高中绝对值不等式(精华)适合高三复习考试用可直接打印

高中绝对值不等式(精华版)适合高三复习考试用可直接打印高中绝对值不等式(精华版)适合高三复习考试用可直接打印高中绝对值不等式(精华版)适合高三复习考试用可直接打印绝对值不等式绝对值不等式|ab||a||b|，|ab||a||b|基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5因此函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y|≤5得-5≤y≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也能够从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5［变题1］解以下不等式：(1)|x+1|>2－x；(2)|x2－2x6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来办理。解：

(1)

原不等式等价于

x+1>2－

x或

x+1<－(2

－

x)解得

x>

12

或无解，因此原不等式的解集是

{x

|

x>

12

}原不等式等价于－3x<x2－2x－6<3x即x22x63xx2x60(x3)(x2)0x3或x2x22x63xx25x60(x1)(x6)01x62<x<6因此原不等式的解集是{x|2<x<6}3x1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）x24≤1解：（1）剖析一

可按解不等式的方法来解

.原不等式等价于：x-x或

2-2>x2-3x-422x-x-2<-(x-3x-4)

①

②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x｜x>-32剖析二∵｜x-x-2｜＝｜

｝x2-x+2

｜17而x2-x+2＝(x-)>02+44因此｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.22故原不等式等价于x-x+2>x-3x-4∴原不等式解集为｛x>-3｝3x4≤1求解，但过（2）剖析不等式可转变为-1≤x2程较繁，由于不等式3x4≤1两边均为正，因此可平方后x2求解.2x原不等式等价于x24≤12229x≤(x-4)(x≠±2)x2≤1或x2≥16-1≤x≤1或x≥4或x≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，即可直接去掉绝对值符号，进而简化解题过程.第2变含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x－1|<|x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此能够利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。［解题］（1）由于|x－1|≥0，|x+a|≥0，因此两边平方后有：|x－1|2<|x+a|2即有x2－2x+1<x2+2ax+a2，整理得(2a+2)x>1－a21当2a+2>0即a>－1时，不等式的解为x>2(1－a)；当2a+2=0即a=－1时，不等式无解；当2a+2<0即a<－1时，不等式的解为x<1(1a)22）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.解：当x

≤

-3时，原不

等

式化

为(2-x)-(x+3)>5

-2x>6

x<-3.当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>55>5当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4综合得：原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝.

无解.x>2.［请你试一试4—2］1解对于x的不等式|loga(1x)||loga(1x)|(a>0且a≠1)剖析：易知－1<x<1，换成常用对数得：|lg(1x)||lg(1x)|lgalga∴|lg(1x)|2|lg(1x)|2于是lg2(1x)lg2(1x)0∴[lg(1x)lg(1x)][lg(1x)lg(1x)]0∴lg(1x2)lg1x01x∵－1<x<10<1－x2<1lg(1－x2)<0∴lg1x<01x1x∴011x解得0<x<1x2．不等式|x+3|-|2x-1|<2+1的解集为。解：4x(x1)24x2(3x1)|x+3|-|2x-1|=2x4(x3)∴当x1时4xx∴x>2212当-3<x<1x∴22时4x+2<+13x27当x3时x4x31∴x2综上x2或x>27故填(,2)(2,)。73．求不等式log1xlog31的解集.133x解：由于对数必定存心义，即解不等式组x010，解得0x33x又原不等式可化为log3xlog33x1(1)当0x1时，不等式化为log3xlog33x1即log33xlog33x∴3x3x∴x3综合前提得：430x4。(2)当1<x≤2时，即log3xlog33xlog33.∴x23x30x。(1)当2x3时，log3xlog33xlog33(2)∴x33x∴x9，联合前提得：49。x34综合得原不等式的解集为0,3U9,344第3变

解含参绝对值不等式［变题3］解对于x的不等式x24mx4m2m3［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成|x2m|m3，则解题过程更简单。在解题过程中需依照绝对值定义对进行讨论。

m3的正负［解题］原不等式等价于

|x

2m|

m

3当

m3

0

即

m3

时

，x2m

m3或x

2m

(m

3)x3m3或xm3当m30即m3时，|x6|0∴x6当m30即m3时，xR［请你试一试4—3］2a21．解对于x的不等式：xxaa09剖析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的重点不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必定对末知数进行讨论，获得两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当xa时，不等式可转变为xa2a2即xa9xxa9x29ax2a20ax317ab当xa时不等式可化为xa2a2即xaax(ax)9x29ax2a20xa或2axa33故不等式的解集为(,a2a,317a336。2．对于x的不等式|kx－1|≤5的解集为{x|－3≤x≤2}，求k的值。按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k值的不确定，要以k的不相同取值分类办理。解：原不等式可化为－4≤kx≤646当k>0时，进一步化为kx，依题意有k443kk63，此时无解。k32k当k=0时，显然不知足题意。426x4当k<0时，，依题意有

