地图的数学基础

地图的数学基础第1页，共66页，2023年，2月20日，星期四 §1地球的形状及大小

§2坐标系与大地控制点

§3地图投影

§4地图比例尺§5地图分幅与编号第2页，共66页，2023年，2月20日，星期四§2.1地球的形状及大小2.1.1地球体

浩瀚宇宙中:

地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。第3页，共66页，2023年，2月20日，星期四事实是： 地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。第4页，共66页，2023年，2月20日，星期四机舱窗口俯视大地:

地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。

珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。第5页，共66页，2023年，2月20日，星期四

长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorab

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f对

a，b，f

的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。2.1.2椭球体三要素:

第6页，共66页，2023年，2月20日，星期四我国采用的两个参考椭球体及GPS测量使用的参考椭球元素

第7页，共66页，2023年，2月20日，星期四

地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。§2.2坐标系与大地控制点1地理坐标系

——

用经纬度表示地面点位的球面坐标。第8页，共66页，2023年，2月20日，星期四

2.中国的大地坐标系

1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联普尔科沃）；自1980年开始采用GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。第9页，共66页，2023年，2月20日，星期四陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。ICA-75椭球参数

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.257第10页，共66页，2023年，2月20日，星期四第11页，共66页，2023年，2月20日，星期四第12页，共66页，2023年，2月20日，星期四第13页，共66页，2023年，2月20日，星期四第14页，共66页，2023年，2月20日，星期四第15页，共66页，2023年，2月20日，星期四第16页，共66页，2023年，2月20日，星期四第17页，共66页，2023年，2月20日，星期四大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的位置位置平面位置（经度和纬度）高度（高程）

1）大地控制第18页，共66页，2023年，2月20日，星期四2）中国的大地控制网平面控制网:按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。第19页，共66页，2023年，2月20日，星期四高程控制网

:

按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推

算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《1956年黄海高程系》其比《1956年黄海高程系》平均海水面上升29毫米。

青岛观象山水准原点2.2

坐标系及控制点图4-151956年黄海高程系图4-16国家水准原点所在地第20页，共66页，2023年，2月20日，星期四第21页，共66页，2023年，2月20日，星期四平面控制网国家测绘局第22页，共66页，2023年，2月20日，星期四高程控制网国家测绘局第23页，共66页，2023年，2月20日，星期四2.3地图投影2.3.1地图投影的概念第24页，共66页，2023年，2月20日，星期四地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。然而，从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。第25页，共66页，2023年，2月20日，星期四地图投影就是研究将地球椭球体面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。其数学公式表达为：X=f1(λ,φ)Y=f2(λ,φ)第26页，共66页，2023年，2月20日，星期四

地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不同投影的经纬线网形状：2.3.2地图投影变形第27页，共66页，2023年，2月20日，星期四等角投影按变形性质分类等距投影等积投影任意投影2.3.3地图投影分类第28页，共66页，2023年，2月20日，星期四投影构成方法几何投影条件投影方位投影圆柱投影圆锥投影伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影多圆锥投影第29页，共66页，2023年，2月20日，星期四方位投影圆柱投影圆锥投影第30页，共66页，2023年，2月20日，星期四按投影面与地球的关系分类第31页，共66页，2023年，2月20日，星期四2.3.4墨卡托投影该投影设想与地轴方向一致的圆柱与地球相切或相割，将球面上的经纬线网按等角的条件投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开并展成平面。经线和纬线是两组相互垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大（如图）。图上无角度变形，但面积变形较大。

1.正轴等角圆柱投影

由荷兰地图学家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于1569年所创设，故又名墨卡托投影。第32页，共66页，2023年，2月20日，星期四第33页，共66页，2023年，2月20日，星期四

2.特点:

不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有重要的实用价值。第34页，共66页，2023年，2月20日，星期四3.墨卡托投影应用范围等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。第35页，共66页，2023年，2月20日，星期四

2.4地图比例尺

1.地图比例尺的含义地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。可表达为（d为图上距离，D为实地距离）

根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺：

在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有变形处的比例尺。第36页，共66页，2023年，2月20日，星期四

2.地图比例尺的形式第37页，共66页，2023年，2月20日，星期四

主要内容：

地图编号我国基本地形图的分幅和编号地图分幅的概念和方法地形图编号的计算方法§2.5地图的分幅与编号第38页，共66页，2023年，2月20日，星期四一、地图的分幅地图分幅的方法

