数学读书报告

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我对数学分析的内容总结如下：

一、引子

大体上讲，数学分析就是讨论实数范围内微分和积分的数学分支。它是在极限理论基础上，以定义在实数范围内的函数为争论对象的一门数学专业基础课。追溯历史，早在17世纪，Newton和Lebniz就各自独立地发现了微积分，当时是出于解决详细问题的需要。不过，那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义，由此引发出很多问题和冲突。

后来，Cauchy和Weierstrass等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了坚固的根基。他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。

二、对书中部分章节的宏观理解

1.实数集与函数

书中以无限小数来引出实数的概念，便于初学者理解。值得留意的是，我们将有限小数也表示成无限小数的形式，由此，实数与无限小数之间构成一种对应。换句话说，任何一个实数都可用一个确定的无限小数来表示。

第二节中重点介绍了三角形不等式。需要强调的是，这一不等式贯穿整个数学分析课程，是一个极其重要的工具。在高班级课程中，我们会学习《泛函分析》。正如三角形不等式在数学分析中的重要作用，Minkowski不等式是泛函分析中一系列争论的出发点。

此版本的《数学分析》中的极限理论是建立在确界原理之上的。

所谓确界原理是说：任一非空有界数集假设有上界，那么必有上确界。对于下确界有类似的结论。

注：它是实数连续性的表达。

2.数列极限

定理2.8是判定数列发散的有力工具。

Cauchy收敛准那么给出了数列极限存在的充要条件，它的优点在于：无需借助数列以外的数，只要依据数列自身的特性就可以鉴别其敛散性。注：它也是实数连续性的表达。

3.关于第三章中的“等价无穷小”

在计算函数极限时，采纳“等价无穷小”替换往往可以简化计算过程，但不可滥用。可归纳为“乘除可用，加减慎用”。

4.关于函数的连续性与全都连续性

后者是比前者更强的性质，主要表达在全都连续性中的N只与那个任给的小正数有关，与自变量*的位置无关。

两者之间的联系由所谓的全都连续性定理给出，不再赘述。

5.关于微分中值定理

我们可以从几何图形上对中值定理予以直观的认识。其实Rolle定理是Lagrange中值定理的非常情形，本质上是一样的。将后者的图像旋转肯定的角度，就能成为前者。

Tayor定理的本质是：对于具有n阶连续导数，且具有n+1阶导数的函数而言，

可以用一个系数与函数f的各阶导数有关的多项式函数去迫近它。而多项式函数的性质是我们熟知的，便于讨论。

顺便提一下，对于多元函数，也有类似的Tayor定理。笔者曾争论过这一问题。一元函数的Tayor定理中的多项式的系数依靠于“二项式定理”,而多元函数的情形依靠于所谓的“多项式系数”。

6.关于平面点集与二元函数

与一元函数类似，我们有如下的关于二元函数的最大值与最小值定理：假设函数f(*,y)在有界闭域上连续，那么存在最大值与最小值。

事实上，这一结论对有界闭集也是成立的〔后者往往更好用〕，不过其证明用到拓扑学的知识。

顺便提一下，关于二元函数的极大、微小值定理可径直推广至多元函数的情形，只需将相应的Hesse矩阵作形式上的改写，本质并无差别。

7.关于累次极限和累次积分

二重极限和累次极限的存在性无必定联系，我们应能正对详细问题娴熟地举出反例。

在含参量正常积分与含参量反常积分中有类似的关于积分次序交换的问题。前者的条件是连续，而后者还需要加上全都收敛的条件。

三、数学分析中各部分内容之间的联系

数学分析中的内容非常丰富，且各部分内容间有着深刻的联系，这些联系是有趣而重要的，它们表达了分析学内在的统一性。

下面我就举几个例子谈谈自己的看法和体会。

1、在第一章中，我们学习了确界原理，在数列极限一章中学习了单调有界定理和Cauchy准那么。在第七章中，我们又接触了区间套定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理、Heine—Borel有限掩盖定理。现在我们知道它们之间是等价的，是统一的，都是实数连续性的表达。

2、在函数的连续性一章中，涌现了介值性定理，其实数学分析中的“介值性”是普遍存在的，它揭示了某些函数或对象的中间状态，微分中值定理，积分中值定理都是“介值性”的表达，它们有着共同的本质。

3数项级数与反常积分、函数项级数与含参量反常积分之间有着紧密的联系，因而它们的讨论方法是类似的，也有着平行的定理，定理19.8就表达了这种联系。利用此定理我们可以把含参量反常积分的问题自然地转化为函数项级数的对应问题。Dini定理的证明就是一个很好的例子。

