广东省高二下学期3月月考数学试题（解析版）

第19页/共19页第二学期3月月考高二数学试题试卷分数：150分考试时间：120分钟一､单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分，共40分）1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算即可.【详解】∵，∴.故选：A．2.二项式的展开式的常数项为60，则的值为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项，由常数项为60，列方程可求出的值【详解】，令，所以.令，解得，故选：C.3.已知函数，则（）A.0 B.1 C.e D.2【答案】D【解析】【分析】对求导后，将代入即可求解.【详解】因为，所以，所以，故选：D4.已知为等比数列,,,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.【详解】或.由等比数列性质可知或故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.5.“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】利用“”“”，即可判断出结论.【详解】解：“”“”，“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法，属于基础题.6.已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到直线与直线和直线分别平行时或直线过直线和直线的交点时，三条直线不能构成三角形，再分别计算相应的值即可.【详解】由题知：①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.即.②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.即.③当直线过直线与直线交点时，三条直线不能构成三角形.所以，解得将代入，解得.所以实数的取值集合为.故选：D【点睛】本题主要考查直线间的位置关系，属于简单题.7.已知多项选择题的四个选项、、、中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型概率公式求解.【详解】由题得从4个选项里选两个选项，共有种方法，从3个正确选项里选择两个选项，共有种方法.由古典概型的概率公式得所求的概率为.故选：A【点睛】方法点睛：利用古典概型的概率公式求解，先要求出基本事件的总数，再求出事件A的基本事件的数量，再利用古典概型的概率公式求解.8.若一个三棱锥的底面是斜边长为的等腰直角三角形，三条侧棱长均为，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据侧棱相等的三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的外心，而球心在过底面三角形外心且与底面垂直的直线上，构造三角形借助勾股定理可解.【详解】三条侧棱棱长相等，∴P在底面的射影D是的外心，又∵是斜边为BC的等腰直角三角形，∴D是BC中点，易知直线PD上的点到A、B、C的距离相等，故三棱锥外接球的球心O在直线PD上，记球的半径为R，则直角三角形BOD中有，，故外接球表面积为.故选：D二､多项选择题（本题共4小题，共20分.每题的四个选项中，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知数列的前n项和为，，则（）A.是等差数列B.不是等差数列C.若是递增数列，则a的取值范围是D.若是递增数列，则a的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】利用等差数列的前n项和为一元二次函数且没有常数项，可判断不是等差数列;利用是递增数列对于恒成立，可解出的取值范围.【详解】对于AB:等差数列的前n项和为对应的函数为为一元二次函数且没有常数项,因为，有常数项.所以不是等差数列.故B正确.对于CD:因为，所以.若是递增数列，则则.故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查等差数列前n项和公式性质与递增数列的性质.属于基础题.10.点在圆上，点在圆上，则（）A.的最小值为3 B.的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为 D.两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】ABC【解析】【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.【详解】圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径∴圆心距又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为．故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故答案：ABC11.设函数，已知在上有且仅有1个极大值点，则下列四个结论中正确的有（）A.在内有5个零点 B.在有2个极小值点C.在上单调递增 D.可以取【答案】BD【解析】【分析】根据函数求出函数的周期为，再结合在上有且仅有1个极大值点画出函数图象，由图象可判断ABC，求得的值及相关性质可判断D.【详解】因为函数的最小正周期，又因为在上有且仅有1个极大值点，所以函数的图象如图所示.所以在内有4个零点，在有2个极小值点，在上单调递减，由解得，.所以BD正确，AC错误.故选：BD.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质的综合应用，关键点是画出函数的图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.12.，若，则下列结论正确的有（）A. B.C.二项式系数的和为 D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二项式定理求出的值，可判断A选项；利用赋值法可判断BD选项；利用二项式系数和可判断C选项.【详解】对于A选项，，可得，A对，对于B选项，因为，所以，，B错；对于C选项，二项式系数的和为，C对；对于D选项，，D对.故选：ACD.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：________.【答案】【解析】【分析】直接根据组合数和排列数公式计算可得；【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查组合数、排列数的计算，属于基础题.14.