第八章 散射理论

第八章散射理论本章介绍：前面讨论了薛定谔方程中的束缚态问题。而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般说来，不能用微扰论来处理。另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于了解许多实验现象十分重要，所以，建立一套散射理论无论从实验上看，还是使理论更加完善上看，都是完全必要的。本章将分别就弹性散射和非弹性散射，按入射粒子的能量高低，分别建立不同的散射理论，并介绍了分波法和玻恩近似两种处理散射问题的近似方法。§8.1散射截面§8・2分波法§8・3分波法应用实例§8・4玻恩近似§8.5质心坐标系与实验坐标系§8.6全同粒子的散射§8.1散射截面在经典力学中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。在量子力学中，一般说来，除非完全略去粒子之间的相互作用势能，否则，动量将不守恒。因此，在量子力学中，不可能按经典力学的公式来定义弹性散射。在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动量交换，粒子由内部运动状态决定，则这种碰撞过程成为弹性散射。如果在散射过程中粒子内部运动状态有所变化，如激发、电离等则称为非弹性散射。本章只讨论弹性散射问题。考虑一束入射粒子流向粒子A射来，取粒子流入射方向为z轴。A为散射中心。为讨论方便起见，假定A的质量比入射粒子大得多，由碰撞引起的A的运动可以忽略。应当指出，散射过程是两体问题。因为它涉及两个互相散射的粒子。对于两体问题，最好的处理方法是采用质心坐标系。因为在质心坐标系中，一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。另一粒子的运动可对称给出。从而归结为单体问题。如果散射中心粒子A的质量比入射粒子大得多，可以认为质心就在A上，这样就使问题处理简单多了。如图所示，入射粒子受A的作用而偏离原来的运动方向，发生散射。图中A角为散射粒子的方向与入射粒子方向的夹角，称为散射角。单位时间内散射到面积元dS上的粒子数dn应与dS成正比，而与dS到A点的距离r的平方成反比，即与dS对A所张的立体角成比例：dn〜史=d。同时，dn还应与入射粒子r2流强度N成正比。粒子流强度：垂直于入射粒子流前进方向去一单位面积S。，单位时间内通过S的粒子数。0于是dn〜Nd。以q©,中）表示这个比例关系中的比例系数，在一般情况下，它与观察方向（°，中）有关，因而上式可写为dn〜q（0,中）Nd。当强度N固定时，单位时间内散射到（。,中）方向的粒子数dn由q（0,中）决定。它与入射粒子、散射中心的性质以及它们只见的相互作用和相对动能有关。它的物理意义：一个入射粒子经散射后，散射到（°,中）方向单位立体角的几率。它的量纲可由（8・1・3）式中其他各量的量纲得出如=^, [N]=寿切=Nd。=口（84.4）即q（0伸）具有面积的量纲。我们称q（0伸）为微分散射截面。

如果在垂直与入射粒子流方向区面积q（^,里）d。，则单位时间内穿过这个面积的粒子数等于dn。将q（9,里）d。对所有的方向积分，得Q=』q（9,甲）dO=j”j2”q（9,甲）sin9d9d甲 （8.1.5）Q称为总散射截面。上述微分散射截面和总散射截面的定义，在量子力学和经典力学中同样适用。下面我们讨论量子力学中如何由解薛定谔方程来定散射截面。取散射中心为坐标原点，用U（r）表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程为方2-——V2W+Uw=即（8.1.6）式中m是入射粒子质量，E是它的能量，为方便，令2m, 2mEp2 phk “_、 2mT/一、 , .k2= =一， V=一=一， V（r）=——U（r） （8.1.7）则（8.1.6）式可h2 h2 mm h2改写为V2W+[k2-V顷）]w=0我们观察被散射粒子都是在离开散射中心很远的地方，所以只需讨论rs时w的行为就够了。假设rF时，U（r）-0，即粒子在远离散射中心时，两者之间的相互作用趋于零。这样，在rF的地方，波函数应由两部分组成:一部分是描述入射粒子的平面波寸=Aeikz；1eikr另一部分是描述散射粒子的球面波函数w=f（9,中）2 reik-rw w+w=Aeikz+f（9,平）—— （8.1.9）这个波是由散射中心向外传播的，这rs 1 2 r里考虑的是弹性散射。所以散射波的能量没有改变，即波矢k的数值不变。上式中f（9&）仅是9的函数与中无关。取A=】，则伊12，这表明每单位体积只有一个入射粒子。入射波的几率流密度=也|w=也|w也-w*也2m1dz 1dz—-ikww*-ikw叩=v2mL 11 11」（8.1.10）也就是入射粒子流强度，即（8.1.3）的N散射波的几率流密度是ihrJr ihrJr 2mw*

