浙教版数学八下专题复习：特殊平行四边形（优生集训）含解析

组卷在线，在线组卷组卷在线（）自动生成 浙教版数学八下专题复习：特殊平行四边形（优生集训）一、综合题1．在中，，点为直线上一动点（点不与重合），以为边在右侧作正方形，连接（1）探究猜想如图1，当点在线段上时，①与的位置关系为；②之间的数量关系为；（2）深入思考：如图2，当点在线段的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.（3）拓展延伸如图3，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点.若已知，请求出的长.2．如图所示，直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点.（1）求的面积；（2）动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动，求的面积与的移动时间之间的函数关系式；（3）当动点在轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．（1）求点D的坐标；（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图如图①，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°.（1）请完成上题的证明过程.（2）如图②，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B.（3）如图③，已知四边形ABCD，利用直尺和圆规作线段EF，使点E、F分别在AB、CD上，且满足EF＝AC，EF与AC相交所形成的锐角等于∠B.5．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，（1）试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展与延伸：①若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为；②如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，猜想并证明DM和ME的关系．下面给出部分证明过程，请把推理过程补充完整．证明：如图③，连结AC．∵四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形，∴∠DAC=∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°，∴点E在AC上．∴∠AEF＝∠FEC＝90°．又∵点M是AF的中点，∴ME＝AF．6．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．（1）点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴向左运动，两点同时出发.分别过点，作轴的垂线，分别交直线，于点，，请你在图1中画出图形，猜想四边形的形状（点，重合时除外），并证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，当点运动秒时，四边形是正方形（直接写出结论）．7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△COB沿BC翻折，点O恰好落在AB边的点D处，BC为折痕．（1）求线段AB的长；（2）求直线BC的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．将一块直角三角板的直角顶点和矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O重合，如图（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．（1）图①（三角板一直角边与OD重合）中，连接DN，则BN与DN的数量关系是，进而得到BN，CD，CN的数量关系是；（2）写出图③（三角板一边与OC重合）中，CN，BN，CD的数量关系是；（3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．9．两个完全相同的矩形纸片ABCD，BFDE按如图所示放置，已知AB＝BF＝8，BC＝16．（1）求证：四边形BHDG是菱形；（2）求四边形BHDG的周长．10．反比例函数y1=（x>0，k≠0）的图象经过点（1，3），点P是一次函数y2=-x+6图象上的一个动点，如图所示，设点P的横坐标为m，且满足-m+6>，过点P分别作PB⊥x轴，PA⊥y轴，垂足分别为B，A，与反比例函数分别交于D，C两点，连结OC，OD，CD．（1）求k的值并结合图象求出m的取值范围；（2）在点P运动过程中，若BD=2PD，求点P的坐标；．（3）将△OCD沿着直线CD翻折，点0的对应点为点O'，得到四边形O'COD，问：四边形O'COD能否为菱形？若能，求出点P坐标；若不能，说明理由。11．已知矩形ABCD中，点E为AD上一点，连接BE、CE，∠BCE的平分线与AD交于点H，HG垂直平分BE，连接BH（1）如图1，①求证：△ABH≌△DCE；②若AE=8，BE=10，求△EHC的面积；（2）如图2，若∠ECD=30°，F是CE的中点，连接GF，判断四边形GFEH的形状，并证明。12．如图，直线与坐标轴交于点、两点，直线与直线相交于点，交轴于点，且的面积为.（1）求的值和点的坐标；（2）求直线的解析式；（3）若点是线段上一动点，过点作轴交直线于点，轴，轴，垂足分别为点、，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.13．已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°.（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长.14．如图1，已知四边形和四边形都是正方形，且.连接，连接交于点.如果正方形绕点旋转到某一位置恰好使得，且.（1）如，，请求出的面积.（2）求证：.（3）如图2，当，是边上一点且时，如点为边上的一个动点，以为边向左侧作等边，连接，请直接写出的最小值.15．如图1，在矩形ABCD中，AM平分∠BAD，交BC于点M，点N是AD上的一点，连接MN，MD，且MN＝MD，过点D作DF⊥MN于F，DF延长线交AM于E，过点E作EP⊥AD于P.（1）如图1，①若CD＝5，AD＝7，求线段CM的长；②求证：△PED≌△CMD.（2）如图2，过点F作FH⊥CD于H，当AM＝AD时，求的值.16．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点E是线段AO上的一动点.（1）如图1，当AE＝3OE时，①求直线BE的函数表达式；②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D重合），当S△BOD＝S△PDB时，求点P的坐标；（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由.17．在正方形中，点E为射线上一点，连接，过点E作交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接.（1）发现问题：如图1，当点E在线段上时.①求证四边形是正方形；②猜想与之间的数量关系，并说明理由.（2）类比探究：当点E运动到如图2所示的位置时，求的度数.（3）拓展运用：如图3，当点E在线段的延长线上时，若正方形的边长为4，，求的长.18．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）.（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标.19．如图，直线与直线相交于轴上一点，点是直线上的一个动点（不与点C重合），过点P作轴交直线于点M.设点P的横坐标为m.（1）直接写出点P，M的坐标P，M（用含m的式子表示）；（2）若的面积为，求的值；（3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.20．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，AE的延长线交CD于点F，交BC的延长线于点G，M是FG的中点.（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）判断线段CE与CM的位置关系，并证明你的结论；（3）当，并且恰好是等腰三角形时，求DE的长.21．已知：是正方形对角线上一点，，垂足分别为.（1）求证：；（2）若，求的长.22．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．“将军饮马”问题的探究与拓展八年级三班李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？（数学模型）如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小．（问题解决）作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．（1）（模型应用）问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．（2）问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是．（3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的坐标；（4）请直接写出的最小值．（5）（模型迁移）问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值．23．如图，D是等边三角形ABC边BC上一点，DE∥AC交AB于点E，B，B′关于直线DE成轴对称，连接B′E，B′D分别交AC于点F，G．（1）求证：四边形AEDG是平行四边形；（2）当四边形AEDG是菱形时，求这个菱形的面积与△ABC的面积之比；（3）当AB＝6，DE＝2AE时，直接写出四边形AEDG的两条对角线长AD＝，EG＝.24．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接.（1）如图1，当点在边上时，填空：①与的数量关系是，②与的位置关系是；（2）如图2，当点在菱形外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.（3）如图3，在点的移动过程中，连接，，若，，请直接写出四边形的面积值.25．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点，的坐标为、，点为的中点.（1）求点的坐标；（2）求直线的函数解析式；（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，设运动时间为，当为何值时是腰长为5的等腰三角形？

