【课件】离散型随机变量的均值课件-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值1．通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义．2．能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．1.离散型随机变量的分布列Xx1x2···xn···Pp1p2···pn···2.离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋

pi＋…＝1．

离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较它们的平均环数或总环数以及稳定性.因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.思考：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢？离散型随机变量的均值

类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看看稳定性.

假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为

，

，

，.则甲n次射箭射中的平均环数为当n足够大时，频率稳定于概率，所以

稳定于即甲射中平均环数的稳定值为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.

一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称为随机变量

X的均值或数学期望，简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.Xx1x2···xi···xnPp1p2···pi···pn例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？解：因为

，所以即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.1.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么X01P1-pp2.求离散型随机变量

X的均值的步骤：(1)理解

X的意义，写出

X可能取的全部值；(2)求出

X取每个值的概率P(X＝k)；(3)写出

X的分布列；(4)利用定义公式

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值.

解：因为

X的可能取值为1，2，3，4，5，6，分布列如表所示所以1.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.X123456P

如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即

和(其中a，b为常数)分别与有怎样的关系？离散型随机变量均值的性质

设X的分布列为根据随机变量均值的定义，

类似地，可以证明

一般地，有下面的结论成立：准确理解均值的性质(1)当a＝0时，E(b)＝b，常数的数学期望是常数本身；当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b；当b＝0时，E(aX)＝aE(X).(2)对于任意实数a，b，X是随机变量，Y也是随机变量，一定有E(aX＋b)＝aE(X)+b，E(aX＋bY)＝aE(X)＋bE(Y).例2已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求

；(2)求.解：(1)(2)1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．

2.已知随机变量X的分布列为X-2-1012Pm若Y＝－2X，则

E(Y)＝________．解：由随机变量的分布列的性质，得

，解得所以由

，得X－1012P则X的均值为()A．0

B．－1

C.

D.D1．已知

X的分布列为2．某射手射击所得环数

X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知

X的均值E(

X)＝8.9，则

y的值为________．0.43.在10件产品中，有3件一等品、7件二等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数

X的分布列和数学期望．解：从10件产品中任取3件共有

种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有

k

件一等品的结果数为

，其中

k＝0，1，2，3.∴所以随机变量X的分布列为：X0123P所以4.根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1运走设备，搬运费为3800元；方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3不采取措施．如果你是工地的领导，那么该如何决策呢？解设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3.采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，X1＝3800.采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000＋60000＝62000元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此，采用方案3，有于是，E