w2IT**wdr=]=Vf（9,甲）|2[r2jr2（8.1.11）它表示单位内穿过球面上单位时间的粒子数，故单位时间穿过面积dS的粒子数是dn=JdS=V\f（9,时2dS=v\f（9,中）|2dq因为v=N，比较（8.1.12）与（8・1・3）rr2两式，可知微分截面是q（9&）=|f（9&）|2 （8.1.13）所以知道了f（9,中），就可以求得q（9,中）。f（9,中）称为散射振幅。f（9,中）的具体形式通过求薛定谔方程（8.1.8）的解并要求在rF时解具有（8.1.9）的形式而得出。下面几节我们将具体讨论如何求方程（8.1.8）的解。§8.2分波法本节我们介绍在粒子受到中心力场的弹性散射时，从解方程（8.1.8）而求出散射截面的一种方法，后面还将介绍另一种方法，这两种方法各有各的适用范围。在中心力场的情况下，方程（8・1・8）可改写为V2V+[k2-V（r）M=0 （8.2.1）取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们所讨论问题的旋转对称轴，波函数和散射振幅都与中角无关。方程（8.2.1）的一般解可写为W（r,9,甲）=£Rm（r）,（9,平） （8.2.2）现在W既与中无关，所以m=0，因而（8.2.1）lm的一般解写为W（r,9）=£R（r）P（cos9） （8.2.3）这个展式中每一项称一个分波，R（r）P（cos9）是II III第l个分波，每个分波都是方程（8.2.1）的一个解。通常称l=1,2,3,…的分波分别为s,p,d,…分波。径向函数§(r)满足方程—d(r2竺)+[k2-V(r)-^(^拆=0 (8.2.4)令R(r)=也则TOC\o"1-5"\h\zr2drdr r2l lr（8.2.5）由于f与甲角无关，f只是9的函数，W的（8.2.6）当r趋于无限大时V（r）趋于零，所以当r—3\o"CurrentDocument"纠+[k（8.2.5）由于f与甲角无关，f只是9的函数，W的（8.2.6）当r趋于无限大时V（r）趋于零，所以当r—3渐进表示式（8・1・9）可写为eik-rW >Aeikz+f(9)——\o"CurrentDocument"r—3 r时则(8.2.5)式可化为d2Ud2Ul-k2U=0dr2 l（8.2.7）它的解是U(r)=Asin(kr+5：)由此有A， Asin(kr-^兀+5)（8.2.8）其中R(r) —tsin(kr+5，)= 2 —（8.2.8）其中lr—3r l krA^i=kA；, 5,=5：+21兀 （8.2.9）将上式代入（8・2・6）式，得到（8・2・1）的渐进解