答案解析部分【解析】【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABC=∠ACF，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACB+∠ACF═45°+45°=90°，即BC⊥CF；故答案为：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；【分析】(1)①先由SAS得到△DAB≌△FAC，得到∠ABC=∠ACF，再结合等腰直角三角形性质进而得到BC⊥CF；

②由全等三角形性质得到CF=BD，进而得到BC=CF+CD；

（2）先由正方形性质得到∠BAD=∠CAF，进而证明△DAB≌△FAC（SAS），得到∠ABD=∠ACF，进而得到CD=CF+BC.；

（3）同（2）先得到△DAB≌△FAC（SAS），进而BC⊥CF，CF=BD=5，再结合正方形性质及勾股定理即可求出OC.【解析】【分析】（1）由直线l的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标，进而即可求解；（2）由面积公式S=×OM×OC，分两种情况：当0≤t＜4时，当t＞4时，求出S与t之间的函数关系式，即可；（3）分为4种情况：①当M在点A的右侧，CM为菱形的对角线时，②当点M与点O重合，AC为菱形的对角线时，③当M在点A的左侧，CM为菱形的对角线时，④当M在点A的左侧，AM为菱形的对角线时，分别求解，即可.【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得BE=AB=6，DE=AD，故OE=BO-BE=4，∠OED=90°，设D（0,a）则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得到方程即可求出a的值；（2）分①OM，OE都为边；②OM为边OE为对角线；③OM为对角线，OE为边；3种情况进行讨论，分别求出M的坐标．【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得DA＝AB，∠DAE＝∠B＝90°，利用HL可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，利用全等三角形的性质可推出∠ADE＝∠BAF；然后证明∠ADE+∠DAF＝90°，即可求解；

（2）作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，设AF交CD于点R，利用菱形的性质可推出BC＝DC，再利用菱形的面积公式可证得EK=AH；再利用HL证明Rt△EKD≌Rt△AHF，利用全等三角形的对应角相等，可推出∠EDC＝∠F，由此可证得∠DGF＝∠DCF，可推出∠DCF＝∠B，即可证得结论；

（3）利用尺规作图作EF＝AC，EF与AC相交所形成的锐角等于∠B；设BM交AC于点H，由作法可知，∠ABH＝∠ACB，可推出∠AHB＝∠ABC；再利用平行线的判定可证得EN∥AB，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形BEFI是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出EF＝BI＝AC，即可求解.【解析】【分析】（1）DM＝ME，理由：延长EM交AD于点H，证明△AMH≌△FME，可得HM＝EM．由∠HDE＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质可得DM＝EH＝ME；

