微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1微分中值定理1．填空题（１）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是SKIPIF1<0．（２）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有3个实根，分别位于区间SKIPIF1<0中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，在SKIPIF1<0内可导，且SKIPIF1<0，是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内至少存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立的（B）．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件（２）下列函数在SKIPIF1<0上满足罗尔定理条件的是（C）．A.SKIPIF1<0B.

SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0

D.SKIPIF1<0（３）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内可导，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内任意两点，则至少存在一点SKIPIF1<0，使下式成立（B）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．证明恒等式：SKIPIF1<0．证明：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为一常数．设SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．4．若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内具有二阶导数，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0，证明:在SKIPIF1<0内至少有一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．证明：由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续,在SKIPIF1<0可导,且SKIPIF1<0，根据罗尔定理知，存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．同理存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上符合罗尔定理的条件，故有SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．5．证明方程SKIPIF1<0有且仅有一个实根．证明：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据零点存在定理至少存在一个SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．另一方面，假设有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，根据罗尔定理，存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾．故方程SKIPIF1<0只有一个实根．6．设函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是介于SKIPIF1<0之间的一个实数．证明：存在SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0成立.证明：由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内可导，从而SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0内连续，在开区间SKIPIF1<0内可导．又因为SKIPIF1<0，根据零点存在定理，必存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．同理，存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足罗尔定理的条件，故存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立．7.设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续,在SKIPIF1<0内可导.试证:至少存在一点SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0证明：只需令SKIPIF1<0，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．证明：设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上满足拉格朗日中值定理的条件，且SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)因此，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（２）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．证明：设SKIPIF1<0，则函数在区间SKIPIF1<0上满足拉格朗日中值定理得条件，有SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．§3.1洛毕达法则1．填空题（１）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（２）SKIPIF1<00（３）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（４）SKIPIF1<01２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（B）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0

SKIPIF1<0C．

SKIPIF1<0不存在D．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（C）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．

SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<03．求下列极限（１）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．（２）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．（３）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．（４）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．（５）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（６）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0（７）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0．（８）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．（９）SKIPIF1<0．解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=1．§3.3泰勒公式１．按SKIPIF1<0的幂展开多项式SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．由泰勒公式得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．2．求函数SKIPIF1<0的带有佩亚诺型余项的SKIPIF1<0阶麦克劳林公式．解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．3．求一个二次多项式SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为所求．4．利用泰勒公式求极限SKIPIF1<0．解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．5．设SKIPIF1<0有三阶导数,且SKIPIF1<0,证明在SKIPIF1<0内存在一点SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0．证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由麦克劳林公式得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0介于0与SKIPIF1<0之间），因此SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数SKIPIF1<0的单调增加区间是SKIPIF1<0，单调减少区间SKIPIF1<0．（２）若函数SKIPIF1<0二阶导数存在，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调增加．（３）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调增加，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（４）若点（1，3)为曲线SKIPIF1<0的拐点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，曲线的凹区间为SKIPIF1<0，凸区间为SKIPIF1<0．2．单项选择题（１）下列函数中，（A）在指定区间内是单调减少的函数.A.SKIPIF1<0SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0SKIPIF1<0（２）设SKIPIF1<0，则在区间SKIPIF1<0内（B）．A.SKIPIF1<0单调增加，曲线SKIPIF1<0为凹的B.SKIPIF1<0

单调减少，曲线SKIPIF1<0为凹的

C.

