小学高年级学生数学推理能力的调查研究

小学高年级学生数学推理能力的调查研究【摘要】推理能力是贯穿学生数学学习的重要能力。根据数学学科特点及小学阶段涉及的推理方式设计问卷，就小学高年级学生的推理能力的发展现状进行调查研究，结果显示：就推理能力来说，学生总体推理水平不高；就推理能力性别比较来看，男、女生推理能力在总体上不存在显著性差异；就推理方式的差异比较看，学生直观推理水平高于抽象推理。在此基础上，提出促进小学生推理能力发展的相应策略。【关键词】推理能力；小学高年级；调查—、问题的提出数学是一门严谨的学科，它以科学的语言、严密的逻辑推理去解决日常生活及其他学科出现的问题。推理是数学的基本思维方式，《数学课程标准》把推理能力作为十大核心词之一,强化了推理能力的重要性。同时《全日制义务教育数学课程标准》在数学教学内容和学生学习方式中指出，“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法'，“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”①。这表明数学学习内容不但包括数学知识，还包括知识的形成过程。数学内容的安排要有利于学生开展观察、实验、猜测、推理和交流。可见，推理能力在学生的数学学习方面有着十分重要的作用。另一方面,数学推理能力也是人类生活“共通”的技能⑵。现实生活中人们所遇到的问题没有明确已知和目标，不知道哪些概念、规则和原理可用来解决问题，需要在各种信息中做出选择和建立起可能的关系，尝试在各种活动的积累中表达数学观点，并通过探索、推理、验证优化表达的过程。发展数学推理能力对学生的成长和发展具有可持续的影响力。对小学生而言,数学推理能力的高低不仅直接影响了数学学习兴趣及质量，而且也影响以后理科学科的学习。因此，研究小学生数学推理能力显得尤为重要。什么是推理《辞海》中解释为“由一个或几个已知判断推出另一个未知的判断的思维形式”。有专家指出，推理是指从现有结论出发，经过逻辑思维之后，得到一个新的结论的过程⑶。虽然表述不同，但都基于“推理是从一个命题到另一个命题的思维过程”⑷。一般来说，推理包括合情推理和演绎推理，在小学阶段比较强调合情推理，主要体现为归纳推理和类比推理，它用于探索思路、发现结论。虽然推理在小学数学教材中有所体现和渗透，但实际的课堂经常看到学生对于问题解决常常囿于定势，止于结论，只关注结果，缺乏有理有据的推理过程。关于学生推理能力的实证研究多集中于问题的分析，而且对中学生的研究较多，如李红婷研究7-9年级学生四种推理方式均呈现层级递进的发展趋势（5，$已有研究中，对小学生推理能力的实证研究较少，如王瑾对小学数学中的归纳推理的研究，就是从教材的内容设置和呈现方式上进行比较展开的（6，$本研究根据数学学科特点及小学阶段涉及到的推理方式设计了调查问卷，考察当前小学高年级学生数学推理能力的发展现状及特点，为小学阶段数学推理能力的培养提供针对性的依据及策略。二、研究方法（一）研究对象小学数学中的推理应用较多，考虑到本次研究的推理形式涉及归纳推理、类比推理和演绎推理，因此选择小学五、六年级学生为调查对象。调查对象来自于江苏省徐州市丰县、淮安市清江浦区和泰州市姜堰区三个不同地区、不同层次的七所小学，共计235名学生，实际回收有效问卷226份，问卷有效率为96%。调查对象的相关信息见表1。表1调查对象信息年级男女合计五年级8183164六年级352762合计116110226（二） 研究工具本研究在参考前人在归纳推理、合情推理的调查问卷的基础上，自编了小学生推理能力的调查问卷。问卷共有10个题目，其中归纳推理3题、类比推理3题、演绎推理3题、含多种推理方式1题，题型设计上有判断题、选择题、计算题、解答题。判断题1题由4小题组成，涉及多种推理，每小题2分共计8分。选择题1题由“温度计一摄氏度”选择一组最为接近的词，涉及类比推理计3分。计算题2题以运算律的简便运算为考察，涉及演绎推理和类比推理，由多个问题组成合计14分。解答题6题，归纳推理、类比推理、演绎推理都有涉及，合计59分。问卷全卷总分84分，以分值评价，分数越高，则表示运用推理能力越强。为保证问卷的有效性，问卷进行了前期的试测以及一线教师的测评，效度良好。（三） 调查过程本次问卷的发放采用问卷星和纸质稿两种形式发放，为保证调查的质量，网络问卷及纸笔测试均采用计时方式，学生需在规定时间完成测试。后期数据采用SPSS和EXCEL进行统计分析$三、研究结果（一）学生推理能力的总体状况1-学生推理能力的总体情况本次测试分别对五年级和六年级学生进行了相同测试，考虑到分析评价以百分制较普遍，最后得分折算为百分，学生推理能力总体状况如表2所示。从数据中可以发现，学生总体推理能力较弱，两个年级学生高分段良好以上比例仅占15.3%，低分段占总体的一半以上，这反映出小学高年级学生推理水平总体结果不理想，此状况在不少研究者的研究中均有体现。