Asin(灯-—n+8)W(r,0) 党 -P(cos9) (8.2.10)将其写成(8・2・6)的形rT3 kr /l=0式就可以得到散射振幅f(9)，为此目的我们利用平面波按球面波展开公式eikzeikz=eikrcos0=芝(2l+1)iij(kr)P(cos9)l=0qm式中"(kr)是球面贝塞尔函数，它和贝塞尔函数的关系是 >Lsin(kr-—in)rr»kr 2因此sin(kr-'in+8)P(cos0)i£(2l+1)ii1sin(kr-^in)P(cos0)+f(0)ekr=£A^lkrsin(kr-'in+8)P(cos0)ii(8.2.12)利用公式sina=—(eia-e-侦)2i将上式中的正弦函数写成指数函数，得2kif(02kif(0)+£⑵+1)iie「2inP(cos0)-£Aei(8，-2in)P(cos0)I I I'I Ieikr+£⑵+1)iie2inP(cos0)-£Ae-(8i-2in)P(cos0)I Ie-ikr=0(8.2.13)要使上式成立，则eikr和e-ikr的系数必须都为零2kif(0)+£(2i+1)iie女P(cos0)=£Aei(8/-2in)P(cos0) (8.2.14)i i iii£⑵+1)iie2inP(cos0)=£Ae一’(8广2in)P(cos0) (8.2.15)在(8.2.15)i i iii式两边乘以P(cos0)后，对0从0Tn积分，并利用勒让德多项式的正交性，可得iA=(2i+1)iieiA=(2i+1)iiei8ii2kif(9)=E(2l+1)iie2kif(9)=E(2l+1)iiei\eVl_2叫一(2l+1)i/e2l腿驾加=£(2l+1)(e2i8l-1)P(cos9)=E(2l+1)eiSl(e^-e-isl)P(cos9) (8.2.17)则l=£(2l+1)P(cos9)2ieiSlsin8lllf(9)=—£(2l+1)P(cos9)ei8lsin8lP(cos9)

l(8.2.18)微分散射截面是„ 1L c一 cq(9)=f(9)2=一£(2l+1)P(cos9)ei8lsin81 1 k2 -2(8.2.19)总散射截面是Q=2兀"q(9)sin9d90=丑££(2l+1)(2/'+1)J”P(cos9)P(cos9)sin9d9ei(8k2 0l l' 'l=0l'=0=^^££(2l+1)(2l'+1)2。〃'ei(8l-8)sin8sin8k2 2l+1 ill=01‘=0=丑£⑵+1)sin28=£qk2 ll=04冗Q=——(2l+1)sin28lk2 lll=0广8〃)sin8sin8(8.2.20)(8221)是第1个分波的散射截面。由于A’⑴^，所以f(0)- … 1w一一.的虚部是Imf(0)=-£⑵+1)sin281 (8.2.22)l=0八4兀， 〃.•・ Q=—-Imf(0)称为光学定理。它表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总k散射截面。综上所述，我可以看到，分波法对低能粒子的散射特别有效。对低能粒子，l小，l<ka，要算的分波的数目较少。§8.3分波法应用实例作为应用分波法的一个例子。我们讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射。入射粒子能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大得多。质子和中子的低能散射可以近似归结为这种情形。以a表示方势阱的范围，于是粒子的势能可写为[U,r<aU(r)=]00 r>a在势阱的情况下U0<0，因为1/k□a，即ka□1，所以只需讨论s散射(l=0)就够了，取(8.2.5)中l=0得(8.3.1)d(8.3.1)+k2=0,r<adr2

