非等差等比数列前n项和计算方法(范本模板)

第二章：数列nn(S,(n=1)nn-1⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a－na=d,(n≥2，n∈N+)，n-1那么这个数列就叫做等差数列.n1mnn122⑸常用性质:nkpnnnnn{a}(p,q=N*)、，…也成等差数列。⑤性:{a}的公差为d，则：dan}为递减数列;nnnk2kk3k2kb已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，n1m⑷前n⑸常用性质+mnpqnnnnnnlanJ{ar}(r=Z)是等比数列,公比依次是q，q2，1，qr.nq1n11nnn⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。nnk2kk3k2k4、非等差、等比数列通项公式的求法类类型Ⅰ观察法:aaannnnnn(S,(n=1)1n一)。类型类型Ⅲ21n1②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;类类型Ⅳ形如a=a.f(n)(|an+1=f(n))|型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造：n+1n(a)n〈a1n1有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类类型Ⅴ㈠形如a=pa+q(其中p,q均为常数且p才0)型的递推式:n+1nn(2)若q=0时，数列{a}为等比数列;n(3)若p才1且才0时，数列{a}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等nn+1nn+1nllnp-1J1p-1a=pa+q比较系数(待定系数法)得n+1nn+1nnn-1a-a{a-a}构成以a-a为首项，以p为公比的等比数列.求出{aa}n通项再转化为n+1n21n+1n类型Ⅲ(累加法)便可求出a.npn+1nnn-1nnn法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：a=pa+f(n)，a=pa+f(n-1)n+1nnn-1两式相减得：a-a=p(a-a)+d,令b=a-a得：b=pb+d转化为类型n+1nnn-1nn+1nnn-1Ⅴ㈠求出b，再用类型Ⅲ(累加法)便可求出a.nn⑵当f(n)为指数函数类型(即等比数列)时:nn-11n{a+入f(n)}的通项整理可得a.nn法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得:a=pa+f(n)-—n+1nnn-1nn-1类型Ⅷ类型Ⅷnnnnaqanpaqnpqaparqnpqn+1nn+1nr均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以qn+1，得：nr均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以qn+1，得：n+1=.n+，引入辅qn+1qqnq助数列{b}(其中b=an),得：b=pb+1再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。nnqnn+1qnq⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：n+1npn+1pnpn+1pnnb=b+f(n)，在转化为类型Ⅲ(累加法)，求出b之后得a=pnb。n+1npn+1nnn类类型Ⅵnnn+1n+1nnnbqblgpapaqbabn底数不一定n+1nn+1nnn类型Ⅶ类型Ⅶ11=+p形式,化归为a=pa+q型求出1的表达式，再求a;nnnaan+1nnn还有形如a=man的递推式,也可采用取倒数方法转化成1=m1+m形式，化归为n+1pa+qaqapnn+1nnnnnnnn+1n用待定系数法，化为特殊数列{a一a}的形式求解。方法为:设 nnn+1n11{aka}是公比为h的等比数列,这样就化归为a=pa+q型.n+1nn+1n上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公a式.n5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴错位相减法a{b}为等比数列，则数列{a.b}的求和就要采用此法.nnnn②将数列{a.b}的每一项分别乘以{b}的公比,然后在错位相减，进