图像处理中的正交变换

图像处理中的正交变换第1页，共82页，2023年，2月20日，星期四傅里叶变换：非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正弦和（或余弦）乘以加权函数的积分来表示。这种情况下的公式就是傅里叶变换。其重要特性之一就是用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过傅里叶反变换来重建，不丢失任何信息。第2页，共82页，2023年，2月20日，星期四傅里叶变换与频率域：傅里叶变换是将函数基于频率分成不同的成分，使我们可以通过频率成分来分析一个函数。（傅里叶变换被比作“数学的棱镜”）第3页，共82页，2023年，2月20日，星期四3.1引言1.图像变换的目的：（1）使图像处理问题简化；（2）有利于图像特征提取；（3）有助于从概念上增强对图像信息的理解。2.图像变换特点：二维正交变换；正交变换必须是可逆的；正交变换和反变换的算法不能太复杂。第4页，共82页，2023年，2月20日，星期四正交变换的图像特点：

在变换域中，图像能量集中分布在低频率成分上，边缘和线信息反映在高频率成分上。3.正交变换应用：

图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等。4.常用图像变换算法：

二维傅里叶变换（重点）、沃尔什——哈达玛变换、离散余弦变换、小波变换等。第5页，共82页，2023年，2月20日，星期四3.1.1函数的傅里叶变换傅里叶变换是把图像从空间域转换到频率域，即将空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中简单的乘积运算。应用：在频率域中可以有效的实现图像增强、特征提取、图像恢复、纹理分析与水印嵌入等。1.傅里叶变换的定义：第6页，共82页，2023年，2月20日，星期四注意：正反傅里叶变换的唯一区别是幂的符号不同。几个术语：傅里叶幅度谱、相位谱、能量谱第7页，共82页，2023年，2月20日，星期四二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱二维傅里叶变换对：二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱分别为：第8页，共82页，2023年，2月20日，星期四例：高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯变换。第9页，共82页，2023年，2月20日，星期四2.离散傅里叶变换（DFT）一维离散傅里叶变换对定义：离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶反变换（IDFT）第10页，共82页，2023年，2月20日，星期四3.二维离散傅里叶变换二维傅里叶变换为：在图像处理中,一般选择方阵,即取M=N第11页，共82页，2023年，2月20日，星期四a.原始图像b.离散傅立叶频谱二维图像及其离散傅立叶频谱的显示第12页，共82页，2023年，2月20日，星期四3.1.2傅里叶变换的性质1.共轭对称性和周期性fo(t)为实奇函数。fe(t)为实偶函数。第13页，共82页，2023年，2月20日，星期四（ｉ）实偶函数可见，实偶函数的傅里叶变换仍然是实偶函数。第14页，共82页，2023年，2月20日，星期四（ii）实奇函数可见，实奇函数的傅里叶变换是虚奇的。第15页，共82页，2023年，2月20日，星期四

由(i)，(ii)可知，傅里叶变换不改变函数的奇偶性，但对虚实性有影响，也就是说，偶函数的傅里叶变换不引入系数，虚实性保持不变；而奇函数的傅里叶变换将引入系数-j，从而改变虚实性，即“奇变偶不变”。结论：第16页，共82页，2023年，2月20日，星期四（iii）实函数具有偶的实部和奇的虚部（称为Hermite函数）第17页，共82页，2023年，2月20日，星期四（Hermite）函数具有共轭对称性：Fe(s)为偶函数；Fo(s)为奇函数。

傅里叶变换和反变换均具有周期性第18页，共82页，2023年，2月20日，星期四2.加法定理设两个傅里叶变换对：第19页，共82页，2023年，2月20日，星期四3.位移定理

描述坐标平移（原点移动）对变换的影响。结论：函数位移不会改变其傅立叶变换的模（幅值），但是会改变实部与虚部之间的能量分布，其结果是产生一个与角频率和位移量均成正比的相移。第20页，共82页，2023年，2月20日，星期四4.相似性定理（尺度变换）描述函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的影响。第21页，共82页，2023年，2月20日，星期四傅立叶变换的比例性实例a)比例尺度展宽前的频谱b)比例尺度展宽后的频谱第22页，共82页，2023年，2月20日，星期四５．相关定理（卷积定理）傅里叶变换的优势：在一个域中的卷积计算可以在另一个域中做乘法计算，效果相同。第23页，共82页，2023年，2月20日，星期四上式称为帕斯维尔（Parseval）等式，它表明：变换函数与原函数具有相同的能量。也称能量保持定理。第24页，共82页，2023年，2月20日，星期四7.二维傅里叶变换的分离性

设二维傅里叶变换对为：第25页，共82页，2023年，2月20日，星期四由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运用一维傅里叶变换来实现。第26页，共82页，2023年，2月20日，星期四8．旋转性质第27页，共82页，2023年，2月20日，星期四