（2）①DM＝ME，DM⊥ME．理由：延长EM交AD于点N．证明△AMN≌△FME，NM＝EM，可得AN=EF=CE，从而求出DN=DE，可得△NDE为等腰直角三角形，从而得出DM＝EH＝ME，DM⊥ME．②连结AC，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DM=ME，ME＝AF＝FM＝MA，DM＝AF＝FM＝MA，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠DME＝90°，据此即得结论.【解析】【解答】解：（2）由（1）得：四边形为矩形．当时，四边形为正方形．①当在的左边时，如图，则解得：②当在的右边时，如图，同理：综上：当运动时间为或时，四边形为正方形．故答案为：或【分析】（1）首先确定点M以及点N的位置，即可得到正确的图形，证明PM∥QN，PM=QN，证明得到答案即可；

（2）根据（1）的结论，四边形PMNQ为矩形，所以当PM=MN时，矩形PMNQ为正方形，继而根据点M和点N的位置关系分类讨论，求出答案即可。【解析】【分析】（1）先求出OA=8，OB=6，再利用勾股定理计算求解即可；

（2）先求出n=3，再利用待定系数法求函数解析式即可；

（3）分类讨论，结合平面直角坐标系，利用勾股定理求解即可。【解析】【解答】解：（1）连接，如图①所示：四边形是矩形，，，，，在中，由勾股定理得：，，故答案为：，；（2）连接，如图③所示：四边形是矩形，，，，，，在中，由勾股定理得：，，故答案为：；【分析】（1）先求出，再利用勾股定理证明求解即可；

（2）先求出AN=CN，再求解即可；

（3）先求出∠EBO=∠MDO，再利用ASA证明三角形全等，最后利用勾股定理求解即可。【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得GD//BH，BG//HD，由此可推出四边形BHGD是平行四边形，再利用ASA证明Rt△ABG≌Rt△FBH，利用全等三角形的性质可证得BG=BH，利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.（2）利用已知条件求出BH＋HF的值，设菱形BHDG的边长为x，可表示出FH的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出菱形的周长.【解析】【分析】（1）因为反比例函数经过点（1,3），所以将点代入可以求出k值，k=3，从图像中可以知道-m+6>,所以m=3±

（2）根据线段OC最短可以知道OC为∠AOB的平分线，对于Y=,令x=y,即可求出C的坐标，把Y=代入y=-x+6中求出x的值即可得出P点坐标

(3)当OC=OD时，四边形OCDO'为菱形，由对称性得到△AOC和△BOD全等，即OA=OB，由此时点P横纵坐标相等且在直线y=x+6上即可得出结论【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质结合角平分线的性质即可得到BH=CE、AB=CD，再依据全等三角形的判定（HL）即可求解；

②设BH=HE=x，则AH=8-x，根据勾股定理即可求出HE和AB的长，再结合三角形面积公式即可求解；

（2）根据三角形中位线的性质即可得到GF∥BC，GF=BC，再根据全等三角形的性质结合平行四边形的判定即可求解.【解析】【分析】（1）将点P坐标代入y=x+3中可得m的值，令y=0，求出x的值，据此可得点A的坐标；

（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由（1）得PH=，根据三角形的面积公式可得AC的值，进而求出OC，得到点C的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线PC的解析式；

（3）由已知可得：四边形EMNQ为矩形，设E的纵坐标为t，则t=x+3，推出E（t-3，t），根据EQ∥x轴可得点Q的坐标，表示出EQ，EM，当EQ=EM时，矩形EMNQ为正方形，求出t的值，进而得到点E的坐标.【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD，∠D＝∠ABC＝90°，证明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，推出∠GAE＝∠EAF，证明△GAE≌△FAE，得到EF＝GE，据此求解；

（2）在DF上截取DM＝BE，证△ABE≌△ADM，得AE＝AM，∠EAB＝∠DAM，同理△AEF≌△AMF，得到EF＝FM，据此证明；

（3）在DF上截取DM＝BE，同（2）可证EF＝DF-BE，求出DF的值，然后根据勾股定理求解即可.【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，推出∠BCG=∠DCE，证明△BCG≌△DCE，得到BG=DE，连接BE，由平行线的性质可得∠DCG=∠BDC=45°，证△BCG≌△BCE，得到BD=BG=BE=DE，推出△BDE为等边三角形，求出BE、DE、BC的值，过点D作DI⊥BE于点I，求出BI、DI的值，△BDE、△BCD的面积，据此求解；

（2）过点M作MN⊥BD于点N，由（1）知：△BDE为等边三角形，∠DBC=∠BDC=45°，进而求得∠CDE、∠MBN的度数，易得BM=2MN，DM=MN，据此解答；

