复变函数与积分变换课件复数项级数

复变函数与积分变换课件复数项级数第1页，共72页，2023年，2月20日，星期四§4.1复数项级数一、复数序列二、复数项级数第2页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、复数序列1.基本概念定义设为复数，称为复数序列。极限如果对任意给定的

e>

0，相应地存在自然数N，设

为一复数序列，又设

为一确定的复数，当

n

>

N时，总有

|

zn-

a

|

<

e

成立，或或称

a

为复数序列的极限，收敛于复数

a，则称复数序列记作使得第3页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、复数序列2.复数序列极限存在的充要条件则

的充要条件是定理设证明必要性“”若则当时，

P78定理

4.1

第4页，共72页，2023年，2月20日，星期四则

的充要条件是一、复数序列2.复数序列极限存在的充要条件定理设证明充分性“”则当

时，若第5页，共72页，2023年，2月20日，星期四解由或发散，即得也发散。已知故序列收敛。附考察实序列

的收敛性。(其中见上例)根据复数模的三角不等式有第6页，共72页，2023年，2月20日，星期四注(1)序列收敛序列收敛；(2)例设讨论序列的收敛性。解即序列收敛。第7页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、复数项级数1.基本概念定义设为一复数序列，(1)称为复数项级数，(2)称为级数的部分和；并且极限值

s

称为级数的和；(3)如果序列收敛，即则称级数收敛，(4)如果序列不收敛，则称级数发散。简记为第8页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、复数项级数2.复数项级数收敛的充要条件级数

和

都收敛。则级数收敛的充分必要条件是定理设证明令

和

分别为级数和

的部分和，则级数

的部分和即得级数

收敛的充要条件是

和

都收敛。由于序列收敛的充要条件是和都收敛，

P80定理

4.1

第9页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、复数项级数3.复数项级数收敛的必要条件则

收敛的必要条件是定理设等价于因此

收敛的必要条件是证明由于级数

收敛的充要条件是

和

都收敛，而实数项级数

和

收敛的必要条件是：P80定理4.3

第10页，共72页，2023年，2月20日，星期四级数收敛，解但级数发散，因此级数发散。(几何级数时收敛)(

p

级数时发散)P81例4.2部分

第11页，共72页，2023年，2月20日，星期四解由于级数和均为收敛，(绝对收敛)故有级数和均收敛，即得级数收敛。记为在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？P81例4.2部分

第12页，共72页，2023年，2月20日，星期四4.复数项级数的绝对收敛与条件收敛二、复数项级数定义(1)若

收敛，则称绝对收敛。(2)若

发散，

收敛，则称

条件收敛。由收敛，证明收敛，定理若收敛，则必收敛。又根据正项级数的比较法可得，和

均收敛，和均收敛，收敛。P81

P80定理4.4

第13页，共72页，2023年，2月20日，星期四解由于即绝对收敛，故收敛。第14页，共72页，2023年，2月20日，星期四分析由于发散，(

p

级数，比阶法)因此不能马上判断

是否收敛。解故级数收敛。记为(莱布尼兹型的交错级数)收敛，收敛，第15页，共72页，2023年，2月20日，星期四§4.2复变函数项级数一、基本概念二、幂级数三、幂级数的性质第16页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、基本概念1.复变函数项级数(2)称为区域

G

内(1)称为区域

G

内的复变函数序列。定义设复变函数在区域

G

内有定义，的复变函数项级数，简记为第17页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、基本概念2.复变函数项级数收敛的定义(1)称为级数的部分和。定义设为区域G

内的复变函数项级数，称级数在点收敛。z0则称级数在区域

D

内收敛。(3)如果存在区域D

G

，有此时，称(2)如果对

G

内的某一点，有z0则为和函数，D

为收敛域。第18页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、幂级数1.幂级数的概念其中，

为复常数。定义称由下式给出的复变函数项级数为幂级数：(

I

)特别地，当

时有(Ⅱ)注(1)下面主要是对型幂级数进行讨论，所得到的结论(Ⅱ)只需将换成

即可应用到型幂级数。(

I

)z(2)对于型幂级数，在

点肯定收敛。(Ⅱ)第19页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、幂级数2.阿贝尔

(

Abel

)

