2021数学苏教版一轮考点测试10对数与对数函数含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学苏教版一轮考点测试10对数与对数函数含解析考点测试10对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y＝ax(a〉0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a〉0，且a≠1）互为反函数一、基础小题1．计算log29×log34＋2log510＋log50。25＝（)A．0 B．2C．4 D．6答案D解析由对数的运算公式和换底公式可得log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×eq\f（log24,log23）＋log5（102×0.25)＝4＋2＝6。故选D。2．设函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4x－1,x≤0，，log2x，x＞0，))则feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））＝（)A．－1 B．1C．－eq\f（1，2) D．eq\f(\r（2)，2)答案A解析feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）＝log2eq\f(1，2)＝－1，故选A.3．函数f(x)＝lg(x＋1）＋lg（x－1）（)A．是奇函数 B．是偶函数C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数答案C解析函数f（x)的定义域为{x|x〉1｝,定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数,故选C。4．若lg2，lg（2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列,则x的值等于(）A．1 B．0或eq\f（1,8)C．eq\f（1，8） D．log23答案D解析由题意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1）,2(2x＋5)＝（2x＋1)2，(2x）2－9＝0,2x＝3，x＝log23。故选D。5．已知a，b，c分别是方程2x＝－x,log2x＝－x，log2x＝eq\r(x)的实数解，则（）A．b〈c<a B．a〈b〈cC．a<c<b D．c<b〈a答案B解析由2a＝－a〉0，得a〈0，由log2b＝－b〈0，得0〈b<1，由log2c＝eq\r(c)>0，得c>1，综上可知，a<b<c，故选B.6．设m＝log0。30。6,n＝eq\f（1，2)log20.6,则（）A．m－n〉m＋n〉mn B．m－n〉mn>m＋nC．m＋n〉m－n>mn D．mn〉m－n>m＋n答案A解析m＝log0.30。6〉log0.31＝0,n＝eq\f（1,2）log20。6〈eq\f（1，2)log21＝0，mn<0。eq\f（1,m)＋eq\f(1,n）＝log0.60.3＋log0.64＝log0。61.2〈log0.60.6＝1，即eq\f（m＋n，mn)〈1，故m＋n>mn。又（m－n)－(m＋n)＝－2n>0,所以m－n>m＋n。故m－n>m＋n>mn，所以选A.7．已知log23＝a,log37＝b，则log4256＝（)A。eq\f（3＋ab,1＋a＋ab） B．eq\f(3a＋b,a＋a2＋b）C.eq\f(3＋b,1＋a＋b） D．eq\f（1＋a＋ab，3＋ab)答案A解析log4256＝eq\f(log256，log242)＝eq\f(3＋log27,1＋log23＋log27)＝eq\f(3＋log23·log37，1＋log23＋log23·log37）＝eq\f(3＋ab，1＋a＋ab）.故选A。8．已知函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ex－1，x＜2，,log3x2－1，x≥2，))若f(a）≥1，则a的取值范围是()A．［1，2） B．[1，＋∞）C．[2，＋∞) D．（－∞，－2］∪[1，＋∞）答案B解析函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(ex－1，x＜2，，log3x2－1，x≥2，）)若f（a)≥1，可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＜2，,ea－1≥1)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2,,log3a2－1≥1,)）解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜2，,ea－1≥1，)）可得1≤a＜2;解eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a≥2，,log3a2－1≥1，)）可得a≥2.综上a≥1.故选B.9．设x,y，z均为大于1的实数，且log2x＝log3y＝log5z,则x3，y5，z2中最小的是()A．z2 B．y5C．x3 D．三个数相等答案C解析因为x,y，z均为大于1的实数,所以log2x＝log3y＝log5z〉0，不妨设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t〉0，x＝2t,y＝3t，z＝5t，所以x3＝23t＝8t，y5＝35t＝243t，z2＝52t＝25t，又y＝xt在(0，＋∞）上单调递增，故x3最小．故选C.10．计算:9eq\f（1,2）－log95＝________.答案eq\f（3，5)解析9eq\f(1，2）－log95＝9eq\f(1，2)×9－log95＝3×eq\f(1，5）＝eq\f(3，5)。11．已知2x＝72y＝A，且eq\f（1，x）＋eq\f（1,y)＝2，则A的值是________．答案7eq\r（2）解析由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝eq\f（1,2)log7A,则eq\f(1,x)＋eq\f（1，y)＝eq\f(1，log2A）＋eq\f（2，log7A)＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98。又A〉0，故A＝eq\r（98)＝7eq\r(2）.12．已知函数f(x)＝｜log3x｜，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n）,若f（x)在［m2,n]上的最大值为2，则eq\f(n,m)＝________.