d2u +k2=0,r>adr2卜―1 2mE(8.3.2)式中k2d2u +k2=0,r>adr2卜―1 2mE(8.3.2)式中k2= 方22mUk2=k2 o方程方2（8.3.1）的解是u(r)=Asin(k'+5r), r<a0u(r)=Bsin(k+5),r>a（8.3.3）由波函数标准条件，R=四）在r=0处有r限，所以50=0处r"为连续，得kcot(ka+5)=k'cotk'au(r)dr 0(8.3.4)得=arctgktgk，a—ka（8.3.5）由公式（8・2・20），总散射截面Q牝Q=竺sin25=竺sin20k2 0k2,k., 7arctgktgka—ka（8.3.6）在粒子能量很低k—0的情况下，因为x—0时,arctgx牝x，所以（8.3.5）式可简化为2mU I方（8.3.6）式可化为Q”竺sin250牝壬502牝彳兀a2、2（8.3.7）如果散射场不是势阱而是势垒，k0E时总散射截面为即U0>0，那么在（8.3.7）式中将k0换成k0E时总散射截面为（8.3.8）当U°T8时，k0T8，于是有thka=e"-°-k。"—1 （8.3.9）代入（8・3・8）式中得Q牝4兀a2在这种情况下，0 ek0a+e-k0a总散射截面等于半径为a的球面面积。这个结果与经典情况不同。在经典力学中，总散射截面等于刚球的最大截面面积兀a2。量子力学的结果比经典力学大四倍。§8.4玻恩近似这一节我们介绍另一种近似方法一一玻恩近似。如果入射粒子的动能比粒子散射与散射中心相互作用的势能大得多，以致势能U（r）可以看作是微扰时，可用玻恩近似来计算散射截面。体系的哈密顿量写"=H0+H'其中H0=分是自由粒子的哈密顿量，H，三U（，）。

取箱归一化的动量本征函数L3。*作为H0的本征函数，这种归一化描写在体积L3内、 、有一个粒子。微扰使粒子从动量为方k的初态跃迁到动量为hk'的末态。根据能量守恒，有=.：c一 ― hk k=k2=k2入射粒子流强度为vL3，其中v=—。根据（8.1.1）式，单位时间内散mdn=vL-3qdn=vL-3q(9,中)d。（8.4.1）另一方面，方向在立体角d。内的末态的态密度是fL\3一― 一一p（m）=尚"枷。单位时间散射到立体角』。内的粒子数:dn=一dn=一L-3JU(r)ei侬顷)-rdrh2L3mk mkd。=vL-3•-8兀3h2 4兀2h3V-JU(r)ei侬'-k)-rdr2d。(8.4.2)TOC\o"1-5"\h\zhk .比较（8・4.1）和（8・4.1），注意到V=——，立即可的m-m2iI cq（9）=钵|-JU（W园（843）上式的绝对值号之内保留负号是因为用其他方法算出的散射振幅/（9）有一负号。引入矢量一 一，一 9 一K=k-k （8.4.4）它的数值是K=2ksin^其中9是散射角，hK是散射引起动量的变化。于是(8・4.3)式的积分可以简化为：JU(r)dr=J*U(r)r2drJae-kcos9-sin9'd9'J2Kd中=竺卜rU(r)sinKrdr因而0 0 0K0一 4m2 一2q（9）=和J0rUI"Krdr （8A5）若势能已知，由上式即可的微分散射截面。如果势能可以近似的表示为球对称的方式垒或势阱U（r）=F0， r-a那么玻恩近似条件就容易得出。如果散射波的相移很小，特别是s分[0, r>a波的相移很小，就说明势场对散射波的影响很小，因而把势场看作微扰时合理的，所以分析s分波相移就可以得出玻恩近似成立的条件。由方程（8・3・4），注意到侦=k：1-%得：k」1-^~^cotk」1-^~^cotJkaJ1-^%0I=kcot(ka+6)（8.4.6）当粒子能量很高时，E□U,；1-，0牝1-%于是上式左边余切的宗量可写为\ka(1-g^)I=Jka-*“"00tE2E [ 2EII 2E当此宗量与k只差一小角时，则相移50彳艮小。于是玻恩近似有效的条件是kaU 02kaU 02EaU

0

方v(8.4.7)v是入射粒子的经典速度。由此可见，波恩近似适用于粒子的高能散射。分波法则适用于低能散射，两种方法相互补充。势阱情况下，波恩近似对低能散射也可能有效。由(8.4.6)式，当ka□1,E□"J时，有tan5牝有tan5牝U*a<-2mU~EEan i—'(8.4.8)所以只要a<-2mU0/方不是很接近于兀-，则50很小，于是玻恩近似就可以应用。作为例子，我们来计算一个高速带电粒子(带电Z4)被一中性原子散射的散射截面。原子核所产生的电场被原子内部的电子所屏蔽，这种屏蔽库仑场可以表示为…、 ZZ42- _ _-U(r)=一一s4-a (8.4.9)式中a为原子半径，Z为原子序数。将(8.4.9)是代入r(8.4.5)式得狎)=(狎)=(8.4.10)如果4m2Z2Z'24"kr4dK2i2 o