k6

k2kk综上，k=－2。

3k第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒建立问题［变题4］若不等式|x－4|+|3－x|<a的解集为空集，求a的取值范围。［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，获得的值作为讨论的分区点，尔后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常例去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若认真察看不等式左边的构造，利用绝对值的几何意义用数形联合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。［解题］解法一(1)当a≤0时，不等式的解集是空集。(2)当a>0时，先求不等式|x－4|+|3－x|<a有解时a的取值范围。令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3<a，即2x－7<a解不等式组x44x7a2x7，∴a>1a2②当3<x<4时，原不等式化为4－x+x－3<a得a>1③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－x<a即7－2x<ax37ax7a解不等式72xa233，∴2a>1a>1时，原不等式有解，进而当综合①②③可知，当0<a≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1解法二由|x－4|+|3－x|的最小值为1适合a>1时，|x4|+|3－x|<a有解进而当a≤1时，原不等式解集为空集。解法三：∵a>|x－4|+|3－x|≥|x－4+3－x|=1∴当a>1时，|x－4|+|3－x|<a有解进而当a≤1时，原不等式解集为空集。［请你试一试4—4］1．对随意实数x，若不等式|x+1|－|x－2|>k恒建立，求k的取值范围。思想点拨：要使|x+1|－|x－2|>k对随意实数x恒成立，只需|x+1|－|x－2|的最小值大于k。因|x+1|的几何意义为数轴上点x到－1的距离，|x－2|的几何意义为数轴上点x到2的距离，|x+1|－|x－2|的几何意义为数轴上点x到－1与2的距离的差，其最小值可求。本题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，经过画出图象，察看k的取值范围。解法一依照绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|>k建立|AB|=3，即|x+1|－|x－2|≥－3故当k<－3时，原不等式恒建立3,x1解法二令y=|x+1|－|x－2|，则y2x1,1x23,x2要使|x+1|－|x－y2|>k恒建立，从图象中能够看3出，只需k<－3即可。xO-3故k<－3知足题意。2．对随意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒建立，求实数的取值范围。剖析：经过剖析转变，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。解：由绝对值不等式：|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0,即x2时取等号。故a<3说明：转变思想在解中有很重要的作用，比方：恒建立问题、定义域为R等问题都可转变为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转变到某个特其他值的问题，常问的问题是：要使，只要）3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围剖析（一）|x-4|+|x-3||x-4—(x-3)|=1当|x-4|+|x-3|<a在实数R上非空时，a须大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB||PA|+|PB|1恒有y1数按题意只须a>1ABP034x（四）考虑|z-4|+|z-3|<a(zc)的几何意义（五）可利用零点分段法讨论.以上三种情况中任一个均可知足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.变题：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一确实数x恒建立，求的取值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|<a的解集在R上不是空集，求的取值范围3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒建立，求a的取值范围第5变绝对值三角不等式问题［变

题

5

］

已知函

数f(x)

ax2

bx

c(a,b,c

R)

，当

x

[

1,1]时|f(x)|1，求证：(1)|b|1；(2)若g(x)bx2axc(a,b,cR)，则当x[1,1]时，求证：|g(x)|2。［思路］本题中所给条件其实不足以确定参数a,b，c的值，但应当注意到：所要求的结论不是b或g(x)确实定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们能够用f1、f(0)、f1来表示a,b,c。由于由已知条件得|f(1)|1，|f(0)|1，|f(1)|1。［解题］证明：(1)由f1abc,f1abcb1[f1f1]，进而有2|b|11f(1)||Qf(1)|1,|f(1)|122|b|1(|f(1)||f(1)|)1.2(2)由f1abc,f1abcb1[f1f1],2进而a1[f1f1]f(0)2将以上三式代入g(x)bx2axc(a,b,cR)，并整理得|g(x)||f(0)(x21)1f(1)(x1)1f(1)(1x)|22|f(0)(x21)|1|f(1)(x1)|1|f(1)(1x)|22|f(0)|x21|1|f(1)||x1|1|f(1)||1x|22|x21|1|x1|1|1x|1x21(x1)1(1x)2x22222［请你试一试4—5］1．已知函数f(x)=1x2，a,bR，且ab，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。剖析：要证|1a21b2||ab|，察看左边，可否能产生|a-b|。证明：|f(a)-f(b)|=|1a21b2|a2b2||ab||ab||1b2|a||b|1a2|a||b||ab||ab||a||b|（其中1a2a2|a|，同理1b2|b|,11∴1a21b2|a||b|）高中不等式习题精选精解一、求取值范围2、已知