答案9解析因为f（x)＝|log3x|,正实数m，n满足m〈n，且f(m)＝f(n）,所以－log3m＝log3n，所以mn＝1.因为f(x）在区间［m2，n］上的最大值为2，函数f（x)在[m2，1)上是减函数，在（1，n］上是增函数，所以－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2,得m＝eq\f（1,3)，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意．那么eq\f（n，m)＝3÷eq\f(1,3)＝9.同理．若log3n＝2，得n＝9，则m＝eq\f(1，9）。此时－log3m2＝4〉2，不满足题意．综上可得eq\f（n,m)＝9。二、高考小题13．(2019·天津高考)已知a＝log52,b＝log0.50.2，c＝0。50.2，则a，b，cA．a<c<b B．a〈b〈cC．b〈c〈a D．c<a〈b答案A解析因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52<log5eq\r(5）＝0。5.因为y＝log0.5x是减函数，所以b＝log0.50。2〉log0.50。5＝1.因为y＝0.5x是减函数,所以0.5＝0.51〈c＝0。50.2<0.50＝1，即0.5<c〈1。所以a〈c<b.故选A.14．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5，2)lgeq\f（E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26。7,天狼星的星等是－1。45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010。1 B．10.1C．lg10.1 D．10－10。1答案A解析由题意知，m1＝－26。7，m2＝－1.45,代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝eq\f（5,2)lgeq\f（E1,E2)，所以lgeq\f（E1，E2）＝10。1，所以eq\f(E1,E2)＝1010。1.故选A。15．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x）C．y＝ln（1＋x) D．y＝ln(2＋x）答案B解析函数y＝lnx过定点（1，0）,（1,0）关于直线x＝1对称的点还是(1，0），只有y＝ln(2－x)过此点，故选B。16．(2016·全国卷Ⅰ）若a>b>1，0〈c<1,则(）A．ac〈bc B．abc〈bacC．alogbc<blogac D．logac〈logbc答案C解析解法一：由a>b〉1,0<c<1，知ac>bc，A错误；∵0〈c〈1,∴－1<c－1〈0，∴y＝xc－1在x∈（0,＋∞）上是减函数，∴bc－1>ac－1，又ab〉0，∴ab·bc－1>ab·ac－1，即abc〉bac，B错误；易知y＝logcx是减函数，∴0>logcb>logca,∴logbc<logac，D错误；由logbc<logac〈0,得－logbc〉－logac〉0,又a>b〉1>0，∴－alogbc〉－blogac>0，∴alogbc〈blogac，故选C。解法二：依题意，不妨取a＝10，b＝2，c＝eq\f(1,2）.易验证A，B，D均是错误的，只有C正确．17．（2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f（3)＝1，则a＝________.答案－7解析根据题意，有f(3）＝log2(9＋a）＝1,可得9＋a＝2，所以a＝－7。18．（2016·浙江高考）已知a〉b〉1.若logab＋logba＝eq\f(5，2)，ab＝ba,则a＝________，b＝________.答案42解析令logab＝t，∵a>b〉1，∴0<t〈1，由logab＋logba＝eq\f(5,2)得，t＋eq\f(1，t）＝eq\f（5,2），解得t＝eq\f(1，2)或t＝2（舍去),即logab＝eq\f（1，2），∴b＝eq\r(a),又ab＝ba，∴aeq\r(a)＝(eq\r（a）)a,即aeq\r(a)＝aeq\f(a,2),亦即eq\r(a）＝eq\f(a，2），解得a＝4，∴b＝2.三、模拟小题19．（2020·湖南湘潭高三阶段测试）如果2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，那么eq\f(P，Q）的值为（)A.eq\f(1，4） B．4C．6 D．4或1答案B解析由题意知P〉0，Q>0，P>2Q。由2loga（P－2Q)＝logaP＋logaQ可得loga（P－2Q）2＝loga(PQ），所以(P－2Q)2＝PQ，可化为P2－5PQ＋4Q2＝0，又因为Q〉0,所以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（P，Q）)）2－eq\f（5P，Q）＋4＝0，解得eq\f(P，Q)＝4或eq\f(P,Q）＝1（舍去）．故选B。20．（2019·广州市高三年级调研）已知实数a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝（ln2)2,则a，b，c的大小关系是(）A．c<b<a B．c<a〈bC．b〈a<c D．a<c〈b答案B解析因为ln2＝loge2，所以0<ln2<1,所以c＝(ln2）2<1,而20<2ln2〈21，即1<a〈2，b＝2＋2ln2〉2，所以c<a〈b.故选B。21．（2019·大庆模拟）设函数f(x）＝x3＋log2(x＋eq\r（x2＋1))，则对任意实数a，b,若a＋b≥0，则（）A．f(a)＋f（b）≤0 B．f（a)＋f（b)≥0C．f(a）－f（b）≤0 D．f(a)－f(b)≥0答案B解析设f(x）＝x3＋log2（x＋eq\r(x2＋1)），其定义域为R，f（－x)＝－x3＋log2（－x＋eq\r（x2＋1))＝－x3－log2(x＋eq\r（x2＋1）)＝－f（x），所以f(x）是奇函数，且在[0，＋∞）上单调递增，故f（x）在R上单调递增，那么a＋b≥0，即a≥－b时,f（a)≥f（－b)，得f(a)≥－f(b)，可得f（a)＋f（b)≥0。故选B。22．（2019·安庆二模）若函数f(x）＝logax(a＞0且a≠1)的定义域与值域都是［m，n]（m〈n),则a的取值范围是（）A．(1，＋∞） B．（e，＋∞)C．(1，e） D．答案D解析函数f(x）＝logax的定义域与值域相同等价于方程logax＝x有两个不同的实数解．因为logax＝x⇔eq\f（lnx,lna）＝x⇔lna＝eq\f(lnx,x)，所以问题等价于直线y＝lna与函数y＝eq\f(lnx，x）的图象有两个交点．