4m2Z2Z'244 1i2 (K2+1/a2)2Ka=2kasin飞□1 (8.4.11)则(8.4.10)式中的上项可以略去，结果得到微2 a2分散射截面q(9)=J(8.4.12)9q(9)=J(8.4.12)CSC4—4m2v4 2这就是卢瑟福散射公式。它首先由卢瑟福用经典力学方法计算库仑散射得出，这说明(8.4.11)是经典力学可以适用的条件。§8.5质心坐标系与实验室坐标系从前几节可以我们看到计算微分散射截面都是在质心坐标系中进行的，这是因为在质心系中两粒子碰撞问题可归结到一个粒子在力场中散射的问题，因而使计算比较简单。但实验结果的测量通常是在实验坐标系中进行。为把计算的结果变换到实验坐标系中去，必须首先把质心坐标系中的9变换到实验坐标中去。

程是质量为mi设碰撞过速度加的粒子沿Z轴碰撞质量为m2程是质量为mi设碰撞过mV验坐标系中则两粒子的质心以速度Vm —*运动（图1）。在质心坐标系中粒子m]验坐标系中则两粒子的质心以速度V速度是一,V1mV速度是一,V1mV 1-4—m+mmV

^4—

m+m（8.5.D而粒子气的运动速度是（图2）mv

mv

1-4—

m+m（8.5.3）设在实验室坐标系中mi在碰撞后的速度匕与湖成°角（图（8.5.2）碰撞后两粒子由质量中心两边以相反方向运动，每个粒子运动速度的大小与碰撞前相同,设碰撞后粒子m1的速度V与Z轴成0角它的大小为3），因为V]=v^+V：（8.5.4）(8.5.5)所以Vcos0=V+V’cos0(8.5.5)1 0M1V]sin00=v：sin° (8.5.6)

以（8・5・5）两边除（8・5・6）两边，并注意二-=%则得tan0= "“0 （8.5.7）vm 0m+mcos0这就是两坐标系中散射角之间的关系。根据微分散射截面的定义心林由于N在两坐标中应该是相同的，因此q（0,中）dQ=q（0,中）dQ （8.5.8）即q（0,中）sin0d0d^=q（0,中）sin0d0d中（8.5.10）由（8.5.7）时，（8.5.9）因为d甲=d甲°所以q（0,中）sin0d0=q（00,中°）sin00d00（8.5.10）由（8.5.7）时，得cos0=0m+mcos得cos0=0m+mcos0+m2+2mmcos0(8.5.11)将上式进行微分，得到sin0d0= m2（m2+ZL sin0d000 （m2+m2+2mmcos0）3/2坐标系中微分散射截面的变换关系：（0甲）（m2+m2+2mmcos0）3/20‘*0(8.5.12)将上式代入(8.5.10),得到两m2\m+m22 "os0| 洲,平）(8.5.13)至于总散射截面在两坐标系中是相同的。当m2□m1时，质心可认为是在m2上，这时两坐标系重合，可得0=0。，q(0,中)=q(00,%)§8.6全同粒子的散射前面讨论的散射，则考虑两粒子并非全同粒子的散射，如果两粒子是全同粒子，由于这两粒子组成的体系的波函数必须具备确定的对称性，因此散射截面的计算必须考虑全同性问题。先考虑无自旋的两非全同粒子A和B的散射。如图1，在质心系中，在探测器C中测量A1粒子及B粒子。A粒子出现在七的几率，微分截面是|f(0)|2，B粒子在0方向的散射振幅与A粒子在K-0方向的散射振幅相同。散射截面是|f(兀-0)|2。因此，探测器£测的粒子A或B的几率即散射截面是。(0)=|f(0)|2+|f(兀-0)|2 (8.6.1)再考虑两全同玻色子B和B的散射。在质心内，体系为对称化的散射波函数在无穷远的渐进表示式是：0kr >eikz+f（0） 0kr >eikz+f（0） r—3 r的极坐标是(r,0,中)。互换两粒子的坐标，r变为-r，(r,0)变为(r,兀-0)，对称波函数在无穷远的近似表示式是

