多元函数微积分张建梅

多元函数微积分张建梅第1页，共63页，2023年，2月20日，星期四一、平面点集二、二元函数的概念☆例6.2.2☆例6.2.3☆例6.2.4三、二元函数的极限四、二元函数的连续性五、内容小结★思考题★习题解答☆例6.2.1☆例6.2.5☆例6.2.7☆例6.2.6★作业本节内容:第2页，共63页，2023年，2月20日，星期四1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为一.平面点集第3页，共63页，2023年，2月20日，星期四P0P0当不关心邻域半径时,简记为和.第4页，共63页，2023年，2月20日，星期四在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.第5页，共63页，2023年，2月20日，星期四2.平面上的点与点集之间的关系(1)内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点

;则称P为E

的边界点

.的外点,显然,E的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.第6页，共63页，2023年，2月20日，星期四x+y=0xy0如图D如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)|x+y>0}易见,直线上方每一点都是D的内点.即D=D,但直线上的点不是D的内点.第7页，共63页，2023年，2月20日，星期四(2)聚点若对任意给定的

,点P

的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)第8页，共63页，2023年，2月20日，星期四3.几个重要的平面点集(1)若点集E的点都是内点，则称E为开集；(2)若点集E

E

,则称E为闭集；(3)

若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,则称D是连通集;

E的边界点的全体称为E的边界,记作E;第9页，共63页，2023年，2月20日，星期四如图XYE连通YXE不连通第10页，共63页，2023年，2月20日，星期四(4)连通的开集称为区域(region)或开区域．例如，例如，第11页，共63页，2023年，2月20日，星期四★整个平面★

点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.(6)对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无第12页，共63页，2023年，2月20日，星期四例如，在平面上开区域闭区域第13页，共63页，2023年，2月20日，星期四邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.第14页，共63页，2023年，2月20日，星期四设D是xy平面上的一个点集,即D

R2,若对任意的点X=(x,y)DR2,按照某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的二元实值函数,记作f:D

R,X=(x,y)z.二、二元函数的概念1.二元函数概念第15页，共63页，2023年，2月20日，星期四称z为点X=(x,y)在f下的像,记作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也称作X=(x,y)所对应的函数值.称D为函数

f的定义域.D在f下的像集f(D)={f(X)|XD}称为f的值域.习惯上,称z=f(X)=f(x,y)为二元函数,另外,称x,y为自变量,z为因变量.比如z=sinx+cosy,z=3x2+ey.第16页，共63页，2023年，2月20日，星期四注1.一般说来,自变量x,y都是独立变化的.它们只受到(x,y)D的限制.f(x,y)的表达式,算f(x0,y0)的方法与一元函数类似.另外,若给出了第17页，共63页，2023年，2月20日，星期四注2.特别,若定义域D是x

y面上一条曲线.D:y=g(x).g事实上,x

D上的点

(x,g(x))=(x,y)

z.f=

f(x,g(x))成为一元函数.则二元函数z

=

f(x,y)第18页，共63页，2023年，2月20日，星期四注3.

任何一个一元函数都可扩充为一个二元函数.事实上,z=f(x)=f(x)+0·y只须将z作为一元函数的定义域D

R扩充为R2中点集即可.注2,注3说明二元函数是一元函数的推广,而一元函数则是二元函数的特殊情形.第19页，共63页，2023年，2月20日，星期四注5.约定,凡用算式表达的多元函数,除另有说明外,其定义域是指的自然定义域．注4.与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域．注6.一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍然适用.第20页，共63页，2023年，2月20日，星期四设D

Rn

,若对任意的X=(x1,x2,…,xn)D

Rn

,按某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的n元实值函数.记作f:D

R,X=(x1,x2,…,xn)

z.并记z=f(X),或z=f(x1,x2,…,xn).补充：n元函数定义第21页，共63页，2023年，2月20日，星期四解:

与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.例求z=ln(x+y)的定义域D,并画出D的图形.x+y>0.故定义域D={(x,y)|x+y>0}画直线y=–x.由于D中点(x,y)的纵坐标y要大于直线y=–x上点的纵坐标y,故D表示直线y=–x上方点的集合.(不包括边界y

=–x上的点)为画D的图形,由x+y>0,得y>–x.第22页，共63页，2023年，2月20日，星期四x+y=0xyo如图y>–xD(不包括直线x+y=0)第23页，共63页，2023年，2月20日，星期四例.