a

b

c，且

a

bc

0

，求

c/a的取值范围。解：由已知条件，显然

a0,c

0bc,a2cabc0,a0,c/a1/2ab,2acabc0,c2a,a0,c/a2综上所述c/a的取值范围是2,1/23、正数

x,y知足

x

2y

1，求

1/x

1/y的最小值。解

：1/x1/y1*(1/x1/y)(x2y)(1/x1/y)1x/y2y/x232(x/y)(2y/x)322（x,y为正数）5、已知函数f(x)ax2bx(a0)知足1f(1)2，f(1)5，求f(3)的取值范围。解：由习已知得：1ab2,2ab5设：f(3)9a3bm(ab)mn9m3n(ab)n3n6mf(3)6*f(1)3*f(1),12f(3)27因此f(3)的取值范围是12,278、若对于x的方程4xa2xa10有实数解，求实数的取值范围。解一：设t2x，2x0,t0，原题变换为求方程yyooxt2ata10在0,上有解。共有两种情况，一种是有两个根，一种是只有一个根（以以下列图），由二次函数的图像和性质，得方程t2ata10在0,上有实数解的充要条件为：a24(a1)0aa24(a1)00或a102f(0)f(0)a10注：两组不等式分别对应两个图解得1a222或a1,即a222因此a的取值范围是,2221t2解二：由方程t2ata10得a(t0)1t函数f(t)1t20)的值域就是1(ta的取值范t围。1t2(t21)22(t1)2a1t1(t1)2tt1t1(222)222因此a的取值范围是,222二、解不等式1、(x2)x22x30f(x)0解：不等式f(x)g(x)0与g(x)0或g(x)0同解，也能够这样理解：符号“”是由符号“>”“=”合成的，故不等式f(x)g(x)0可转变为f(x)g(x)0或f(x)g(x)0。解得：原不等式的解集为x|x3或x1x23x22、x22x30.解：x23x20x22x3(x23x2)(x22x3)0x22x30(x1)(x2)(x3)(x1)0(x3)(x1)0，用根轴法（零点分+段法）绘图以下：原不等式的解集为x|1x1或2x3。3、x21ax1,(a0)解：原式等价于x211axx211,1ax1，即ax0注：此为重点a0,x0原不等式等价于不等式组x21(1ax)2x0解得：2a当0a1时，原不等式解集为x|0x1a2当a1时，原不等式解集为x|x04、(x2)(ax2)0解：当a0时，原不等式化为x20，得x2；当a0时，原不等式化为(x2)(x2)0，得a22；xa2)当0a1时，原不等式化为(x2)(x0，得a2x2或xa；当a1时，原不等式化为(x2)20，得x2；当a1时，原不等式化为(x2)(x2)0，得a2或x2a综合上面各式，得原不等式的解集为：5、对于x的不等式axb0的解集为1,，求axb0的解集。x2解：由题意得：a0，且ab则不等式同解

axbx0与不等式组2

(axb)(x2)0x20得所求解集为x|x1或x26、已知a0且a1，对于x的不等式ax1的解集是xx0，解对于x的不等式loga(x1)0x的解集。解：对于x的不等式ax1的解集是xx0，a1，loga1x1015x(x)011xxxx12或1x152原不等式的解集是(1,15)U(1,15)。22三、证明题bn1an112、设ab0,n为偶数,证明anbn1abbn1an111(anbn)(an1bn1).证：anbnab(ab)n①当a0,b0时,(ab)n0,(anbn)(an1bn1)0,(anbn)(an1bn1)0,∴(ab)n故bn1an111anbnab;②当a,b有一个负值时,不如设a0,b0,且ab0,即a|b|.∵n为偶数时,∴(anbn)(an1bn1)0,且(ab)n0(anbn)(an1bn1)∴(ab)n0,故bn1an111anbnab.综合①②可知,原不等式建立注：必定要考虑到已知条件ab0，分类讨论，否则不能够直接得出(anbn)(an1bn1)03、求证：a216(a4)236229urra,6)证：设向量p(a,4),q(4,由urrurr|p||q||pq|,得a216(a4)236urrurr|p||q||pq||(a,4)(4a,6)||(4,10)|16100229urr注意：当p∥q时，即a8，p(8，4)，(12,6)，p、q方向相同，取等号。当利用公式|p||q||pq|证明时，会得：urra216(a4)236|p||q|urr(a4,6)||(4,2)|16425|pq||(a,4)的错误结论，由于这里取等号urr的条件是p∥q，且p、q方向相反，依照题设条件，urrp∥q时，方向相同，故取不到等号，计算的结果也使不等式范围减小了。4、求证：11111（n2）222n22n31111证一：n2n(n1)n1n（n2）11111(11)(11)11212232n21223n1nn原不等式建立，证毕。证二：当n2时，原不等式为：1121，显然建立；222假设当n取k-1时，原不等式建立，即1111132(k1)221建立，则22k1111211k2k1132(k1)2k2k1k2222(k1)k2k(k1)111121)k2(