定理(1)如果级数在点收敛，则它在

上绝对收敛；对于幂级数，有定理(2)如果级数在点发散，则它在

上发散。则存在

M，使对所有的

n

有即得收敛。证明(1)由收敛，有其中，当时，

P83定理

4.5

推论(阿贝尔与伽罗华)第20页，共72页，2023年，2月20日，星期四对于幂级数，有二、幂级数2.阿贝尔

(

Abel

)

定理(1)如果级数在点收敛，则它在

上绝对收敛；定理(2)如果级数在点发散，则它在

上发散。证明(2)反证法：与已知条件矛盾。已知级数在点发散，假设存在使得级数在点收敛，由定理的第

(1)

条有，级数在上绝对收敛；级数在点收敛，第21页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、幂级数3.收敛圆与收敛半径发散发散收敛收敛分析第22页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、幂级数3.收敛圆与收敛半径发散发散收敛收敛定义如图设

CR

的半径为

R，(1)称圆域为收敛圆。(2)称

R

为收敛半径。R注意级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。约定表示级数仅在z

=

0点收敛；表示级数在整个复平面上收敛。第23页，共72页，2023年，2月20日，星期四例考察级数的收敛性。对任意的解都有收敛半径为(必要条件?)例考察级数的收敛性。由收敛，因此级数在全平面上收敛，收敛，故级数仅在点收敛，收敛半径为对任意固定的解当时，有第24页，共72页，2023年，2月20日，星期四级数的部分和为解▲级数发散。级数收敛；(1)当时，和函数为(2)当时，故级数收敛半径为第25页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、幂级数4.求收敛半径的方法(1)比值法如果则收敛半径为对于幂级数，有推导考虑正项级数利用达朗贝尔判别法：当即时，级数收敛；当即时，级数发散。P85

第26页，共72页，2023年，2月20日，星期四(2)根值法如果则收敛半径为二、幂级数4.求收敛半径的方法(1)比值法如果则收敛半径为对于幂级数，有(利用正项级数的柯西判别法即可得到)第27页，共72页，2023年，2月20日，星期四例求幂级数的收敛半径与收敛圆。由解收敛圆为收敛半径为例求幂级数的收敛半径与收敛圆。由解收敛圆为收敛半径为得得P86例4.3部分

第28页，共72页，2023年，2月20日，星期四例求幂级数的收敛半径与收敛圆。收敛圆为故级数的收敛半径为由于解第29页，共72页，2023年，2月20日，星期四令则在内有三、幂级数的性质1.幂级数的运算性质P86

第30页，共72页，2023年，2月20日，星期四2.幂级数的分析性质即(3)在收敛圆内可以逐项积分，即(1)函数在收敛圆内解析。设性质则(2)函数的导数可由其幂函数逐项求导得到，三、幂级数的性质P87

第31页，共72页，2023年，2月20日，星期四3.幂级数的代换(复合)性质在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。又设函数在

内解析，且满足设级数

在内收敛，和函数为性质当时，有则三、幂级数的性质第32页，共72页，2023年，2月20日，星期四解方法一

利用乘法运算性质方法二

利用逐项求导性质第33页，共72页，2023年，2月20日，星期四解其收敛半径为收敛圆为第34页，共72页，2023年，2月20日，星期四§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理二、将函数展开为泰勒级数的方法第35页，共72页，2023年，2月20日，星期四z0DC一、泰勒(Taylor)定理则当时，有定理设函数在区域

D

内解析，C

为

D

的边界，其中，证明(略)

Rl

为

D

内包围

点的z0的任意一条闭曲线。l

P88定理

4.6

(进入证明?)第36页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(1)为什么只能在圆域上展开为幂级数，z0RDC而不是在整个解析区域