矩形分幅

梯形分幅

第39页，共66页，2023年，2月20日，星期四二、地图的编号（一）地图编号的方法1.自然序数编号法

第40页，共66页，2023年，2月20日，星期四将区域分为行和列，分别用字母或数字表示行号和列号，一个行号和一个列号标定一个唯一的图幅。2.行列式编号法第41页，共66页，2023年，2月20日，星期四三、我国基本地形图的分幅和编号（一）20世纪70-80年代我国基本比例尺地形图的分幅和编号

1：100万地图是我国基本比例尺地形图的分幅和编号的基础。

第42页，共66页，2023年，2月20日，星期四第43页，共66页，2023年，2月20日，星期四1：100万1：50万1：25万1：10万1：2.5万1：5万1：50001：1万41614449464444A、B、C、D［1］、［2］…［16］A、B、C、D1、2、3、4（1）、（2）…（64）a、b、c、d我国基本比例尺地形图的分幅编号系统1、2…144第44页，共66页，2023年，2月20日，星期四1：50万、1：25万、1：10万地形图的分幅与编号第45页，共66页，2023年，2月20日，星期四图中错误！4（24）第46页，共66页，2023年，2月20日，星期四举例：已知某点位于北纬32°54′，东经112°48′求该点所在1：25万和1：5万图幅上的旧编号。（解析法、图解法）解析法（1）先求该点所在1:100万图幅编号

第47页，共66页，2023年，2月20日，星期四任一点所在1：100万图幅的编号：横列号=[]+1纵行号=[]+31（东经）

[]代表取整解析法计算图幅编号已知某点的经纬度或图幅西南图廓点的经纬度，计算1：100万图幅编号如下：

第48页，共66页，2023年，2月20日，星期四图解法再计算该点所在1：25万的图幅编号112°30′33°33°40′第49页，共66页，2023年，2月20日，星期四32°55′112°52.5′第50页，共66页，2023年，2月20日，星期四（二）新的分幅与编号方法1.1：100万比例尺地图编号由列-行式行列式

例北京为：J502.1:5千～1：50万比例尺地图编号（1）以1：100万为基础（2）编号由10个代码组成如图所示第51页，共66页，2023年，2月20日，星期四

根据这种编号方法，任何一个特定的图幅都可以有一个唯一的编号。如下：

×××D006011×××C002003×××E018016比例尺1：50万1：25万1：10万1：5万1：2.5万1：1万1：5千

代码

B

C

D

E

F

G

H第52页，共66页，2023年，2月20日，星期四第53页，共66页，2023年，2月20日，星期四分幅：1：50万：2×21：25万：4×41：10万：12×121：5万：24×241：2.5：48×481：1万：96×961：5千：192×192第54页，共66页，2023年，2月20日，星期四编号：

1：50万地形图编号1：25万地形图编号第55页，共66页，2023年，2月20日，星期四举例：已知某点位于北纬32°54′，东经112°48′求该点所在1：25万和1：5万图幅上的新编号。（解析法、图解法）解析法（1）先求该点所在1:100万图幅编号

第56页，共66页，2023年，2月20日，星期四任一点所在图幅的编号：横列号=[]+1纵行号=[]+31（东经）

[]代表取整已知某点的经纬度或图幅西南图廓点的经纬度，计算该图幅新编号方法。（1）计算1：100万图幅编号

第57页，共66页，2023年，2月20日，星期四再用图解法：（2）1：25万的图幅编号—I49C004004（3）1：10、5、1万的图幅编号？第58页，共66页，2023年，2月20日，星期四作业：已知制图区域的经纬度范围如下，编制该地区的地图时，需收集1：10万地形图作为编图资料，请算出所需1：10万图号及并将相邻图幅编号填入下表：第59页，共66页，2023年，2月20日，星期四（二）矩形分幅与编号每幅地图的图廓都是一个矩形，相邻图幅是以直线划分的。图幅的图廓线平行于纵、横坐标轴线的直角坐标格网线。一般适合较小区域的大比例尺地图；图幅大小见下表:比例尺图幅大小/cm×cm实地面积/km21:5000图幅内的分幅数1:500040×40411:200050×50141:100050×500.25161:50050×500.062564第60页，共66页，2023年，2月20日，星期四矩形分幅时，图幅编号一般采用正规分幅和编号方式。用该图图廓西南角的x，y坐标以公里为单位表示。规定1:500取至0.01km，1:1000、1:2000取至0.1km,1:5000取至1km，现举例说明之。图2-53（a）为某1：5000比例尺地形图的图幅和编号，图幅大小为40×40cm，其西南图角的坐标为x=83km、y=15km，故其图幅编号