作函数y＝eq\f(lnx,x）的图象，如图所示．根据图象可知,当0＜lna＜eq\f（1，e）时，即1＜a＜eeq\f（1，e)时，直线y＝lna与函数y＝eq\f(lnx,x）的图象有两个交点．故选D。23．（2019·陕西咸阳高三联考）已知函数f（x）＝x·lneq\f(1＋x,1－x)，a＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,π）))，b＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))，c＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，4)）)，则以下关系成立的是(）A．c<a<b B．c〈b<aC．a<b〈c D．a〈c<b答案A解析因为f（x)＝x·lneq\f(1＋x，1－x)＝x[ln(1＋x）－ln(1－x）]，所以f(－x)＝(－x）［ln（1－x)－ln(1＋x)]＝x［ln(1＋x)－ln(1－x）］＝f(x)，所以f（x)为偶函数，所以a＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1,π)）)＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，π）））.当0〈x<1时，易知f(x)为增函数．又0〈eq\f(1，4）<eq\f(1,π）〈eq\f（1，e)<1,所以feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,4）））<feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,π）)）〈feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，e))），即c<a<b，故选A.24．（2019·山东省烟台市高三（上)期末)已知函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（|log2x－1|,0＜x≤4，,3－\r（x），x＞4，））设a，b，c是三个不相等的实数，且满足f(a）＝f（b)＝f（c）,则abc的取值范围为________．答案(16,36）解析作出函数f（x）的图象如图所示．当x＞4时，由f（x)＝3－eq\r（x)＝0,得eq\r(x)＝3,得x＝9，若a,b,c互不相等,不妨设a＜b＜c,因为f(a)＝f(b)＝f（c），所以由图象可知0＜a＜2＜b＜4,4＜c＜9，由f（a)＝f（b)，得1－log2a＝log2b－1，即log2a＋log2b＝2，即log2(ab）＝2，则ab＝4，所以abc＝4c,因为4＜c＜9，所以16＜4c＜36，即16＜abc＜36，所以abc的取值范围是(16,36)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2020·湖北黄冈摸底)设f（x）＝loga（1＋x）＋loga(3－x)(a>0,a≠1),且f（1)＝2。(1)求a的值及f（x)的定义域；（2)求f(x）在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3，2)）)上的最大值．解(1）∵f(1)＝2,∴loga4＝2(a〉0,a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1＋x>0，,3－x〉0，))得－1〈x<3，∴函数f（x）的定义域为（－1,3）．（2）f(x)＝log2（1＋x)＋log2(3－x)＝log2[（1＋x)(3－x)］＝log2［－（x－1)2＋4］,∴当x∈[0，1]时,f(x）是增函数；当x∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(1,\f（3，2）））时，f(x）是减函数，故函数f（x)在eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2）))上的最大值是f(1）＝2.2．(2019·福建漳州模拟）已知函数f(x）＝－x＋log2eq\f(1－x，1＋x）。(1）求feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2019)))＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2019）)）的值；（2)当x∈(－a，a］,其中a∈（0,1)，a是常数时，函数f（x）是否存在最小值?若存在，求出f（x）的最小值；若不存在,请说明理由．解（1)∵f（x）＋f(－x)＝log2eq\f(1－x，1＋x）＋log2eq\f（1＋x,1－x）＝log21＝0,∴feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2019))）＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2019）))＝0.（2）函数f(x)存在最小值．f(x）的定义域为(－1,1），∵f(x）＝－x＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f（2，x＋1））),当x∈(－1，1)时,f(x）为减函数，∴当a∈(0,1),x∈(－a，a]时,f(x)单调递减．∴当x＝a时,f(x）min＝－a＋log2eq\f（1－a，1＋a)。3．(2019·渭南模拟）已知函数f（x)＝lneq\f(x＋1,x－1）.(1)求函数f(x）的定义域，并判断函数f(x）的奇偶性；(2)对于x∈［2，6]，f（x）＝lneq\f(x＋1,x－1)〉lneq\f(m，x－17－x)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)由eq\f(x＋1，x－1）>0，解得x<－1或x>1,∴函数f（x)的定义域为（－∞,－1)∪(1，＋∞），当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时,f(－x）＝lneq\f(－x＋1,－x－1）＝lneq\f(x－1，x＋1)＝lneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x＋1,x－1)）)－1＝－lneq\f（x＋1,x－1)＝－f(x）．∴f(x）＝lneq\f（x＋1,x－1）是奇函数．（2）由于x∈[2,6］时，f(x）＝lneq\f（x＋1，x－1)〉lneq\f（m,x－17－x)恒成立，∴eq\f(x＋1，x－1）〉eq\f(m，x－17－x)>0恒成