如吴红梅的研究中发现：学生推理整体水平偏低，且学生个人之间差异较大⑺。本次推理测试的调查问卷经测验班检测，认为根据两个年级学生现有知识水平完全可以作答，且由测试结果可以发现，每道题都是有满分的学生，说明学生有完全作答的能力。表2学生推理成绩等级统计表成绩等级分数区间人数百分比优秀90-100187.9%良好80-90198.4%中等70-803113.7%及格60-702611.5%不及格0-6013258.4%合计226100%不同推理类型发展的总体水平比较总体上学生推理水平发展低于预期，在不同的推理类型上学生发展如何呢？笔者按三种推理类型分别研究，分析出学生在不同推理类型上的差异以及发展情况，如表3所示。表3不同推理类型学生得分率比较推理类型平均值标准差平均得分率演绎推理14.337.3949.4%归纳推理12.099.1546.5%类比推理12.944.8761.6%总分39.3651.8%调查数据显示归纳推理标准差最大，且平均得分率最低，体现了学生答题得分差异较大。在问卷中主要体现为学生对需要归纳的内容往往把握不住本质，也就是说学生从相似事物中归纳共性的能力欠缺，同时学生的归纳推理表达也不够完善，说明小学高年级学生在数学推理的数学表达上欠佳。在类比推理的考察上，学生的成绩相对较好，得分率最高，标准差最小，由此可以看出各版本教材中早期渗透类比推理较多。类比强调知识的迁移，其中一道图形推理题目，学生对图形的感知都很好，都能在不同图形中找出共性画出图形，但涉及说明蕴含的规律时往往对规律的表达欠佳，正好反馈了在合情推理中，小学生更擅长类比推理。从整体上考察不同推理类型，学生的合情推理能力相较于演绎推理是略胜一筹的。课程标准在第一、第二学段建议“教师在教学过程中，应该涉及适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理'，’在第三阶段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展”⑼，从数据整体结果来看，小学高年级学生的推理能力与课标中的教学建议一致。（二）学生推理能力性别上的比较1.男、女生总体推理水平的差异比较一般认为，男生的推理水平要高于女生。为了解男生和女生之间的推理水平是否有明显差异，对问卷结果进行了独立样本-检验评估。由表4检验结果可知，女生平均分低于男生,但标准差比男生小一些，因0值大于0.05,得出女生与男生的推理成绩均值没有显著差异。表4男、女生推理水平的差异检验人数平均分标准差-值0值（双侧）男生女生11611049.3746.698.067.840.8750.383这样的结论与我们通常的观念有出入，男生并没表现出更好的推理水平，而女生也不是我们想象中的推理能力较低。从此次问卷调查结果来看，最低分4分，有两人，均为男生。排在后10位的学生中男生有7人，而最高分为84分也是男生，由此可以解释男生极端数据的影响是不可忽视的。性别差异对个体学习能力的偏向确实会有一些影响，比如说女生的形象思维较好，而男生的抽象思维稍优，但这只是很宽泛的评价。就所测试的小学高年级学生推理能力并没有呈现出男生明显高于女生的现象,反而是女生均分分布的整体水平更优些。其原因在于小学阶段重视合情推理，对于整体推理水平要求不是很高，学生通过简单枚举、猜测就可以在浅层面理解知识，而不必深挖其逻辑关系和推理过程，这对学生来说不需要很强的推理能力也能够解决问题。因而，小学阶段男、女生推理能力没有明显差异，但这其实也是导致学生推理水平长期处于发展滞缓的原因之一。2.不同推理类型上男、女生的差异在整体上，我们发现男、女生性别差异体现在推理能力上并不显著，那么在不同类型的推理上，男、女生是否有差异？这里选择从演绎推理、归纳推理、类比推理、综合推理进行考察，以了解男女生在不同推理能力上的差异。从调查数据可以看出，男、女生在演绎推理、归纳推理、类比推理及综合推理上没有显著差异，但男生在演绎推理第三题中表现出分值上明显的优势，说明在稍复杂的演绎推理上，男生优于女生，能灵活运用知识解决问题。整体上男、女生的差异仅在归纳推理第二题和类比推理第三题存在明显差异。有意思的是，存在明显差异的两道题目都是女生的均分高于男生。从题目的设计上看，这与女生在数学表达上优于男生有密切联系，女生能清晰完整地表达规律。同样的现象在类比推理的第三题也可以看出。这是一道图形类比题，需要找到前三幅图的规律画出第四幅图。该题既考察了类比推理，也有归纳推理，而学生答题较弱的是对于规律的表述，又呈现出参差不齐，男女生的差异依然体现在数学的文字表述。