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文档简介
7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义.2.能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望),并能解决一些实际问题.1.离散型随机变量的分布列Xx1x2···xn···Pp1p2···pn···2.离散型随机变量分布列的性质:(1)pi≥0,i=1,2,…;(2)p1+p2+…+
pi+…=1.
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.例如,要比较不同班级某次考试成绩,通常会比较平均成绩;要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较它们的平均环数或总环数以及稳定性.因此,类似于研究一组数据的均值和方差,我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征.思考:甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢?离散型随机变量的均值
类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等,再看看稳定性.
假设甲射箭n次,射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
,
,
,.则甲n次射箭射中的平均环数为当n足够大时,频率稳定于概率,所以
稳定于即甲射中平均环数的稳定值为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理,乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较,甲的射箭水平比乙高.
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:则称为随机变量
X的均值或数学期望,简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.Xx1x2···xi···xnPp1p2···pi···pn例1在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?解:因为
,所以即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.1.一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么X01P1-pp2.求离散型随机变量
X的均值的步骤:(1)理解
X的意义,写出
X可能取的全部值;(2)求出
X取每个值的概率P(X=k);(3)写出
X的分布列;(4)利用定义公式
E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求出均值.
解:因为
X的可能取值为1,2,3,4,5,6,分布列如表所示所以1.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.X123456P
如果X是一个离散型随机变量,X加一个常数或乘一个常数后,其均值会怎样变化?即
和(其中a,b为常数)分别与有怎样的关系?离散型随机变量均值的性质
设X的分布列为根据随机变量均值的定义,
类似地,可以证明
一般地,有下面的结论成立:准确理解均值的性质(1)当a=0时,E(b)=b,常数的数学期望是常数本身;当a=1时,E(X+b)=E(X)+b;当b=0时,E(aX)=aE(X).(2)对于任意实数a,b,X是随机变量,Y也是随机变量,一定有E(aX+b)=aE(X)+b,E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y).例2已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求
;(2)求.解:(1)(2)1.该类题目属于已知离散型分布列求均值,求解方法是直接套用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求解.2.对于aX+b型的随机变量,可利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;也可以先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便.
2.已知随机变量X的分布列为X-2-1012Pm若Y=-2X,则
E(Y)=________.解:由随机变量的分布列的性质,得
,解得所以由
,得X-1012P则X的均值为()A.0
B.-1
C.
D.D1.已知
X的分布列为2.某射手射击所得环数
X的分布列如下:X78910Px0.10.3y已知
X的均值E(
X)=8.9,则
y的值为________.0.43.在10件产品中,有3件一等品、7件二等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数
X的分布列和数学期望.解:从10件产品中任取3件共有
种结果.从10件产品中任取3件,其中恰有
k
件一等品的结果数为
,其中
k=0,1,2,3.∴所以随机变量X的分布列为:X0123P所以4.根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1运走设备,搬运费为3800元;方案2建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;方案3不采取措施.如果你是工地的领导,那么该如何决策呢?解设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,X1=3800.采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+60000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元.因此,采用方案3,有于是,E
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