平面向量的概念及线性运算-练习题

平面向量的概念及线性运算1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0 B．a＝bC．a与b反向共线 D．存在正实数λ，使得a＝λb解析：选D由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使得a＝λb，故选D.2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A．|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|一定成立 B．eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))一定成立C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))一定成立 D．eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))一定成立解析：选A在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))一定成立，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))一定成立，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))一定成立，但|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|不一定成立．故选A.4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC中，点D在边AB上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))，设eq\o(CB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，则eq\o(CD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：选B∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，故选B.5.(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是()①eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－b；③eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋b.A．①② B．③④C．①③ D．②④解析：选C①根据向量的加法法则，得eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，故①正确；②根据向量的减法法则，得eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，故②错误；③eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－2b＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，故③正确；④eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋QR→＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，故④错误，故选C.6．(2019·嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选A由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0得，eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(2,9) D.eq\f(9,2)解析：选D∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故选D.8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，则四边形ABCD一定是()A．矩形 B．梯形C．平行四边形 D．菱形解析：选B∵2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，∴2(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OD,\s\up7(→)))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))，即2eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，∴DA∥CB，且2|eq\o(DA,\s\up7(→))|＝|eq\o(CB,\s\up7(→))|，∴四边形ABCD一定是梯形．故选B.9．(2019·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CD,\s\up7(→))，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))解析：选B法一：设eq\o(AD,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，由eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CD,\s\up7(→))可得，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CA,\s\up7(→))－4eq\o(AD,\s\up7(→))，即－eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))＝－4xeq\o(AB,\s\up7(→))－4yeq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＝－1，,－4y＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(3,4)，))即eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，故选B.法二：在△ABC中，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CD,\s\up7(→))，即－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,4)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，故选B.10.(2019·曲阜模拟)如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，则实数m的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,9)C．1 D．3解析：选B因为eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up7(→))，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝4eq\o(AN,\s\up7(→)).所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AN,\s\up7(→))，因为B，P，N共线，所以m＋eq\f(8,9)＝1，m＝eq\f(1,9).11．(2019·河南三市联考)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(λ＋1)eq\o(BP,\s\up7(→))，则λ＝________.解析：由eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up7(→))可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(BP,\s\up7(→))，所以λ＋1＝－eq\f(3,2)，解得λ＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)12．(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(DB,\s\up7(→))，则λμ＝________.解析：∵eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－2eq\o(BM,\s\up7(→))＝3eq\o(AB,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋3μeq\o(AB,\s\up7(→))－2μeq\o(AM,\s\up7(→))，∴(1－3μ)eq\o(AB,\s\up7(→))＝(λ－2μ)eq\o(AM,\s\up7(→))，∵eq\o(AB,\s\up7(→))和eq\o(AM,\s\up7(→))是不共线向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3μ＝0，,λ－2μ＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,3)，,λ＝\f(2,3)，))∴λμ＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)13．(2019·盐城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＋λeq\o(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)14．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)，即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))15．已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,