SKIPIF1<0单调减少，曲线SKIPIF1<0为凸的Ｄ．SKIPIF1<0单调增加，曲线SKIPIF1<0为凸的（３）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内可导,且SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则(D)A.任意SKIPIF1<0B.任意SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0单调增D.SKIPIF1<0单调增（４）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是（B）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02．求下列函数的单调区间（１）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,所以函数在区间SKIPIF1<0为单调增加；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数在区间SKIPIF1<0为单调减少．（２）SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,所以函数在区间SKIPIF1<0为单调增加；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数在区间SKIPIF1<0为单调减少．（３）SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，故函数在SKIPIF1<0单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,成立不等式SKIPIF1<0．证明：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调增加.于是,由SKIPIF1<0,就有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0（２）当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0．证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,当SKIPIF1<0时,有SKIPIF1<0.故当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0．（３）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．证明：设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,从而当SKIPIF1<0时,有SKIPIF1<0.因此当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．4．讨论方程SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为常数)在SKIPIF1<0内有几个实根．解：设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续,且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内的唯一驻点．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调减少，在SKIPIF1<0上单调增加．故SKIPIF1<0为极小值，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0,最小值是SKIPIF1<0．（１）当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,方程在SKIPIF1<0内无实根；（２）当SKIPIF1<0时,有两个实根；（３）当SKIPIF1<0时，有唯一实根．5．试确定曲线SKIPIF1<0中的a、b、c、d，使得SKIPIF1<0处曲线有水平切线，SKIPIF1<0为拐点，且点SKIPIF1<0在曲线上．解：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0不存在．当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0．故曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是凸的,在区间和SKIPIF1<0上是凹的，曲线的拐点为SKIPIF1<0．（２）SKIPIF1<0拐点及凹或凸的区间解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不存在；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．故曲线在SKIPIF1<0上是凸的,在SKIPIF1<0上是凹的，SKIPIF1<0是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0证明：令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故函数SKIPIF1<0的图形在SKIPIF1<0上是凸的,从而曲线SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的上方，又SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．§3.5函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数SKIPIF1<0取极小值的点是SKIPIF1<0．（２）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0．2．选择题（１）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有二阶导数，SKIPIF1<0，问SKIPIF1<0还要满足以下哪个条件，则SKIPIF1<0必是SKIPIF1<0的最大值？（C）A．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的唯一驻点B．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恒为负D．SKIPIF1<0不为零（２）已知SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（B）A.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极大值B.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极小值C.SKIPIF1<0为拐点D.SKIPIF1<0不是极值点,SKIPIF1<0不是拐点（３）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0至少二阶可导,且SKIPIF1<0,则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处(Ａ)A．取得极大值B．取得极小值C．无极值D．不一定有极值3．求下列函数的极值（１）SKIPIF1<0．解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0点取得极小值．（２）SKIPIF1<0．解：定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得驻点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0为极大值．4．求SKIPIF1<0的在SKIPIF1<0上的最大值与最小值．解：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0,所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为SKIPIF1<0的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积SKIPIF1<0最大．解：设圆锥体的高为SKIPIF1<0,底半径为SKIPIF1<0,故圆锥体的体积为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在SKIPIF1<0的内部取得.现在SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内只有一个根,故当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,内接锥体体积的最大．6.工厂SKIPIF1<0与铁路线的垂直距离SKIPIF1<0为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0点到火车站SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.欲修一条从工厂到铁路的公路SKIPIF1<0,已知铁路与公路每公里运费之比为SKIPIF1<0，为了使火车站SKIPIF1<0与工厂SKIPIF1<0间的运费最省,问SKIPIF1<0点应选在何处？解:设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的运费为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0是某一正数．由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中以SKIPIF1<0为最小,因此当AD=SKIPIF1<0km时,总运费为最省．7．宽为SKIPIF1<0的运河垂直地流向宽为SKIPIF1<0的运河.设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解：问题转化为求过点SKIPIF1<0的线段SKIPIF1<0的最大值.设木料的长度为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，木料与河岸的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0，故木料最长为SKIPIF1<0．§3.6函数图形的描绘１．求SKIPIF1<0的渐近线.解：由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的铅直渐近线．因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的斜渐近线．2．作函数SKIPIF1<0的图形。解：函数的定义域为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．列表讨论如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－－－－SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0拐点SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0是曲线的斜渐近线．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是曲线的铅垂渐近线．当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0．综合上述讨论，作出函数的图形如下223－2-1SKIPIF1<0§3.7曲率1．填空题:（１）曲线SKIPIF1<0上任一点的曲率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上任一点的曲率为__0__．（２）SKIPIF1<0曲线在其顶点处曲率为___2____，曲率半径为SKIPIF1<0．（３）曲线SKIPIF1<0的弧微分SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．求常数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处与曲线SKIPIF1<0相切，且有相同的凹向与曲率．解：由题设可知函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处由相同的函数值，一阶导数值，二阶导数值，故SKIPIF1<0．3．曲线弧SKIPIF1<0上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径．解：SKIPIF1<0,曲线在一点处的曲率为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增加,因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的曲率半径最小,其曲率半径为SKIPIF1<0．4．求椭圆SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点处的曲率及曲率半径．解：SKIPIF1<0因此曲率SKIPIF1<0，曲率半径SKIPIF1<0．§3.7方程的近似解1.试证明方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有唯一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01.证明:令SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，且SKIPIF1<0,故方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有唯一的实根．求近似值的过程略．第三章综合练习题1．填空题（１）SKIPIF1<00．（２）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调减少，在区间SKIPIF1<0内单调增加．（３）曲线SKIPIF1<0的渐近线是SKIPIF1<0．（４）SKIPIF1<01．2．求下列极限（１）SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．（２）SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．3．求证当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．证明：令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调增．当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．4．设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上可导且SKIPIF1<0，证明：存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0.证明：设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．由拉格朗日中值定理知,存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1