2023年新课标高考高中数学基础知识归纳

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第一部分集合

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的．．．．．取值？还是曲线上的点？?2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，．．．．将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1)元素与集合的关系：x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.（2）德摩根公式：CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

（3）A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R

注意：探讨的时候不要遗忘了A??的状况.

（4）集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个；

非空真子集有2–2个.

4．?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

其次部分函数与导数

1．映射：注意:①第一个集合中的元素必需有象；②一对一或多对一.

2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；

nnnna?ba2?b2⑥利用均值不等式ab?；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、?22绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（a、sinx、cosx等）；⑨平方法；⑩导数法3．复合函数的有关问题:

（1）复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数y?f(u)②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减〞来判断原函数在其定义域内的单调性.4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性:

?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．?f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)；f(x)是偶函数?f(?x)?f(x).?奇函数f(x)在0处有定义，则f(0)?0

?在关于原点对称的单调区间内：奇函数有一致的单调性，偶函数有相反的单调性?若所给函数的解析式较为繁杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6．函数的单调性:

x?单调性的定义：

①f(x)在区间M上是增函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)；②f(x)在区间M上是减函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)；

?单调性的判定：①定义法：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法。7．函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x)（其中T为非零常数），则称函数

f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特

别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：①y?sinx:T?2?；②y?cosx:T?2?；③y?tanx:T??；④y?Asin(?x??),y?Acos(?x??):T?2?|?|；⑤y?tan?x:T??|?|

(3)与周期有关的结论：

f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0)?f(x)的周期为2a

8．基本初等函数的图像与性质：

㈠.?指数函数：y?ax(a?0,a?1)；?对数函数:y?logax(a?0,a?1)；?幂函数：y?x?（??R)；?正弦函数:y?sinx；?余弦函数：y?cosx；（6）正切函数：y?tanx；?一元二次函数：ax2?bx?c?0（a≠0）；?其它常用函数：①正比例函数：y?kx(k?0)；②反比例函数：y?kx(k?0)；③函数y?x?ax(a?0)m㈡.?分数指数幂：an?nam；a?mn?1（以上a?0,m,n?N?m，且n?1）.

an?.①ab?N?logaN?b；②loga?MN??logaM?logaN；

③logMaN?logM?log④lognnaaN；amb?mlogab.?.对数的换底公式:loglogmNlogaNaN?log.对数恒等式:a?N.

ma9．二次函数：

?解析式：①一般式：f(x)?ax2?bx?c；②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k，(h,k)为顶点；

③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)（a≠0）.

1

?二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数y?ax2?bx?c的图象的对称轴方程是x??b，顶点坐标是???2a??b4ac?b22a，4?。?a??10．函数图象：

?图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法?图象变换：

①平移变换：ⅰ)y?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)———左“+〞右“－〞；ⅱ)y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)———上“+〞下“－〞；

②对称变换：ⅰ)y?f(x)??(0?,0)?y??f(?x)；ⅱ)y?f(x)??y?0?y??f(x)；ⅲ)y?f(x)???x?0y?f(?x)；ⅳ)y?f(x)???y??xx?f(y)；③翻折变换：

ⅰ)y?f(x)?y?f(|x|)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；ⅱ)y?f(x)?y?|f(x)|———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明：

(1)证明函数y?f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于对称中心（对

称轴）的对称点在y?g(x)的图象上，反之亦然。

注*：①曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x,y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,－y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0

②f(a+x)=f(b－x)（x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=

a?b2对称；特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=a对称.③y?f(x)的图象关于点(a,b)对称?f?a?x??f?a?x??2b.特别地：y?f(x)的图象关于点(a,0)对称?f?a?x???f?a?x?.④函数y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称;函数y?f(a?x)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?0对称。12．函数零点的求法：

?直接法（求f(x)?0的根）；?图象法；?二分法.

2

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)

是椭圆x2y259.(1)Pa2?b2?1(a?b?0)上一点,F1、F2是它的两个焦点,∠F1PF2=θ，则

△PFF2?12的面积=btan2.

x2y2(2)P是双曲线a2?b2?1(a?0,b?0)上一点,F1、F2是它的两个焦点,∠F1PF2=θ，则

△PFb2cot?1F2的面积=2.

260.抛物线y2?2px上的动点P?x可设为P(y00,y0?2p,y0)或P(2pt2,2pt).

61.(1)P(x,yy2?2px上的一点,F是它的焦点,则PF?xp00)是抛物线0?2；

(2)抛物线y2?2px的焦点弦长l?2psin2?,其中?是焦点弦与x轴的夹角；(3)抛物线y2?2px的通径长为2p.

62*.抛物线的切线方程：

(1)抛物线y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).

（2）过抛物线y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0).（3）抛物线y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC.63.圆锥曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0.64*.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0.（2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是：

F(x?2A(Ax?By?C)2B(Ax?ByA2?B2,y??C)A2?B2)?0.

65*.“四线〞一方程：

对于一般的二次曲线Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0，用x20x代x，用y0y代y2，

用

x0y?xy02代xy，用x0?x2代x，用y0?y2代y即得方程Ax?B?x0y?xy02?Cyx0?xy?y0x0y?D?2?E?02?F?0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.