二维离散傅立叶变换的旋转性原图像原图像的傅立叶频谱

旋转后的图像旋转后图像的傅立叶频谱第28页，共82页，2023年，2月20日，星期四９．平均值第29页，共82页，2023年，2月20日，星期四３.1.4 快速傅里叶变换（FFT）

逐次加速法的快速傅里叶变换算法：第30页，共82页，2023年，2月20日，星期四第31页，共82页，2023年，2月20日，星期四上式表明：一个N点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算，用式（1）、（2）计算2个（N/2）点的变换得到Feven(u)和Fodd(v),在将它们代入（3）、（4），得到F(u)。第32页，共82页，2023年，2月20日，星期四第33页，共82页，2023年，2月20日，星期四偶数区奇数区第34页，共82页，2023年，2月20日，星期四第35页，共82页，2023年，2月20日，星期四输入数据2点变换4点变换8点变换注意：输入数据的排列顺序采用“位对换”原则。F(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)000001010011100101110111第36页，共82页，2023年，2月20日，星期四“位对换原则”：F(0)中，0的二进制数为000，则它的左位与右位对调后为000，即f(0)。F(1)中，1的二进制数为001，则它的左位与右位对调后为100，即f(4)。F(2)中，2的二进制数为010，则它的左位与右位对调后为010，即f(2)。F(3)中，3的二进制数为011，则它的左位与右位对调后为110，即f(6)。第37页，共82页，2023年，2月20日，星期四3.5离散图像变换的一般表达式图像变换的核：第38页，共82页，2023年，2月20日，星期四第39页，共82页，2023年，2月20日，星期四３.2离散余弦变换(DCT)

应用：主要用于图像压缩编码、数字水印。1.一维离散余弦变换及其反变换定义：第40页，共82页，2023年，2月20日，星期四2.二维离散余弦及其反变换定义：第41页，共82页，2023年，2月20日，星期四 a)原始图像b)离散余弦变换后的频谱二维图像及其离散余弦变换频谱的显示快速离散余弦变换：

1）先将f(x,y)进行快速傅里叶变换，再取其实部。

2）代数分解法第42页，共82页，2023年，2月20日，星期四3.DCT变换特点：与DFT不同的是，DCT是实值的，它广泛应用于数字信号处理，特别是语言和图像的数据压缩。实例：离散余弦变换在图像压缩中的应用a)未经压缩的原始图像

b)采用JPEG方式压缩存储的图像第43页，共82页，2023年，2月20日，星期四３.3沃尔什—哈达玛变换（Walsh-Hadamard）1.沃尔什（DWT）变换：（1）一维（1-D）离散沃尔什变换对： 第44页，共82页，2023年，2月20日，星期四第45页，共82页，2023年，2月20日，星期四第46页，共82页，2023年，2月20日，星期四（2）二维（2-D）离散沃尔什变换对：第47页，共82页，2023年，2月20日，星期四例：一个二维数字图像矩阵为：求图像的二维沃尔什变换。解：第48页，共82页，2023年，2月20日，星期四由例题可知：二维沃尔什变换具有某种能量集中的特性，而且原始数字中数字越均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，应用二维沃尔什变换可以压缩图像信息。第49页，共82页，2023年，2月20日，星期四2.哈达玛（DHT）变换（1）一维哈达玛变换：一维哈达玛变换只差一个常数项：。第50页，共82页，2023年，2月20日，星期四（2）二维哈达玛变换

二维哈达玛正变换和反变换具有相同的形式。第51页，共82页，2023年，2月20日，星期四哈达玛变换具有简单的递推关系：最低阶的哈达玛矩阵核为：n阶哈达玛矩阵与n-1阶哈达玛矩阵的递推关系为：例如：n=2时的哈达玛矩阵核为：第52页，共82页，2023年，2月20日，星期四（3）沃尔什——哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换的使用以及术语在图像处理的文献中是混在一起的，所以常常用术语沃尔什——哈达玛变换来代表它们的任一种变换。（4）哈达玛递推矩阵哈达玛变换可用矩阵表示为：第53页，共82页，2023年，2月20日，星期四第54页，共82页，2023年，2月20日，星期四第55页，共82页，2023年，2月20日，星期四例：求下列图像矩阵的二维哈达玛(DHT)变换。解：第56页，共82页，2023年，2月20日，星期四

３.4霍特林（K-L）变换

K-L变换也称为特征矢量变换、主分量变换或霍特林(Hotelling)变换，它是基于图像统计特性的变换。特点：K-L变换能够充分去除相关性，把有用的信息集中到数目尽可能少的主分量中。应用：主要用于图像压缩、图像旋转、图像增强、遥感多光谱图像的特征提取与信息融合等方面。K-L变换定义第57页，共82页，2023年，2月20日，星期四定义：设x=[x1x2…xN]T是一个N维随机列矢量，其各分量的二阶矩阵存在，进一步假设得到M个矢量采样x1,x2,…,xM。（在实际应用中，将图像看成随机失量）例：具有N个像素的图像f(n,m)在某个通信信道传输了

