辅导资料全等三角形问题中基础提高培优三部曲

1、全等三角形及其应用【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；旋转如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。5.判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6.注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中，∴ΔACD≌ΔABE(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）又∵AD=AE,AB=AC.∴AB－AD=AC－AE即BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ΔDBF≌ΔECF（AAS）∴BF=FC（全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）在ΔABF与ΔCDE中，∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴∠C＝∠A(全等三角形对应角相等)∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF∴BF=EQ\F(1,2)AC,且BF∥AC（三角形中位线定理）∴∠ACB＝∠2(两直线平行内错角相等)又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3（等边对等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中，∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)∴CE=CF=EQ\F(1,2)CD（全等三角形对应边相等）即CD=2CE（ⅱ）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在ΔAEC与ΔBEF中，∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)∴AC=BF,∠4＝∠3(全等三角形对应边、对应角相等)∴BF∥AC(内错角相等两直线平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD（等角的补角相等）在ΔCFB与ΔCDB中，∴ΔCFB≌ΔCDB(SAS)∴CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中∴ΔADO≌ΔCDB(SAS)∴AO=BC,∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）∵∠AOD＝∠COE（对顶角相等）∴∠COE+∠OCE=90o∴AO⊥BC5、中考点拨：例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例2如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。证明：过D点作DF∥AC交BE于F点∵△ABC为等边三角形∴△BFD为等边三角形∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF即EF=AB∴EF=AC在△ACE和△DFE中，∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：例1如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴DE＝DC，∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED，即ED＝DC，∴AB＝AC＋DC．剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．【实战模拟】1.下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．3.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<EQEQ\F(1,2)(AB+AC)5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．

【试题答案】1.D2.证明：∵AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°,∠BOD＝∠COE。∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC3.分析由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲证CEF是等边三角形，只要证明CEF是等腰三角形。先证CAN≌MCB，得1=2.再证CFN≌CEB，即可推得CEF是等边三角形的结论。证明：在CAN和MCB，∵AC=MC，CN=CB，CAN=MCB=120，∴ACN≌MCB中，∴FCB和CEB中，∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，∴CFN≌CEB，∴CF=CE，又∵ECF=60，∴CEF是等边三角形.4.分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE在ACD与EBD中∴ACD≌EBD（SAS）∴AC＝EB（全等三角形对应边相等）在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD（等量代换）说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F∴∠AEC＝∠CFB＝90°又∠ACB＝90°∴∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF∴Rt△AEC≌Rt△CFB∴CE＝BF在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，∴Rt△BFD≌Rt△CEG∴BD＝CG2全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC应用：三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.应用：1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEB(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当绕点D转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF的面积。例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；应用：1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．当绕点旋转到时（如图1），易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图（图1）（图2）（图3）2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．图1图2图3（=1\*ROMANI）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；（=2\*ROMANII）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（=1\*ROMANI）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（=3\*ROMANIII）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=（用、L表示）．3、全等三角形培优竞赛训练题1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？FBAFBACE图3DFBADCEG图2FBADCEG图12、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．AADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图33、已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AAECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F4、在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；AADBECFADBECF（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求的长．

5、如图9，若和为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，是等边三角形．（1）当把绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）（2）当绕A点旋转到图11的位置时，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，与的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）图9 图10图11图9 图10图11图86、点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）△CEF为等边三角形。（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？(只回答不证明)，（4）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。

7、问题：已知中，，点是内的一点，且，．探究与度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当时，依问题中的条件补全右图．观察图形，与得数量关系为________；当退出时，可进一步推出的度数为_______；可得到与度数的比值为_________．（2）当时，请你画出图