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第三节协方差与相关系数演示文稿现在是1页\一共有15页\编辑于星期五（优选）第三节协方差与相关系数现在是2页\一共有15页\编辑于星期五显然，若X与Y相互独立则：Cov(X,Y)=03.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得：证明：注：4.随机变量和的方差与协方差的关系现在是3页\一共有15页\编辑于星期五

若X1,X2,…,Xn两两独立，上式化为：协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数的概念。.问题：例如：现在是4页\一共有15页\编辑于星期五称为随机变量二.相关系数1.定义2.量(无量纲)X,Y的相关系数，记为：即：2.相关系数的简单性质存在常数使得：X和Y以概率1线性相关现在是5页\一共有15页\编辑于星期五由方差的性质和协方差的定义知，对任意实数令，则上式为：证明：有：由于方差D(Y)是正的，故必有：所以证得：现在是6页\一共有15页\编辑于星期五由方差与协方差协关系有：因此有：证明：存在常数使得：与是标准化随机变量，故其均值为0，方差为1现在是7页\一共有15页\编辑于星期五由方差的性质，可知:整理得：当时有:为常数其中：现在是8页\一共有15页\编辑于星期五同理，当时也可推出此结论。因此得证。又所以：现在是9页\一共有15页\编辑于星期五于是得：所以：即：注：X和Y独立时，

但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0，故但并不一定能推出X和Y独立。现在是10页\一共有15页\编辑于星期五例1.设在上服从均匀分布，即：验证：与是不相关的，但不是相互独立的。证明：由已知，X,Y的边缘概率密度为:与现在是11页\一共有15页\编辑于星期五又因为：显然，所以：与是不独立的所以：从而有：于是得：故得：是不相关的。奇函数在对称区间上的积分为0现在是12页\一共有15页\编辑于星期五当时，称X与Y不相关。一般：故有：若X与Y相互独立，则X与Y不相关；但反之不真。但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独立X与Y不相关1.2.注:相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.若考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差来衡量以

a+bX近似表示Y的好坏程度。现在是13页\一共有15页\编辑于星期五则：e

值越小表示a+bX

与Y的近似程度越好.

现用微积分中求极值的方法，求出使e

达到最小时的a，b

：e=E{[Y-(a+bX)]2}

=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)令：现在是14页\一共有15页\编辑于星期五解得：这样求出的最佳逼近为：L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是：则Y与X有严格线性关系;可见：则Y与X无线性关系;的值越接

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