表5男、女生在不同推理类型上的差异比较测评项目男生（i116）女生（i110）-值0值（双侧）演绎推理16.41±2.476.51±2.39-0.2600.795演绎推理24.01±2.464.25±2.26-0.6520.515演绎推理31.35±4.120.7±2.91.1610.248归纳推理11.38±2.221.72±2.5-0.9210.358归纳推理21.48±2.552.53±2.96-2.4320.016*归纳推理35±4.664.92±5.220.1090.913类比推理10.81±1.331.19±1.47-1.7240.087类比推理22.91±2.793.07±2.67-0.3720.71类比推理37.09±2.948.11±2.28-2.4830.014*综合推理7.07±1.457.01±1.490.300.76（三）学生推理能力的年级上比较心理学领域很多专家对小学儿童演绎推理能力的发展进行了实验研究，结果说明儿童的推理能力在五年级发生较大的转变3）。为了了解两个年级学生推理能力是否有较大差异，对五、六年级问卷数据进行了总体及不同类型推理类型的差异比较（见表6）o从数据可以看出，随着年级的增长，小学高年级学生推理能力有显著差异，六年级学生在演绎推理、归纳推理以及推理整体都较五年级有明显提升。六年级作为与第三学段（7-9年级）衔接的年级，学生的合情推理与演绎推理能力的提升为第三学段演绎推理的学习做铺垫。第三学段要求演绎推理作为探索活动的自然延续和必要发展，要求证明过程及其表达更符合逻辑，清晰而又条理。小学阶段虽然大量内容是合情推理,但合情推理有助于演绎推理探索思路、发现结论。同时高年级的教学中也可以跳出举例，通过数学表达上的“因为”“所以”感受三段论的演绎推理，帮助学生认识到用逻辑严密的三段论来证明结论的正确性，感受数学魅力。表6总体推理及不同推理类型年级上的差异比较测评项目五年级（i164）六年级0值（双侧）（i62）-值总体推理38.55±15.3867.56±9.54-16.910.000演绎推理11.60±5.6521.63±6.47-10.680.000归纳推理8.52±7.6221.73±4.87-15.300.000类比推理11.60±4.5516.47±3.84-8.020.000四、结论与建议（一）调查结论首先，学生整体推理水平不高。小学高年级学生推理能力的整体水平不高，推理能力呈现出随年级而显著增长，随着年级的升高学生的表达、说理更清晰。在不同推理类型上学生的推理能力随年级变化有显著差异，六年级学生在推理能力上有显著提升，可见思维发展与年龄有密切关系。从小学阶段接触的两种推理方式看，学生的合情推理水平不尽如人意，而演绎推理又呈现出极端化现象，个体差异较大。这说明学生的推理能力的培养不能仅仅止步于"形”，更要着意于“心”。其次，学生推理能力性别上的比较并不明显，男、女生推理能力在总体上不存在显著性差异。但在个别问题上，男、女生存在显著差异，主要体现在归纳推理中，女生的数学表达优于男生，能将规律清晰且有条理地表达。最后，学生直观推理水平高于抽象推理。直观推理在测试中体现为简单文字推理与几何推理，得分较高，此类类比推理让学生对直观形象思有所依。抽象推理在测试中体现在稍复杂、纯文字推理以演绎推理居多，问卷上有三道题均为文字方式呈现，学生面对复杂演绎推理问题，因抽象性较高，常常产生畏难心理,不能进入题目的情境。（二）启示与建议小学是推理教学的起始阶段，推理贯穿于数学教学的始终，而推理能力的形成和提高需要一个长期、渐进的过程。针对调查了解到的中小学高年级学生数学推理能力发展的现状,从小学数学长期的教学过程给合情推理和演绎推理的教学提出建议，希望教师依据学生年龄的特征和数学知识的特质潜移默化地渗透和有效地指导，从而提升学生数学推理能力及数学学习兴趣。1-观察比较，沟通联系，加强直观到抽象的类比数学教育家乔治波利亚说“类比就是一种相似”，需要在过程中发现两类事物相似的性质，由此及彼，因此观察比较是类比的基础。教学中要从问题情境出发，提出先行组织材料,引导学生寻找相似的类比素材。教学中需要给观察、比较留有足够的空间，激发儿童的联系与猜想，不要急于启发学生马上得出结论，在此过程中进一步沟通新旧知识的联系，鼓励学生大胆地将猜想的结果在组内或全班表达出来,引领学生思维从表层走向深入，从关注知识到关注方法、思想。同时，随着儿童年级的升高、思维的提升，类比素材的选择需要从直观走向抽象。低年级儿童还不能完全脱离实物、图片等，因此教学中需要提供直观具体的事物、图形、数字帮助儿童观察比较，通过圈一圈、写一写加强新旧知识的联系，感知相似点。高年级学生抽象思维能力提升，教学中可以直接呈现文字、图片，也可以让学生或借助自行的画图或借助于头脑中的表象，由此及彼展开类比。例如，教学饲、数的意义》，教师借助于方格纸让学生直观认识到“一位小数表示十分之几、两位小数表示百分之几”，适时提问“你能发现什么规律？三位小数呢？四位小数呢?”此时需要学生借助头脑中的数形结合进行类比推理。注重过程，加强表征，提升意会到言传的归纳低年级儿童有归纳的生活阅历和日常经验，教学中需要注重数学活动经验的积累，例如将小球按颜色摆一摆，找一找图形哪些是一类的，通过操作、观察、比较，经历对数学对象产生感性认识或直觉到对事物进行表面的联系。初级阶段的归纳主要