D

上展开？回答这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制：

幂级数的收敛域必须是圆域。

幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。第37页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(2)展开式中的系数还可以用下列方法直接给出。方法一第38页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(2)展开式中的系数还可以用下列方法直接给出。方法二z0RDCl第39页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(3)对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的，即具有唯一性。将函数在点展开为幂级数。比如方法一

利用已知的结果(§4.2

):方法二

利用泰勒定理

:方法三

利用长除法。(长除法)第40页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(4)对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？可以知道。函数在点展开为泰勒级数，其收敛半径结论等于从点到的最近一个奇点的距离。(1)幂级数在收敛圆内解析，

因此奇点

不可能理由在收敛圆内；(2)奇点

也不可能在收敛圆外，不然收敛半径还可以扩大，故奇点

只能在收敛圆周上。第41页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、将函数展开为泰勒级数的方法1.直接展开法利用泰勒定理，直接计算展开系数将函数在点展开为幂级数。例解P90例4.6

第42页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、将函数展开为泰勒级数的方法1.直接展开法利用泰勒定理，直接计算展开系数同理可得第43页，共72页，2023年，2月20日，星期四二、将函数展开为泰勒级数的方法2.间接展开法根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式第44页，共72页，2023年，2月20日，星期四故收敛半径函数有奇点解函数有奇点故收敛半径(1)(2)P92例4.10

第45页，共72页，2023年，2月20日，星期四(1)解将函数分别在点展开为幂级数。例P92例4.11修改

第46页，共72页，2023年，2月20日，星期四(2)解将函数分别在点展开为幂级数。例第47页，共72页，2023年，2月20日，星期四(1)解(2)第48页，共72页，2023年，2月20日，星期四解第49页，共72页，2023年，2月20日，星期四解将函数在点展开为幂级数。例将函数在点展开为幂级数。例解第50页，共72页，2023年，2月20日，星期四解将函数在点展开为幂级数。例*P93例4.12

第51页，共72页，2023年，2月20日，星期四§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”二、洛朗(Laurent)定理三、将函数展开为洛朗级数的方法第52页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析引例根据前面的讨论已知，函数

在

点的幂级数展开式为事实上，该函数在整个复平面上仅有一个奇点，但正是这样一个奇点，使得函数只能在内展开为

z

的幂级数，而在如此广大的解析区域内不能展开为

z

的幂级数。

有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！第53页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析设想这样一来，在整个复平面上就有由，有从而可得第54页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析启示如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？下面将讨论下列形式的级数:第55页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、含有负幂次项的“幂级数”分析2.级数的收敛特性将其分为两部分：正幂次项部分与负幂次项部分。(A)(B)(1)对于

(A)

式，其收敛域的形式为(2)对于

(B)

式，其收敛域的形式为根据上一节的讨论可知：第56页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性(1)如果级数收敛，则其收敛域“一定”为环域：①

如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项)，特别地则其收敛域为：或②

如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项)，则其收敛域为：上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。第57页，共72页，2023年，2月20日，星期四一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性(1)如果级数收敛，则其收敛域“一定”为环域：而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。(2)级数在收敛域内其和函数是解析的,因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。第58页，共72页，2023年，2月20日，星期四R2z0R1D二、洛朗(Laurent)定理设函数在圆环域定理C

为在圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。解析,内在此圆环域中展开为则

一定能其中，证明(略)zC

P94定理

4.7

(进入证明?)第59页，共72页，2023年，2月20日，星期四注(1)展开式中的系数可以用下面得方法直接给出。二、洛朗(Laurent)定理R2zz0R1CD第60页，共72页，2023年，2月20日，星期四注(2)洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数二、洛朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3)一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。(4)系数?(5)若函数在圆环内解析，则在在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。第61页，共72页，2023年，2月20日，星期四三、将函数展开为洛朗级数的方法1.直接展开法根据洛朗定理，在指定的解析环上R2zz0R1CD直接计算展开系数：有点繁！有点烦！第62页，共72页，2023年，2月20日，星期四三、将函数展开为洛朗级数的方法