eikreikr>eikz+e-kz+[f(9)+f(兀-9)]——r(8.6.3)因此B粒子在9方向的散射振幅是f(9)+f(兀-9)，微分散射截面是。(9)=|f(9)+f(兀-9)|2s=|f(9)|2+1f(兀-9)|2+f*(9)f(兀-9)+f(9)f*(兀-9) (8.6.4)上式表明，=|f(9)|2+1f(兀-9)|2+2Ref*(9)f(兀-9)全同粒子与非全同粒子散射的角分布不同，全同粒子微分散射截面中出现干涉项2Ref*(9)f(兀-9)。当9=兀/2时，非全同粒子散射。(9)=2|f(兀/2)|2，全同玻色子散射。(9)=4f(兀/2)|2。由(8.6.4)可得b(兀/2—叩)=If(兀/2—叩)+f(兀/2+n)|2=b(兀/2+n) (8.6.5)。对9=兀/2对称再来考虑两个全同费米子A和A的散射。同样，我们先忽略粒子的自旋。在质心系中，交换反对称波函数在rT3时的表示式为eikrV(r) >eikz+e-ikz+[f(9)—f(兀一9)] (8.6.6)因此，在9方向的散射振幅是f(9)-f(兀-9)，微分散射截面是b(9)=|f(9)-f(兀-9)|2A (8.6.7)现在考虑粒子的自旋。先考=|f(9)|2+|f(兀-9)|2-2Re[f(9)f*(兀-9)]虑两个电子的散射，电子自旋为1/2，总波函珈顷s,rs)是反对称波函数。如果忽略自1222旋轨道耦合，则V(rs,rs)=w(r,r)穴(s,s) (8.6.8)在质心坐标系，要使V(r)反对称，可以由两1222 12 1 2种情况：一种是V(r)对称，X反对称；另一种是V(r)反对称，X对称两个电子组成的自旋态，反对称态是xA对应的s=0是单态。对称态X?，是三重态，对应于s=1。于是有空间对称，b(9)=|f(9)+f(兀-9)|2，自旋态反对称，对应于s=0的单态。或者空间反s对称bA(9)=|f(9)-f(兀-9)|2，自旋态对称，对应于s=1的三重态。如果入射电子束和靶的电子都不极化，即它们的自旋取向都是无规则的，从统计的结果上看，有1/4的几率处于单态，有3/4的几率出于三重态，因此，总的微分散射截面是

八1八3八b（。）=了。（。）+有。（。）TOC\o"1-5"\h\z4， 4a1 3-J/（。）+/（兀一。）2+—/（。）-/（兀一。）|2 （8.6.9）现在对\o"CurrentDocument"… 1 八 八 八 八=If（0）|2+1f（兀-6）|2-?[f*（6）f（兀-6）+f（6）f*（兀-6）](8.6.9)做一些说明：首先，b(兀/2)=|f(兀/2)|2其次，b(6)对6=兀/2也是对称的另外，如果入射电子或靶是极化的，即自旋已经有了确定取向，(8.6.9)中得1/4和3/4江不再成立，这时结果如下表所示：入射电子自旋取向靶电子的自旋取向测的电子的自旋取向测的电子的自旋取向微分散射截面方/2方/2方/2方/2If（6）-f（兀-6）|2-方/2-方/2-方/2-方/2If（6）-f（兀-6）|2方/2-方/2-方/2方/2If（6）|2方/2-方/2If（兀-6）|2-方/2方/2方/2-方/2If（兀-6）|2-方/2方/2If（6）|2最后