08 矩阵函数的求法

本文格式为Word版，下载可任意编辑——08矩阵函数的求法第八讲矩阵函数的求法

一、利用Jordan标准形求矩阵函数。

对于矩阵的多项式，我们曾导出f(A)=Pf(J)P-1，f：多项式

??f(J1)???f(J?f(J)=?2)??????????f(J?s)???1?f(J?f(λ)f?(λf??m???i-1?????(λi)=?ii)1f??(λ)i)??2!imi-1!??????实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成立。由此

引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。定义：设n阶矩阵A的Jordan标准形为J

?J?1??0?J??λi1??2???J=????λi1???，???J(λi)=??λ????i???1???Js????0λi??有非奇异矩阵P使得：P-1AP=J对于函数f(z)，若以下函数

f(λi),f?(λi),,f?mi-1?(λi)(λ=1,2,,s)均有意义，则称矩阵函数f(A)有意义，且

?f(J1)???f(J?2)?f(A)=Pf(J)P-1=P???P-1?????f(Js)??1.??f(λ)f?(λ)1f??(λ)i2!iif(J)=?i???矩阵函数的求法（步骤）：

1求出A的Jordan标准形及变换矩阵P，P-1???m-1??1fi?(λ)?i?m-1!i??????2.

??m×miiAP=J

2对于J的各Jordan块Ji求出f(Ji)，即计算出

?mi-1??f(λ),f(λ),,f(λiii)

并依照顺序构成f(Ji)，

??f(λ)f?(λ)1f??(λ)i2!if(J)=?ii????f(J)1??f(J)2?3合成f(J)=????????1???mi-1????f(λ)?i?m-1!i???

??m×mii????????f(Js)??-14矩阵乘积给出f(A)=Pf(J)P

需要说明的是，计算结果与Jordan标准形中Jordan块的顺序无关。

?1234??123???例1（教材P176例3-8）.A=12?,求A???1??[解]1求出J及P

o?1100??8400??2-2-10??110??4-11???4201?,P=??,P-1=??J=?11?2-2?816???16???1????1????16??2o求出f(λm-1?i),f?(λi),,f?i(λi)并构成

f(Ji)：λ1=1,m1=4,f(z)=z

f(1)=1,

f?(1)=12z-12|11-313-53z=1=2,f??(1)=-4z2|z=1=-4,f???(1)=8z2|z=1=8

?168-21??168-2?1f(J1)=??168??16

??16??3o合成f(J)=f(J1)

?1111??111?4o求f(A)=Pf(J)P-1，f(A)=??11??

??1??说明：

?1111?2?1234??111??123?（1）[f(A)]2=??11??=??12?=A，

???1????1??可见这样的A确与A2构成反函数；

（2）矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种，如辛矩阵。以

A=?-10???±i0??0?0-1?为例，以我们这里的定义，A=???0±i??，但B=??1亦满足B2=A，即B也可以看作某种A二、利用零化多项式求解矩阵函数.

-1?0??利用Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较繁杂，它需要求J和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。

定律：n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个（也就是最终一个）

不变因子dn(λ)。（可参见张远达《线性代数原理》P215）

(λ),设n阶方阵A的不变因子反向依次为dn(λ),dn-1给出的初等因子分别为

,d(λ)，由它们1ms(λ-λ)(λ-λ),,(λ-λ1,2r)m1m2mr；(λ-λr+1)mr+1,,(λ-λs)；

?m=n

ii=1s|d2(λ),d2(λ)|d3(λ),由于d(λ)11

o,dn-1(λ)|dn(λ)，故

λr+1~λs必定出现在λ1~λr中；

(i>r)=λ(j?r)则mi?mj2若λijo根据上述定理，A的最小多项式

mm?0(λ)=(λ-λ)(λ-λ)1212mr(λ-λ)rA的最小多项式为其零化多项式，

I-A)1(λI-A)2即(λ12令m=?mi，则可见

i=1rmmmr(λI-A)=Or2-1Am可以由A0=I,A,A,m,A线性表示，从而

0A,A2,,Am-1线性表示。Am+i(λ>0)亦可由A=I,所以，矩阵函数f(A)若存在，

0m-1A~A也必定可由线性表示。

因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式g(λ)=适选中择系数c0~cm-1，就可以使f(A)=g(A).

根据以上论述，?cλ，

iii=0m-1又，假设J,P分别为A的Jordan标准形及相应变换矩阵：A=PJP则

f(A)=Pf(J)P，g(A)=Pg(J)P-1-1-1?f(J)=g(J)?f(Ji)=g(Ji)

(mi-1)(mi-1)??f(λ)=g(λ),f(λ)=g(λ),,f(λ)=g(λ2,,r)?iiiiii)(i=1,由于g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于c0~cm-1的线性方程组。

且方程的个数为m=?m等于未知数个数，正好可以确定c0~cm-1

ii=1r由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。1求出最小多项式

o?0(λ)=dn(λ)=(λ-λ)1(λ-λ2)n1m1m2(λ-λ?mi=m；r),mri=1r（或者特征多项式?(λ)=(λ-λ)1(λ-λ)22形式上写出待定多项式

i2g(λ)=?cλ=c+cλ+cλ+i012i=0m-1on2(λ-λ?ni=n）r),nri=1rm-1+cm-1λ

i2g(λ)=cλ=c+cλ+cλ（或者?i012+i=0n-1n-1+cn-1λ）

3求解关于c0~cm-1的线性方程组

o(k)(k)g(λ)=f(λ1,2,,m;2,,r)ii)(k=0,ii=1,1,2,（或者k=0,4求出g(A)，即可得f(A)=g(A).

o,n;2,,r）ii=1,从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般的零化多项

式也可以，其中以特征多项式最为便利。

?12?1?例2.采用新方法计算A=????34??23?1（f(λ)=λ）?的函数A。2?1??[解]1

2

oo4λ?(λ)=?0(λ)=(λ-1).m1=4=m=n,1=1；

23g(λ)=c0+cλ+cλ+cλ1233方程组为

og(1)=f(1)=1=c0+c1+c2+c3g?(1)=f?(1)==c1+2c2+3c3

12g??(1)=f??(1)=-13=2c2+6c3g???(1)=f???(1)==6c348?c3=116,c51552=-16,c1=16,c0=164og(A)=116(5I+15A-5A2+A3)?141020???162156A2=?1410?????，A3=?1621??14???????16??1????1??

??5000??15304560??52050100??1????f(A)=1?16??500153045??520