解:故故D表示到原点距离不超过1的点的集合.即,D为单位圆盘(包括圆周).第24页，共63页，2023年，2月20日，星期四xyox2+y2=1(包括圆周)D第25页，共63页，2023年，2月20日，星期四例6.2.1求函数解定义域中的点应满足条件

故所求定义域为

的定义域第26页，共63页，2023年，2月20日，星期四故得

即有

第27页，共63页，2023年，2月20日，星期四设z=f(X)=f(x,y)的定义域是平面区域D.按二元函数定义,X=(x,y)D.可以唯一确定实数z,从而确定了空间一个点M(x,y,z).2.二元函数的几何意义第28页，共63页，2023年，2月20日，星期四当X在D中变动时,点M(x,y,z)在空间中变动,当X取遍D中一切点时,M(x,y,z)在三维空间中"织"出一片曲面.即,二元函数表示空间中一片曲面,D是该曲面在xOy面上的投影区域.第29页，共63页，2023年，2月20日，星期四二元函数的图形通常是一张曲面.第30页，共63页，2023年，2月20日，星期四回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x不论是从x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.表示如图xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxxx0就是>0,>0.当0<|x–x0|<时,有|f(x)–A

|<.三、二元函数的极限第31页，共63页，2023年，2月20日，星期四设二元函数z=f(X)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值f(X)无限接近于数A,则称A为当X趋近于X0时f(X)的极限.MX0Ayzxof(X)第32页，共63页，2023年，2月20日，星期四设二元函数z=f(X)=f

(x,y).定义域为D.X0=(x0,y0)是D的一个聚点.A为常数.若>0,>0,当对应的函数值满足|f(X)–A|<则称A为z=f(X)的,当X趋近于X0时(二重)极限.记作或也可记作f(X)A(XX0)或f

(x,y)A(xx0,yy0)定义6.2.2第33页，共63页，2023年，2月20日，星期四如图xx0xx第34页，共63页，2023年，2月20日，星期四xoX0XD对二元函数f(X),如图有点X以任何方式、任何方向趋近于X0时,f(X)的极限都存在且为A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo第35页，共63页，2023年，2月20日，星期四第36页，共63页，2023年，2月20日，星期四1.因此,如果当X以某几种特殊方式趋于X0时,f(X)的极限为A.不能断定二重极限2.若X以不同方式趋于X0时,f(X)的极限不同,则可肯定二重极限3.极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.注：第37页，共63页，2023年，2月20日，星期四例6.2.3证令则

注在可能的情况下通过换元，变成一元函数的极限，所有一元函数求极限的方法都可以用，如罗比塔法则、重要极限等.第38页，共63页，2023年，2月20日，星期四例6.2.4解

第39页，共63页，2023年，2月20日，星期四设f(x,y)=证明f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.证:

方法一：由注2知,只须证明当X沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.例6.2.5第40页，共63页，2023年，2月20日，星期四考察点(x,y)沿平面直线y=kx趋于(0,0)的情形.如图对应函数值xoy第41页，共63页，2023年，2月20日，星期四从而,当点(x,y)沿y=kx趋于(0,0)时,函数极限当k不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.方法二：请考察当X=(x,y)沿x轴,沿y轴趋于(0,0)的情形.第42页，共63页，2023年，2月20日，星期四沿x轴,y=0.函数极限=0沿y轴,x=0.函数极限=0但不能由此断定该二重极限为0(注2).第43页，共63页，2023年，2月20日，星期四因为沿直线y=x,函数极限由此断定该二重极限不存在方法三利用极坐标代换，则令上述极限随角度的变化而变化，因此函数在极限不存在

第44页，共63页，2023年，2月20日，星期四四、多元函数的连续性1.定义6.2.3第45页，共63页，2023年，2月20日，星期四定义在区域D上的二元连续函数z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片没有"空洞",没有"裂缝"的连续曲面.这里条件"D是一区域"是必要的.若D不是区域,z=f(X)可能不是通常意义下的连续曲面.2.二元连续函数的几何意义:第46页，共63页，2023年，2月20日，星期四补充例.设D={(x,y)|x,y均为有理数}R2.z=f(x,y)是定义在D上的,在D上恒等于1,在别的点上无定义的函数,即f(x,y)=1,当(x,y)D时,无定义,当(x,y)D时.

如图xyzo1可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意义下的连续曲面.第47页，共63页，2023年，2月20日，星期四例如讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第48页，共63页，2023年，2月20日，星期四

多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的则四运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。结论：

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．又如,函数在圆周上间断.第49页，共63页，2023年，2月20日，星期四例