分组码和卷积码

分组码和卷积码1第1页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.1基本定义基本概念：由一组固定长度的码字矢量组成。码长——矢量元数的个数n。码字元素选自由q个元素组成的字符集（二进制分组码，非二进制分组码）长度为n的码字2n个码字k个信息比特2k种组合(n,k)码映射信息比特与码字之间的关系码率：2第2页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.1基本定义有限域，也称伽罗华域（GaliosField）：二进制加法和乘法的有限集合。+01001110X010001011.基域：模5的加法和乘法运算扩域：2.有限域上的多项式：首一（Monic）多项式：既约多项式：多项式无法写成两个低次多项式的乘积。3第3页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.1基本定义3.扩域：本原多项式GF(4)域的加法和乘法：+01XX+1001XX+1110X+1XXXX+101X+1X+1X10x01XX+100000101XX+1X0XX+11X+10X+11X4第4页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.1基本定义4.本原元和本原多项式mg(X)2X2+X+13X3+X+14X4+X+15X5+X+16X6+X+17X7+X+18X8+X4+X3+X2+19X9+X4+110X10+X3+111X11+X2+112X12+X6+X4+X+15第5页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.2线性分组码的一般性质任何码字都是G的矢量的线性组合：生成矩阵和奇偶校验矩阵假设：k个信息比特码字（n位）编码运算：矩阵形式：j=1,…nG—生成矩阵6第6页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.2线性分组码的一般性质(n,k)线性码的对偶码是一种(n,n-k)线性码，有2n-k个码矢量生成矩阵H，由n-k个线性无关的码矢量组成由于对(n,k)码的每个码字都成立，于是：(n,k)码(n,k)码任意一个码字Cm都正交于矩阵H的每一行对偶码(n,n-k)正交于H矩阵用于译码器检查收到的码字c是否满足cHt=0H矩阵称为(n,k)码的一致校验矩阵（简称校验矩阵）7第7页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.2线性分组码的一般性质7.2.2线性分组码的重量和距离特性码字的重量：码字里非零码元的数量码字间的汉明距离：两个码字间不同码元的个数码的最小距离

线性分组码的最小重量与奇偶校验矩阵列之间的相关性有关码的最小重量8第8页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.2线性分组码的一般性质7.2.3重量分布多项式码的重量分布多项式（WEP）：多项式的系数是该码字中不同重量的码字的个数对于正交FSK调制有假设发送的是全零码字，则对于BPSK调制有9第9页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.2线性分组码的一般性质7.2.4线性分组码的差错概率码字差错概率：定义10第10页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.3一些特殊的线性分组码7.3.1重复码：(n,1)码，全0或者全17.3.2汉明(n,k)码：7.3.3最大长度码：汉明码的对偶码7.3.4Reed-Muller码：11第11页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.4线性分组码的最佳软判决译码有效码字间的最佳检测，如相关度量计算主要问题：码字数量巨大，导致计算量巨大12第12页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.5线性分组码的硬判决译码先逐个码元进行判决后，再进行译码1.最小距离（最大似然）译码判决后的码字可能不是一个有效码字，寻找与该码字距离最小的有效码字作为译码的结果2.伴随式和标准阵列7.5.2.硬判决译码纠错能力：13第13页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.6硬判决与软判决译码的性能比较14第14页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.7线性分组码最小距离的边界7.7.1辛格尔顿（Singleton）界：7.7.2汉明界：7.7.3普洛特金（Plotkin）界：对于q元，对于二进制，15第15页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.8修改的线性分组码7.8.1缩短和伸长7.8.2删余和扩展7.8.3删信和增广16第16页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.9循环码循环码是线性码的一个子集。码字码字C的所有循环移位都是码字循环码的码字多项式表示：n-1次多项式，用它与码字C联系起来特点：若两边同乘X：Xc(X)除于Xn+1：其中：代表码字：c1(X)是Xc(X)除于Xn+1的余式，因此：17第17页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.9循环码生成多项式信息多项式：长度为k码字多项式：长度为n生成多项式g(X)必须是Xn+1的因式，例如系统循环码：18第18页，共35页，2023年，2月20日，星期三7.9循环码循环码编码器：移位寄存器循环码的译码7.10BCH码7.11RS码BCH码的生成多项式由的因式构成特点：循环码的一个大类；（二进制，非二进制）二进制BCH码：m和t是任意正整数，非二进制BCH码：包括Reed-Solomon码19第19页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.1卷积码的构造二进制数据移位输入到编码器，沿着移存器每次移动k比特；每个k比特长的输入序列对应一个n比特长的输出序列；码率Rc=k/nK（移存器的级数）称为卷积码的约束长度。编码器由K级移存器（每级k比特）和n个模2加法器组成编码过程：卷积码的描述方法：树图、网格图、状态图20第20页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.2卷积码的译码卷积码译码卷积码没有固定长度，有记忆，采用序列译码；译码器是一个最大似然序列估计器；译码过程：搜遍网格图找出最可能的序列译码度量：硬判决——汉明距离；软判决——欧氏距离21第21页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.3二进制卷积码的距离特性22第22页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.9Turbo码和迭代译码编码器结构：由两个并联的卷积编码器组成，第2级编码器前串接了一个交织器交织器：信息比特进入下一级编码器之前对它们重新排序对二进制卷积编码器输出的校验比特进行删余处理，目的是为了提高码率带交织的并行级联卷积码——Turbo23第23页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.9Turbo码和迭代译码特色之一：两个编码器与交织结合的效果：使码字变得相对稀疏，即各码字极少有离它很靠近的邻码。交织导致紧邻码字数量的减少，由此使编码增益提高。已经证明，当交织器长度为N时，紧邻码字的数目减少N倍特色之二：使用基于MAP准则的迭代译码24第24页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.9Turbo码和迭代译码Turbo码的性能影响Turbo码性能的一个重要因素——交织长度（交织增益）大交织产生的问题：译码时延；计算复杂带交织的串行级联卷积码1998年Benedetto另一种级联卷积码在低误码率时，具有比并行级联码更好的性能使用足够大的交织器，采用MAP迭代译码Turbo码的性能可以非常接近Shannon限25第25页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.11LDPC码LDPC码：具有稀疏校验矩阵的线性分组码LDPC码的硬译码和软译码26第26页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.12网格编码调制TCM背景分组码和卷积码：性能的改善是通过扩大传输信号带宽为代价而获得的；这种情况主要适用于功率受限信道的设计。如(24,12)Golay码：当b=10时，编码增益=5dB

