初中数学：切线长定理练习题

初中数学：切线长定理练习题一、选择题1．如图K－27－1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，与PA，PB分别交于C，D两点，则△PCD的周长是()图K－27－1A．10B．18C．20D．222．如图K－27－2，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，则AF的长为()图K－27－2A．5B．10C．7.5D．43．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB的长为()A．4B．4eq\r(2)C．4eq\r(3)D．2eq\r(3)4．如图K－27－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是()图K－27－3A．∠1＝∠2B．PA＝PBC．AB⊥OPD．PA2＝PC·PO5．如图K－27－4，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S△AOD∶S△BOC＝AD2∶AO2；④OD∶OC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有()图K－27－4A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题6．如图K－27－5，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．图K－27－57．如图K－27－6所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC长为8，BC长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．图K－27－68．如图K－27－7，P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.图K－27－79．如图K－27－8所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15cm，则△PEF的周长是________cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.图K－27－810．如图K－27－9所示，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．图K－27－9三、解答题11．如图K－27－10，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.图K－27－1012．如图K－27－11，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径.图K－27－1113．如图K－27－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为eq\r(3).求：(1)BF＋CE；(2)△ABC的周长．图K－27－1214．如图K－27－13，AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为eq\r(5)，AD＝2.(1)求BC的长；(2)延长AE交BC的延长线于点G，求EG的长．图K－27－13探究存在题如图K－27－14，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E.(1)求证：EB＝EC＝ED.(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，求出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．图K－27－14

详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]C∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC＋CD＋PD＝PC＋AC＋DB＋PD＝PA＋PB＝10＋10＝20.故选C.2．[解析]A设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9－x，CE＝CF＝CA－AF＝6－x，则有9－x＋6－x＝5，解得x＝5，即AF的长为5.3．[解析]C如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．∵OA＝4，PO＝8，∴AP＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3)，∠APO＝30°，∴∠APB＝2∠APO＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝AP＝4eq\r(3).4．[解析]D如图，连接OA，OB.∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∴△ABP是等腰三角形．易证∠1＝∠2，∴AB⊥OP.故A，B，C均正确．设OP交AB于点D，易证△PAD∽△POA，∴PA∶PO＝PD∶PA，∴PA2＝PD·PO.故D错误．5．[解析]C连接OE.∵AD，BC，CD分别与⊙O切于点A，B，E，∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，DA＝DE，EC＝BC，∠ADO＝∠EDO，∠ECO＝∠BCO，∴∠OAD＝∠OED＝∠OEC＝∠OBC＝90°，∴∠AOD＝∠EOD，∠BOC＝∠EOC.①∵∠AOD＋∠EOD＋∠BOC＋∠EOC＝180°，∴∠DOC＝∠EOD＋∠EOC＝90°，∴①正确；②∵DA＝DE，EC＝BC，∴AD＋BC＝DE＋EC＝CD，∴②正确；③∵∠AOD＋∠BOC＝90°，∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠BOC＝∠ADO.又∵∠OAD＝∠CBO＝90°，∴△OAD∽△CBO，∴S△AOD∶S△BOC＝AD2∶BO2＝AD2∶AO2，∴③正确；④∵△OAD∽△CBO，∴eq\f(OD,OC)＝eq\f(AD,OB)＝eq\f(DE,OB).∵OB≠EC，∴④不正确；⑤∵∠DOC＝∠OED＝90°，∴∠EOD＋∠EDO＝90°，∠CDO＋∠DCO＝90°，∴∠EOD＝∠DCO，∴△OED∽△COD，∴eq\f(OD,CD)＝eq\f(DE,OD)，即DE·CD＝OD2，∴⑤正确．综上，正确的有①②③⑤.故选C.6．[答案]44[解析]∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD＋BC＝AB＋CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝44.7．[答案]6[解析]∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝17，∴△ABC的内切圆⊙O的直径为eq\f(15×8,17＋15＋8)×2＝6.故答案为6.8．[答案]60[解析]连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴OP＝PA－OA＝6－2＝4.∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC，∴sin∠OPC＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴∠OPC＝30°，∴∠CPD＝60°.9．[答案]3065[解析]∵PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，∴PA＝PB＝15cm，ED＝EA，FD＝FB，∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝30cm，即△PEF的周长是30cm；连接OA，OB，OD.∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝eq\f(1,2)∠AOB＝65°，即∠EOF＝65°.10．[答案]2[解析]如图，设⊙O与AB，AC的延长线及BC边分别相切于点F，D，E.连接OD，OE.∵⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，OD⊥AD，OE⊥BC.∵∠ACB＝90°，∴四边形ODCE是正方形．设OD＝r，则CD＝CE＝r.∵BC＝3，∴BE＝BF＝3－r.∵AB＝5，AC＝4，∴AF＝AB＋BF＝5＋3－r，AD＝AC＋CD＝4＋r，∴5＋3－r＝4＋r，解得r＝2，则⊙O的半径是2.11．证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC，∴AC＝BC.12．解：(1)连接OF.根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.(2)由(1)知，∠BOC＝90°.∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理，得BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝10cm，∴BE＋CG＝BC＝10cm.(3)∵OF⊥BC，由三角形的面积公式，得eq\f(1,2)OB·OC＝eq\f(1,2)BC·OF，∴OF＝eq\f(OB·OC,BC)＝4.8cm.13．解：(1)∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∴BF＝BD，CE＝CD，∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7.(2)如图，连接OE，OF，OA.∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∴∠OEA＝90°，∠OAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，∴OA＝2OE＝2eq\r(3).由勾股定理，得AF＝AE＝eq\r(OA2－OE2)＝3，∴△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20，即△ABC的周长是20.14．[解析](1)过点D作DF⊥BC于点F，由切线长定理可得DE＝AD＝2，CE＝BC.设BC＝x，在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即可得方程(2＋x)2＝(x－2)2＋(2eq\r(5))2，解此方程即可求得答案；(2)易证得△ADE∽△GCE，由相似三角形的对应边成比例，可得AE∶EG＝4∶5，由勾股定理即可求得AG的长，继而求得答案．解：(1)过点D作DF⊥BC于点F.∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2eq\r(5)，BF＝AD＝2.∵DE与⊙O相切，∴DE＝AD＝2，CE＝BC.设BC＝x，则CF＝BC－BF＝x－2，DC＝DE＋CE＝2＋x.在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即(2＋x)2＝(x－2)2＋(2eq\r(5))2，解得x＝eq\f(5,2)，即BC＝eq\f(5,2).(2)∵∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，∴eq\f(AD,GC)＝eq\f(DE,CE)，eq\f(AE,EG)＝eq\f(AD,GC).∵AD＝DE＝2，∴GC＝CE＝BC＝eq\f(5,2)，∴BG＝BC＋CG＝5，eq\f(AE,EG)＝eq\f(4,5).在Rt△ABG中，AG＝eq\r(AB2＋BG2)＝3eq\r(5)，∴EG＝eq\f(5,9)AG＝eq\f(5,3)eq\r(5).[点评]此题考查了切线的性质与判定、切线长定理以及勾股定理等知识，难度适中，注意掌握辅助线的作法与方程思想的应用．[素养提升][解析](1)连接BD，已知ED，EB都是⊙O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，而BD⊥AC(圆周角定理)，则OE∥AC.由于O是AB的中点，可证得OE是△ABC的中位线，即E是BC的中点，那么在Rt△BDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论．(2)由(1)知：BC＝2BE＝2DE，则所求的比例关系式可转化为(eq\f(BC,2))2＝DF·DC，即DE2＝DF·DC，那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可，这两个三角形的公共角为∠CDE，只需作出∠DEF＝∠C即可．①当∠DEC＞∠C，即180°－2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°时，∠DEF的EF边与线段DC相交，那么交点即为所求的点F；②当∠DEC＝∠C，即180°－2∠C＝∠C，∠C＝60°时，点F与点C重合，点F仍在线段DC上，此种情况也成立；③当∠DEC＜∠C，即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段DC的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的点F.解：(1)证明：连接BD.∵ED，EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，∴OE垂直平分BD.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴AD∥OE，即OE∥AC.又O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED.(2)存在．在△DEC中，∵ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，∴∠DEC＝180°－2∠C.①当∠DEC＞∠C时，有180°－2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在满足条件的点F.在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为