山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）一元二次方程4+2x2-5x=0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A.4，2，5 B.4，2，−5 C.2.−5，4 D.2，4，−5如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）

A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A.DEBC=12

B.AEEC=13

C.ADEC=12

D.ADAB=13

如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①某次实验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC的度数是（）

A.22.5∘ B.30∘ C.45∘ D.67.5∘若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>−1 B.k>−1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是(

)

A.(4,5)

B.(5,4)

C.(4,4)

D.(5,3)

如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）

A.5 B.4 C.342 D.34二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）若ab=cd=3（b+d≠0），则a+cb+d=______．若一元二次方程ax2-bx-2018=0有一个根为x=-1，则a+b=______．甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a+b=9的概率为______．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么BCCE的值等于______．

如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120”，则花坛对角线AC的长等于______．

已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为______．

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）解方程：

（1）2x=x（x-1）；

（2）（y+2）2=（2y+1）2．

小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的4个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：

（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？

（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．

四、解答题（本大题共8小题，共62.0分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：线段a和∠α．

求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．

在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，求这个两位数能被3整除的概率．

在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用14m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边）．若花园的面积为48m2，求AB的长度为多少？

如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．

（1）求证：▱ABCD是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．

如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．

（1）求证：△AGE≌△BGF；

（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．

东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？

材料阅读：

如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．

解决问题：

（1）图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点（无需写解答过程）；

（3）如图③所示的矩形ABCD，将矩形ABCD沿CM折叠后，点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究点E的位置．

如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q．F，当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）

（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）求菱形ABCD的面积；

（2）当t=1时，求QF长；

（3）是否存在某一时刻t，使四边形APFD是平行四边形？若存在，求出t值，若不存在，请说明理由；

（4）设△DEF的面积为s（cm2），试用含t的代数式表示S，并求t为何值时，△DEF的面积与△BPC的面积相等．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：方程整理得：2x2-5x+4=0，

则二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为4，

故选：C．

方程整理为一般形式，找出所求即可．

此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．2.【答案】C

【解析】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．

B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．

C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．

D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．

故选：C．

根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．

本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．3.【答案】D

【解析】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵BD=2AD，

∴，

则，

∴A，B，C选项错误，D选项正确，

故选：D．

根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．4.【答案】A

【解析】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，故①正确；

随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，

若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，

故选：A．

根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．

本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．5.【答案】A

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，

∴∠E+∠FAC=∠ACB=45°，

∵CE=CA，

∴∠E=∠FAC，

∴∠FAC=∠ACB=22.5°．

故选：A．

由四边形ABCD是正方形，∠ACB=45°，然后由CE=CA，可得∠E=∠FAC，继而由三角形外角的性质，求得答案．

此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．注意证得∠E=∠DAC=∠ACB是解此题的关键．6.【答案】B

【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

∴，即，

解得k＞-1且k≠0．

故选：B．

根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．7.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．

【解答】

解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，

∴AB=CD=5，AO=3，

∵

∴DO=4，

∴点C的坐标是：（5，4）．

故选B．8.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，

∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，

∴OM是△ADC的中位线，

∵OM=3，

∴DC=6，

∵AD=BC=10，

∴AC==2，

∴BO=AC=，

故选：D．

已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．

本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．9.【答案】3

【解析】解：∵==3，

∴a=3b，c=3d，

∴===3．

故答案为3．

根据比例的等比性质代入即可得解．

本题主要考查了比例的等比性质，若a：b=c：d=…=m：n，则（a+c+…+m）：（b+d+…+n）=m：n（注意分母的和不为0），难度适中．10.【答案】2018

【解析】解：把x=-1代入方程有：

a+b-2018=0，

即a+b=2018．

故答案是：2018．

把x=-1代入方程，整理即可求出a+b的值．

本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值．11.【答案】19

【解析】解：甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果是：

满足a+b=9的有4种可能，

∴a+b=9的概率为=，

故答案为．

利用列表法即可解决问题．

本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12.【答案】35

【解析】解：∵AG=2，GD=1，

∴AD=3，

∵AB∥CD∥EF，

∴=，

故答案为：．

首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．

该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．13.【答案】63米

【解析】解：∵菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=60°，

∴AC⊥BD，AC=2OA，∠BAD=∠BCD=60°，AD=6米，

∴∠DAC=∠DAB=30°

∴OA=AD•cos30°=6×=3米，

∴AC=2OA=6米．

故答案为：6米．

由菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120°，可证△ABD是等边三角形，求出OA即可解决问题；

