19含参变量的积分

前面：讨论过函数项级数用来表示和研究一些非初等函数（复杂函数）：当把求和看成连续量求和时就是本章内容。第十九章含参变量的积分学习方法：强调与Ch12对应。1§1含参变量的正常积分2在[a,b]连续定理19.1在上连续，则若等价于：而即积分运算与极限运算可以交换次序。例求：3（积分下求导数）设和在上连续，则在有连续的导函数，且即定理19.24例1.求：其中解：对任意存在b使得，于是都在连续，由定理19.2得当时5令则(万能公式）因此6积分得又由及的连续性，得：因此71）函数的范围满足Th19.2的条件3）积分求出，确立常数2）求出最后求得：方法步骤：8例2.计算定积分这个积分并不带参变量，但如果直接求，很难积出来，我们将通过积分求导数，再求出I=I(1)，记为此，引入参变量，考虑含参变量积分解：

将参数加在这里是因为如果将参数加在其他地方都会变得更加的复杂而不能解决问题，所以把它加在x这里9则它们都在上连续，根据定理19.2，有10注意到I(0)=0，故从而111）引入参变量，考察含参变量积分

验证在[0,1]×[0,1]3）求2）求出上满足Th19.2。方法步骤：12定理19.3设函数f(x,y)在矩形区域上连续，则（1）在连续；在连续，则在有连续偏导数。（2）若对各变元13定理19.4：设函数f(x,y)在c(x)，d(x)都在[a,b]上连续，并且有上连续，当则在[a,b]连续。定理19.414设函数f(x,y)，

都在上连续，又和在[a,b]存在，且当时，有,，则在[a,b]可导，且定理19.515例3.设，求解:这个积分积不出来，但由定理19.5有16例4.设f(x)在x=0的某邻域内连续，则微分方程附近可表成其中n是任意正整数。的解在x=0

证明:利用定理19.5，则17一般地有从而显然18

的可积性（积分问题）在[a,b]可积.通常记最后讨论记号：若称为先对y后对x的累次积分19（积分交换次序）

在[a,b]可积，且即设f(x,y)在[a,b]

[c,d]连续，则

定理19.620证明：先证明：2.确定中的常数c=0（取u=a）中令u=b

得证.令3.在21解：，令在连续，则积分交换次序，在例1中已求出故，用变量代换，例5.求其中22§2含参变量的广义积分1.一致收敛广义积分有两种情形，一种是无穷限积分，另一种为瑕积分.

回忆函数项级数的情形，在和函数分析性质的研究中，一致收敛的概念起了关键作用.通过一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究.在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念.本章主要讨论无穷限的情形，但是所有的结果都可以平行地推广到瑕积分的情形.一致收敛的概念起了关键作用.他们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数十分类似.23设f(x,y)定义在[a,b]×[c,]，且对任意xI(x)=收敛。若对任意的都成立，则称含参变量的广义积分在[a,b]一致收敛.[a,b],无穷积分或，存在，当时，有定义19.1对x[a,b]24例1.证明：含参变量的广义积分一致收敛.其中a>0；,而,所以对任给的,存在,当A>时有,从而当时，对任意的有这就证明了（1）在不一致收敛.证明:(1)因为（2）在在一致收敛。25含参变量的广义积分在[a,b]一致收敛的充要条件是对任给的，存在正数，当时，对任意的[a,b]

，有定理19.7(一致收敛的柯西准则)一致收敛判别法：26定理19.8（魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法，或控制收敛判别法）与常数B>c，使得当与[a,b]时，有而广义积分是收敛的，则在[a,b]一致收敛。设存在函数27设（1）含参变量的正常积分在与[a,b]有界，即存在M>0，(2)对每个固定的[a,b]，函数g(x,y)关于y是单调的，时，g(x,y)在[a,b

]一致地趋向于0。则在[a,b]一致收敛。对任意的A>c及任意[a,b]有且当含参变量广义积分定理19.9（狄利克雷判别法）28设（1）在[a,b]一致收敛；[a,b]，函数g(x,y)关于y单调，[a,b],则含参变量广义积分在[a,b]一致收敛。（2）对每一个固定的且g(x,y

)在有界。定理19.10（阿贝尔判别法）29例2.证明在一致收敛对与成立，而广义积分收敛，因此在一致收敛。证明:用魏尔斯特拉斯判别法由于例3.证明在一致收敛.30在若含参变量广义积分在[a,b]上一致收敛，设则I(x)在[a,b]连续。2含参变量广义积分的分析性质定理19.11（积分号下取极限）上连续，31设在在[a,b]上一致收敛，则即

定理19.12（积分交换次序）上连续。若含参变量广义积分32设和都在上连续，在[a,b]上收敛，在[a,b]上一致收敛，在[a,b]可导，且即交换x,y结论依然成立则定理19.13（积分号下求导）若33例4.求狄利克雷积分例6.计算积分解：令，则例5.计算积分解：利用例4.解：注意到34定理19.14(迪尼)设f(x,y)在连续，非负.若在收敛，且作为y的函数在连续，则在是一致收敛的.35定理19.15设在连续且非负都收敛，且分别在和连续，，，中有一个存在，则另一个也存在，且两者相等.若36例7.计算概率积分37含参变量广义积分它的定义域就是积分的收敛域：易知（二）性质在其定义域内连续且（一）定义：1.它为无穷限广义积分2.当时又是瑕积分有任意阶连续导数：§3欧拉积分1.Γ函数：函数38(三)递推公式特别：为正整数时可见函数是阶乘n!的延拓39称（一）定义：含参变量的广义积分（二）性质：2.B函数1.它的定义域就是积分的收敛域2.当a1,b1时积分是正常积分3.当a1或b1时积分是瑕积分为B函数，定义域为a>0,b>0对称性40

（a>0,b>0)（四）与函数的关系（狄利克雷公式）(三)递推公式：

（a>0,b>1）（a>1,b>0）41内容小结含参变量的正常积分的定义及其性质含参变量广义积分的判别法、性质及其计算欧拉积分的计算42习题1.记.则2.求，其中解：.43再对积分，得，，得．又故．3.应用对参数求导法计算积分（不必定常数，若计算时出现无界情况，取极限计算）．