66.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足???OP??xOA?????yOB?????zOC????，则四点P、A、B、C共面?x?y?z?1．

67.空间两个向量的夹角公式:cosa,b?a1b1?a2b2?a3b3a222222，其中

1?a2?a3?b1?b2?b3a??a1,a2,a3?，b??b1,b2,b3?.异面直线所成角?的求法：

cos??cos?a?,b??

68.直线AB与平面?所成角?满足:sin??cosAB,m?AB?mAB?m,其中m为面?的法向量.

20

69.二面角??l??的平面角?满足:cos??cosm,n,其中m、n为平面?、?的法向量.70.空间两点间的距离公式:若A?x1,y1,z1?B?x2,y2,z2?,则

dA,B??x2?x1?2??y2?y1?2??z2?z1?2.

1a71.点Q到直线l的距离:h??a?b???a?b?22,点P在直线l上,直线l的方向向量a?PA,向量

b?PQ.

72.点B到平面?的距离:d?AB?nn,n为平面?的法向量,AB是面?的一条斜线,A??.

73.(1)设直线OA为平面?的斜线,其在平面内的射影为OB,OA与OB所成的角为?1,OC在平面?

内,且与OB所成的角为?2,与OA所成的角为?,则cos??cos?1cos?2.

(2)若经过?BOC的顶点的直线OA与?BOC的两边OB、OC所在的角相等，则OA在?BOC所在

平面上的射影为?BOC的角平分线；反之也成立.

S''74.面积射影定理:S?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，所在平面成锐二面角?).

cos?75.分类计数原理:N?m1?m2???mn.分步计数原理:N?m1?m2???mn.

mm?176.排列恒等式:①An；②An??(n?m?1)Annn?1nmmm?1④nAn.?An?1?An；⑤An?1?An?mAnmnmmm?1An?1；③An?nAn?1；n?m77*.常见组合恒等式:

n?m?1m?1nnm?1mmmkk?1Cn;?Cn?CnCn?1;?kCn?nCn?1;?Cn??1mn?mmrr?1012rnn?Crr?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1.(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2.

?Cn?m135024123n(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1.(8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2n?1mm78．排列数与组合数的关系是：An?m！?Cn79．单条件排列：以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

mm?1m?1（1）“在位〞与“不在位〞：①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1

1m?1m1m?1（补集思想）?An（着眼位置）A?A?AA?1n?1n?1m?1n?1（着眼元素）种.

km?k（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能贴近

hk的所有排列数有AhAh?1种.

（3）两组元素各一致的插空：m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.

Ann（4）两组一致元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别一致的排列数为Cm?n.

80*．分派问题：

（1）(平均分组有归属问题)将相异的mn个物件等分给m个人，各得n件，其分派方法数共有

21

nnnnnN?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(mn)!.m(n!)（2）(平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分派方法数共有

nnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?Cn.N??m!m!(n!)m?(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必需被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分派方法数共有

nmn1n2N?Cp?CpCn?m!??n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必需被分完，

分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记

p!号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分派方法数有N?.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件

分派方法数有N??无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分派方法数有

nmn1n2Cp?CpCn?m!?n1...mN?p!.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，

物体必需被分完，假使指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，n2，?，nm等mm个数是否全相异或不全相异其分派方法数恒有N?Cp1?Cp2Cnm??n1...nnnp!.

n1!n2!...nm!0n1n?12n?22rn?rrnn81．二项式定理:(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb；

rn?rr1，2?，n).二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnab(r?0，82．等可能性事件的概率：P(A)?果）

m.（一次试验共有n个结果等可能的出现，事件A包含其中m个结n83．①互斥事件A、B有一个发生的概率：P?A?B??P?A??P?B?；n个互斥事件中有一个发生的概

率：P?A1?A2?????An??P?A1??P?A2??????P?An?；

②A、B是两个任意事件，则P?A?B??1?PA?B?1?PA?B.

84．相互独立事件A、B同时发生的概率：P?A?B??P?A??P?B?；n个相互独立事件同时发生的概率：

????P?A1?A2?????An??P?A1??P?A2??????P?An?．

（上接第8页）第十六部分理科选修部分1．排列、组合和二项式定理：

m?排列数公式:An=n(n-1)(n-2)?(n-m＋1)=(n?m)!(m≤n,m、n∈N*),n当m=n时为全排列An=n·(n-1)·(n-2)·?·3·2·1=n!

n!22

?组合数公式：Cmn=

n！Anmn(n?1)?(n?m?1)*

==(n，m∈N，且m?n)m1?2???mm！?(n?m)！Am?组合数性质：Cnmn?mmm?1m?Cn;Cn?Cn?Cn?1

0n1n?11kn?kknn?二项式定理：(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)

rn?rr①通项：Tr?1?Cnab(r?0,1,2,...,n);②注意二项式系数与系数的区别

?二项式系数的性质：（展开时有n?1项）

①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第若n为奇数，中间两项（第

n＋1项）二项式系数最大；2n?1n?1和＋1项）二项式系数最大；22(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。

2.概率与统计：

?随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,3，?；p1+p2+?=1;②离散型随机变量：

XPx1P1X2P2??XnPn??均值（又称