M

次，由于受到随机干扰，接收到的是一个图像样本集合{f1(m,n)，f2(m,n)，…，fM(m,n)}。对第i次获得的图像fi(m,n),可用一个N维随机列矢量xi表示，从而图像样本集合可表示为{x1,x2,…xM}。第58页，共82页，2023年，2月20日，星期四

其中：mx=E[X]为列矢量x

的均值矢量；

UT

为矢量X

协方差矩阵Cx

的正交矩阵，使Cx

对角化；随机列矢量x=[x1x2…xN]T

的K-L

变换定义为：

y=UT(x-mx)矢量X的协方差矩阵：第59页，共82页，2023年，2月20日，星期四K-L变换的反变换为：

在实际应用中，Cx与mx可通过样本x1,x2,…xM来估计，即：K-L变换的性质：K-L变换能够充分去除相关性；K-L反变换可以精确重建x；K-L变换是在均方误差最小意义下的最优变换。第60页，共82页，2023年，2月20日，星期四傅里叶变换：DFT是最常用的离散图像变换，特别是在图像处理中可以进行二维数字滤波处理和傅里叶谱分析，因而DFT在图像增强、特征提取分析等方面有着广泛应用。但DFT需要复数运算，较难实时应用。离散余弦变换：DCT是目前应用较广泛的图像变换，特别在图像通信中，是图像压缩方法中较理想的变换。DWT变换计算最简单；K-L变换计算最复杂，但误差最小。DCT变换误差接近K-L变换。

DFT、DCT、DWT和K-L变换比较：第61页，共82页，2023年，2月20日，星期四3.5拉东(Radon)变换

建立在一个半圆柱的表面，

计算图像在某一指定角度射线方向上投影的变换方法。二维函数f(x,y)的投影是其在指定方向上的线积分。是图像重建的基础。拉东空间：半圆柱的表面，半径为1的无穷长圆柱，测量沿圆柱从负无穷到正无穷的长度，测量相对与某个参考位置的旋转角。第62页，共82页，2023年，2月20日，星期四定义：沿任意角度对函数进行投影，即函数f(x,y)的Radon变换为：性质：拉东变换具有线性、平移性、相似性、对称性及微分和卷积计算。第63页，共82页，2023年，2月20日，星期四３.6

小波变换简介３.6.１小波变换概念

小波变换是一种在有限宽度的范围内进行的正交的或非正交的变换。小波变换的基函数是一种不仅在频率上而且在位置上变化的有限的波形函数。应用

小波变换在信号分析、语言合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、CT成象、地震勘探、大气与海洋波的分析和天体力学等方面都已取得具有科学意义的应用价值的重要成果。第64页，共82页，2023年，2月20日，星期四特点：

小波（Wavelet），即小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而“波”则是指它的波动性，其振幅呈正负相间的振荡形式。小波变换同时具有时域性和频域性。

傅里叶变换不能同时进行时间——频率局部分析。小波变换使上述问题迎刃而解。小波分析是通过一个小波基函数的伸缩和平移来产生一组基函数来实现的。第65页，共82页，2023年，2月20日，星期四小波变换适用：小波变换同傅立叶变换一样，也存在一维、二维连续小波变换和离散小波变换。原则上能用傅里叶变换分析的地方均可用小波分析，甚至能获得更好的结果。３.6.２连续小波变换1.一维连续小波变换定义第66页，共82页，2023年，2月20日，星期四第67页，共82页，2023年，2月20日，星期四第68页，共82页，2023年，2月20日，星期四（1）（2）第69页，共82页，2023年，2月20日，星期四（1）函数应有速降特性（衰减性），即在一个很小的区间外，函数为零。（2）函数应有波动性（振荡性），即平均值为零

（3）函数具有带通型，即（4）函数具有能量有限性。可见：小波是一个具有振荡性和迅速衰减的波。小波应满足的条件（特征）：第70页，共82页，2023年，2月20日，星期四2.一维小波变换的基本性质（1）线性小波变换是线性变换，它把一维信号分解成不同尺度的分量。（2）平移和伸缩的共变性连续小波变换在任何平移之下是共变的，若是一对小波变换关系，则第71页，共82页，2023年，2月20日，星期四（3）微分运算第72页，共82页，2023年，2月20日，星期四（4）冗余性：小波基函数不唯一。信号f(x)的小波变换与小波重构不存在一一对应的关系，而傅里叶变换与逆变换存在一一对应关系；小波变换的基函数有多种可能的选择。（5）小波逆变换存在性（重构性）小波变换是一种信息保持型的可逆变换，原来信号的信息完全保留在小波变换系数中。（6）能量比例性在允许条件下，小波变换幅度的平方的积分与信号能量成正比。第73页，共82