x2?x1?2??y22?y1???z2?z1?.

????????5、定比分点坐标公式：设A?x1,y1,z1?,B?x2,y2,z2?，若AP??PB???R,???1?，则P点

坐标为：?x??x?12,y1??y2z1??z2??1??1??,1????

当?=1时，P是AB的中点，P点坐标为?x??x12y2z1?z2??2,y1?2,2?，称之为中点坐标公式?6、假使表示向量?，记作?a的有向线段所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?a??.假使?那么向量??a??.a叫做平面?的法向量．称?e?a?为单位法向量．

a设???a?x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，

则??a//b?x1y1z1，????x?y?a?b?a?b?x1x2?y1y2?z1z2?022z2二、应用举例

例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、B1B的中点，求

（1）异面直线CM与D1N的距离

（2）CM与D1N的所成的角的正弦值.D1C1

A1B1M

N

DC

A

B

1

三、练习：

9．若a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5)，⑴若（ka+b）//（a-3b），求k；1．????a??2,5,2?,b??3,1,?1?，则a在b上的射影是（）

⑵若（ka+b）⊥（a-3b），求k.A.911B.911C.333D.33311112．平行四边形ABCD的顶点A?4,1,3?,B?2,?5,1?,C?3,7,?5?，则顶点D的坐标为（）

A．?7?,4,?1??B．（2，3，1）C．（－3，1，5）D．（5，13，－3）

?2?3．已知向量????a??sin?,cos?,tan??,b??cos?,sin?,cot??，若a?b，则?=（）

A．???4B．

4C．2k???2?k?z?D．k???4?k?z?

4．设点B是点A（2，－3，5）关于xoy平面的对称点，则????AB=（）

A．10B．10C．38D．385．以下说法正确的是（）

A．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底

B．不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底C．单位正交基底中的基向量模为1，且相互垂直

D．只要对空间一点P，存在三个有序数x，y，z，使O、A、B、C四点满足

????????????????????????????OP?x?OA?y?OB?z?OC,则OA、OB、OC就构成空间的一个基底

6．若????????a,b,c?构成空间的一个基底，存在实数x、y、z使xa?yb?zc?o，

则必有.

???7．若a?x,2,2?,b??2,?3,5?的夹角为钝角，则x的取值范围是.??8．求同时垂直于a??2,2,1?,b??4,5,3?的单位向量.

2

064例题答案：

zD1C1例1解：（1）不妨设此正方形棱长为1，且???????????????????DA?i,DC?j,DDA1B11?k,i,j,k为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz，则

EC?0,1,0?,D?1??1?1?0,0,1?,M??1,0,2??,N??1,1,2??,D?????

CM??1???????FC??1,1?1,2??,D???1N?1,1,?2??AxB设?n??x,y,z?为CM与D1N公垂线的方向向量，

则??????CM?n?x?y?1??????12z?0,D1N?n?x?y?2z?0.

?????x?0,z?2,?n??0,1,2?,CN??1?1,0,?取y?1，则

?2?.???????d?CN?n??11?0?0?1?1?5n522?5,

即直线CM与D1N的距离就是55.

（2）C?0,1,0?,M?1?1,0,?D???????CM?,

?2?,1?0,0,1?,N?1??1,1,2?,?CM??1,1??????,3???1,??2?2

?????1?1?1D?1??????3??????????4

1N??1,1,?9??19,

?2?,D1N?,?cosCM,D1N??24??