4、微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的深刻联系，应用广泛。

5、从某种意义上讲，第一型曲线积分是定积分径直而自然的推广。

6、Newton—Leibneiz公式不仅为连续函数〔事实上条件可以再弱一些〕的定积分提供了一种有效的计算方法，更重要的是，它将不定积分和定积分这两部分内容联系了起来。

7、Green公式、Gauss公式、Stokes公式也有着类似的特点和作用。

8、再1中提及的Heine—Borel有限掩盖定理可以将函数在局部上的性质过渡到整体上的性质，比如从局部有界到函数在整个闭区间上有界，从点点收敛到全都收敛等等。

四、结束语：

数学分析内容丰富，思想深刻，我们在学习的过程中应当积极思索、上心体会。

学习数学分析的方法：

1、利用数学方法论进行启发式教学。数学作为一门科学，数学有自己的进展规律、数学思想方法，数学中的发觉、发现和创新法那么，如归纳法、类比法、抽象分析法、模型法、公理化方法等,我们常常将数学方法论应用于数学分析课程的教学实践。

2、采纳启发式教学，由浅入深，调动同学的积极性，重点，难点内容要反复强调，讲深、讲透，让同学们理解和接受。

3、采纳参加式教学，适当、适时地提出问题，要求同学回答或在黑板上解答，鼓舞同学自己讲，培育自学技能；如某些定理的证明，让同学自己讲，熬炼同学语言表达技能和思索问题的技能。

4、教学与实践相结合，如用Newton切线方法求解方程的根等内容，要求同学自己举例，大家积极性高，效果很好。讲授数学分析的概念时，强调“反璞归真”，讲清客观世界－数学抽象－数学语言，描述三者的关系。

5、利用现代教育技术的手段和方法于数学分析课程的教学实践,它在教学改革中的地位是传统教学手段无法替代的。本课程的教学采纳传统方式〔板书为主〕与多媒体课件相结合的方法，对于需要较多规律推理的论证内容，一般采纳板书形式，以利于教学过程中的启发与互动，也比较适合同学的思索方式和记录习惯，即使采纳多媒体形式，也将“写字板”作为帮助工具，使之具有渐进式的推导过程，同时又有整齐、美观的版面。对于教材中现成的内容〔如定义、定理的表达〕以及板书中不宜描述的内容〔如某些三维图形〕，一般采纳多媒体课件及数学绘图软件，使之更直观、清楚、易于理解。这既节约了板书时间，也提高了同学学习的爱好。

6、运用教学方法与教学手段的目的,是把教学内容的“学术形态转变为教育形态”，使同学能更简单理解和掌控，激发同学学习的爱好、学习的主动性和制造性。

7、鼓舞同学以“批判”的立场学习，超越老师，超越教材，启发同学深入思索的积极性。

8、充分利用院、系教学机房和试验室的计算机、网络环境及校、院图书馆、资料室资源扩展同学视野，培育和提高同学的综合技能和创新技能

或许许多人会认为数学是科研的基础，对于大多数人并不有用，我以前也是这样认为。在学微积分的时候我觉得数学似乎很空洞，好像与现实没什么联系，经过学概率统计我才发觉数学在以后工作的重要作用，而惋惜的是，当我想努力学好它时却因微积分知识的缺乏而倍感吃力。基于此，我想学好数学就需要先认清它的用途，没有用的东西是没有人喜爱是学的，假如我们学数学仅仅是为了考试那也就太可悲了。

我最喜爱听的、看的都是与现实有很大联系的题目，在我看来，这些题目对我有用，所以花时间，花精力去学就值得。我认为，理论需要与实践相结合才能转化成生产力。

当高校从精英教育转为大众教育的同时，必定要求数学从讨论型教育转变为有用型教育。但不可否认的是目前的数学教学尚未紧密联系现实，这也就要求教育部门、老师、同学需要进一步的努力。

数学除了要与现实结合，还要与计算机紧密联系。随着计算机的普遍化、微型化，人们将不再需要处理烦琐或大量的数据。可以估计，在将来的几年，计算机将变得像计算器一样普及。我们完全可以将那些繁复的运算交给计算机去处理。从而抽出更多的时间去理解数学知识及学会数学软件的运用。

学习数学不只是学习数学知识，还要熬炼自己的思维，早期的计算机人才多数也是数学人才，计算机编程与数学知识本身的联系必不是很紧密，但数学的规律性对编程却是至关重要的。规律性思维不止对计算机，对各行各业都有深远的影响。或许我们考完试后很快便将枯燥的数学工式忘得干干净净，但规律性思维却将陪伴我们一生。因此学习数学不仅需要记忆，更重要的是要学会思索。

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