此题考查了菱形的性质以及三角函数的性质．注意根据菱形的对角线互相垂直且平分求解是解此题的关键．．14.【答案】52

【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，

在△ABE和△DAF中，

∵，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠ABE+∠BEA=90°，

∴∠DAF+∠BEA=90°，

∴∠AGE=∠BGF=90°，

∵点H为BF的中点，

∴GH=BF，

∵BC=4、CF=CD-DF=4-1=3，

∴BF==5，

∴GH=BF=，

故答案为：．

根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．15.【答案】解：（1）2x-x（x-1）=0，

x（2-x+1）=0，

x=0或2-x+1=0，

所以x1=0，x2=2+1；

（2）y+2=±（2y+1）

所以y1=1，x2=-1．

【解析】

（1）先移项得到x-x（x-1）=0，然后利用因式分解法解方程；

（2）两边开方得到y+2=±（2y+1），然后解两个一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．16.【答案】解：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率=24=12；

（2）该游戏公平．理由如下：

画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次的数字都是奇数的结果数为4，所以小王胜的概率=416=14；

两次的数字都是偶数的结果数为4，所以小张胜的概率=416=14，

因为小王胜的概率与小张胜的概率相等，

所以该游戏公平．

【解析】

（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次的数字都是奇数的结果数得到小王胜的概率；找出两次的数字都是偶数的结果数得到小张胜的概率，然后比较两概率的大小可判断该游戏是否公平．

本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．17.【答案】解：如图菱形ABCD即为所求．

【解析】

①作∠MAB=∠α．

②在∠MAN的两边截取AD=AB=a，

③分别以D、B为圆心a为半径画弧，两弧交于点C．

菱形ABCD即为所求．

本题考查作图-复杂作图、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．18.【答案】解：如图所示：

共有6种情况，能被3整除的有12，21两种．

因此这个两位数能被3整除的概率为26=13．

【解析】

利用树状图法列举出所有可能，看是否能被3整除．找出满足条件的数的个数除以总的个数即可．

本题考查了树状图法求概率以及概率公式，注意能被3整除即两位数加起来和为3的倍数．19.【答案】解：设AB的长为xm，则BC的长为（14-x）m，

依题意得：x（14-x）=48，

解得x1=6，x2=8，

答：AB的长度为6m或8m．

【解析】

根据题意得出长×宽=48列出方程，进一步解方程得出答案即可．

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC，

∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．

理由：∵四边形ABCD是矩形，

又∵AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形．

或∵四边形ABCD是矩形，

又∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是正方形．

【解析】

（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；

（2）根据正方形的判定方法添加即可．

本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEG=∠BFG，

∵EF垂直平分AB，

∴AG=BG，

在△AGE和△BGF中，∠AEG=∠BFG∠AGE=∠BGFAG=BG，

∴△AGE≌△BGF（AAS）；

（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：

∵△AGE≌△BGF，

∴AE=BF，

∵AD∥BC，

∴四边形AFBE是平行四边形，

又∵EF⊥AB，

∴四边形AFBE是菱形．

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；

（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．

本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）（16-10）÷2+1=4（档次）．

答：此批次蛋糕属第4档次产品．

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，

根据题意得：（2x+8）×（76+4-4x）=1080，

整理得：x2-16x+55=0，

解得：x1=5，x2=11（不合题意，舍去）．

答：该烘焙店生产的是五档次的产品．

【解析】

（1）根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为16元的蛋糕属第几档次产品；

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．23.【答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由是：

∵∠A=40°，

∴∠ADE+∠DEA=140°，

∵∠DEC=40°，

∴∠BEC+∠DEA=140°，

∴∠ADE=∠BEC，

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；

（2）作图如下：

（3）若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

则△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

由折叠得：∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=13∠BCD=30°，

∴BE=12CE=12AB，

即E为AB的中点．

【解析】

（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．

（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．

（3）因为点E是梯形ABCM的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．

本题是相似三角形综合题，主要考查