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.15.设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是______.【答案】（0，1]∪[9，+∞）【解析】【分析】分焦点在轴上两种情况进行讨论,再根据临界条件点在椭圆的短轴端点上,进而求解的临界值,进而求得取值范围即可.【详解】假设椭圆的焦点在x轴上,则0＜m＜3时,假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：0＜m≤1；当椭圆的焦点在y轴上时,m＞3,假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：m≥9,∴m的取值范围是（0,1]∪[9,+∞）故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆中的范围问题,主要是临界条件的分析方法,属于中档题.16.若直角坐标平面内两点满足点都在函数的图像上，且点关于原点对称，则称是函数一个“姊妹点对”（与可看作同一“姊妹点对”）.已知则的“姊妹点对”有_______个.【答案】2.【解析】【分析】根据题意可知，只需作出函数y=x2+2x（x<0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可．【详解】根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可.如图所示：当时，观察图象可得：它们有2个交点.故答案为：2.【点睛】本题考查函数的新定义问题，根据已知条件将问题转化为零点个数问题，利用数形结合画出图像即可求解，属于中等题.四､解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据等差数列的公差为,得到,,再根据,,成等比数列,由等比中项公式得出首项,代入通项公式即可得通项.（2）由（1）得,数列,是等差加等比的形式,所以数列求和用分组求和即可..【详解】解：（1）∵的公差为,∴,.∵,,成等比数列,∴,解得,从而.（2）由（1）得,.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和分组求和,是数列中最基本的运算,属于基础题.18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.19.在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作辅助线，证明，，即证明平面PAC，根据线面垂直的性质及可证明结论；（2）取CD中点为点F，连接AF，PF,证明平面PAF，从而说明是二面角的平面角．解直角三角形APF,即可求得答案.【小问1详解】证明：连接AC交于BD点O,因为底面ABCD是菱形，所以．又因为平面ABCD，平面ABCD，，又因为，所以平面PAC，平面PAC，所以．【小问2详解】取CD中点为点F，连接AF，PF,因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，所以．因平面ABCD，平面ABCD，所以，而，所以平面PAF，平面PAF，所以，所以是二面角的平面角．因为，则,因为，所以，所以,所以二面角的正弦值为．20.2020年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得当地果农积压的许多苹果有了销路．为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据按照，，，分成4组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计这100名果农苹果销售量的平均数；（2）根据题中的频率分布直方图，估计销售量样本数据的80%分位数（结果精确到0.1）；（3）假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润．【答案】（1）平均数为1.4万千克；（2）156.7；（3）62万元.【解析】【分析】（1）平均数为长方形面积与各组中点的乘积再求和；（2）前三个长方形面积之和为0.7，小于0.8，那么在第四个长方形中取面积为0.1的长方形即可，且80%分位数为；（3）算出每组每位果农获得的利润，然后求出总利润.【详解】解：（1）设这100名果农苹果销售量的平均数为百千克，则，故这100名果农苹果销售量的平均数为1.4万千克．（2）因为，，所以80%分位数在第4组内，且80%分位数为．（3）销售量在的每位果农的利润为万元；销售量在的每位果农的利润为万元；销售量在的每位果农的利润为万元；销售量在的每位果农的利润为万元．因为，，，这4组的人数分别为5，20，45，30，所以这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润约为万元．21.已知椭圆的离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数m，使直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意得出关系，求出即可得出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用判别式得出，得出中点关系，根据中点在圆上求出即可判断.【详解】解：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为．（2）设，，线段AB的中点为．联立直线与椭圆的方程得即，所以，即，且，，即，又因为M点在圆上，所以，解得，与矛盾，故实数m不存在．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求的值及的极值；（2）是否存在区间，使函数在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值.【答案】（1），在处取得极大值1，无极小值；（2）存在符合条件的区间，实数的取值范围为；（3）整数的最大值为3．【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算的值，求出的值，从而求出的解析式，求出函数的单调区间，得到函数的极值即可；（2）画出函数的图象，结合图象求出的范围即可；（3）问题可化为，令，，根据函数的单调性求出的最大值即可．【详解】（1）由，得．因为在点，（e）处的切线与直线垂直，所以，解得，所以，令，得．因为当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处