但这个编码增益以传输信号带宽增大1倍而获得。采用软判决译码的二进制(n,k)分组码，与不编码系统相比，所得到的性能改善约为：如何解决带限信道的编码问题？要求：不扩展带宽而获得编码增益。27第27页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.12网格编码调制TCM分析：（假设一次传输2个比特的情况）编码要使编码后与不编码QPSK具有同样的数据吞吐量不编码系统：QPSK，4个点的信号星座，每个符号携带2比特采用2/3的编码系统：必须结合如8PSK的调制使用2信息比特3编码比特引出的问题：

与QPSK星座相比，要保持相同的Pe

，8PSK星座要求的信号功率必须增加4dB！如何补偿由于信号集扩大而产生的这种要求？28第28页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.12网格编码调制TCM两种解决方案：按照传统的方法——编码与调制分别独立设计通过增大编码符号间的最小欧氏距离来弥补信号集扩大造成的损失。要求编码器必须提供4dB以上的编码增益才能补偿这一要求。措施：通过采用大约束长度的卷积码，大分组长度的分组码。编码与调制结合在一起设计——网格编码调制的核心思想编码调制集成的关键：找到一种有效的办法，将编码比特映射到信号点集，而使最小欧式距离最大。29第29页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.12网格编码调制TCM途径：分集映射分集：——遵循“最小欧氏距离逐级增大”的原则第1次分集：分为2个子集，每子集4点，第2次分集：两个子集又进一步划分，最后一次分集得到8个子集，每个子集仅包含一个信号点8PSK：各点间相隔的最小欧氏距离为：将信号星座分割成子集，使子集中两个信号点之间的最小欧氏距离随着每次分集变大。30第30页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.12网格编码调制TCM每次子集隔点选取对矩形信号星座而言，每一级分集可使最小欧氏距离增加倍。第一次分集后，点间距离从增加到16QAM信号星座的分集31第31页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.12网格编码调制TCM编码过程：

映射（编码）k2个未编码比特用来在各子集中选择某一信号点。信息输入m比特分为两路从编码器得出的n比特用来选择子集（在分集后信号星座的2n个子集中选择其一）k1k232第32页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.12网格编码调制TCM分两步实现：译码（软判决译码）子集译码确定每一子集中的最佳信号点；（即确定每个子集中离接收信号点最近的点）路径译码

将每个子集选出的信号点及相应的平方距离量度对应到Viterbi算法的分支中，在网格图中找出一条信号路径，该路径与接收信号序列的距离平方之和最小。33第33页，共35页，2023年，2月20日，星期三8.12网格编码调制TCM性能（网格编码调制所能获得的编码增益一览）码率为1/