（3）以CM为边向左侧作等边△MCQ，连接PQ，则QM=MC，由等边三角形的性质得∠PMN=60°，PM=MN，证明△PMQ≌△NMC，得到∠PQM=∠NCM=90°，过点M作MH⊥PD于点H，则四边形PQMH是矩形，求出BC、DM、PH、HD的值，进而可得DP的值.【解析】【分析】（1）①由矩形的性质可得∠B=∠BAD=90°，AB=CD=5，AD=BC=7，由角平分线的概念可得∠BAM=∠BMA=45°，则BM=AB=5，然后根据线段的和差关系进行求解；

②过点M作MH⊥AD于点H，由等腰三角形的性质可得∠MND=∠MDN，进而推出∠EDP=∠CDM，由平行线的性质可得∠DMH=∠CDM=∠EDP，推出DM=DE，进而证明△PED≌△CMD；

（2）过点F作FR⊥BC于点R，设AB=CD=a，则AB=BM=a，AM=AD=a，BC=AD=a，CM=BC-BM=()a，由全等三角形的性质可得PE=CM=()a，由等腰直角三角形的性质可得AE=()a，进而推出四边形CRFH是矩形，得到∠RFM=∠HFD，证明△FRM≌△FHD，推出四边形CRFH是正方形，则CM+CD=CR-RM+CH+DH=2FH，据此求解.【解析】【分析】（1）①由A、B的坐标结合AE=3OE可得OA=4，OE=1，据此可得点E的坐标，设直线BE的解析式为y=kx+1，然后将点B的坐标代入求解即可；

②过点P作PG⊥轴交直线BD于点G，由勾股定理可得AB的值，由AC2=BC2-AB2=AO2+OC2可得OC的值，进而得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点D的坐标，设P（m，m+4），则G（m，m+1），然后表示出PG，根据S△BOD=S△PDB可得m的值，进而得到点P的坐标；

（2）当AM为对角线时，由菱形的性质可得AE=AF=ME=MF，则∠AEF=∠AFE，推出∠ABF=∠EBO，过点F作FH⊥轴于点H，则AF=FH，据此求解；当EM为对角线时，同理可得∠ABF=∠BAE，推出BE=EA，设BE=EA=x，然后由勾股定理求解可得x，延长MF交轴于点I，则OE∥FI，即OE是△BFI的中位线，由中位线的性质可得FI、OI、MI，据此可得点M的坐标；当FM为对角线时，过点F作FJ⊥轴于点J，则BJ=JC，易得点F的坐标，然后由对称的性质可得点M的坐标.【解析】【分析】（1）①作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，然后根据一组邻边相等的矩形是正方形即可；

②过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，根据正方形的性质得出DE=DG，∠EDG=90°，AD=DC，进而根据同角的余角相等得出∠ADE=∠CDG，接着根据SAS证明△ADE≌△CDG，得到AE=CG，证明结论；

（2）根据正方形的性质得出DE=DG，∠EDG=90°，根据同角的余角相等得出∠ADE=∠CDG，接着根据SAS证明△ADE≌△CDG，得到∠DCG≌△DAC；

（3）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明△ADE≌△CDG，得到∠ACG=90°即∠GCE=90°，根据勾股定理求解即可；【解析】【分析】（1）直线y＝kx+8k，求出y=0时的x的值，即得点A坐标；

（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点D与x轴的平行线于点N，证明△BMA≌△AND（AAS），可得AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，即得点D（﹣2，﹣8），利用待定系数法求出BC的解析式；

（3）分两种情况：①当AB是边时，点A向右8个单位向上6个单位得到点B，同样，点M（P）向右8个单位向上6个单位得到点P（M），且AB＝BP（AB＝BM），进而求解；②当AB是对角线时，由中点坐标公式和AM＝BM，据此求解即可.【解析】【解答】解：（1）∵点P的横坐标为m，∴，，故答案是：，；【分析】（1）由于PM⊥x轴，点P与M点的横坐标均为m，然后代入解析式中，即可求出点P、M坐标；

（2）过点作于点，可得，，利用的面积为，列出方程，求解即可；

（3）分两种情况：①当以OC为对角线时，②当以为对角线时，据此分别构造菱形，画出草图，利用菱形的性质及勾股定理分别解答即可.【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得∠ADE=∠CDE，AD=CD，根据SAS可证△ADE≌△CDE，可得∠DAE=∠DCE；

（2）EC⊥MC，理由：根据直角三角形的性质可得MC=MG=MF，证明∠ECM=90°即可；

（3）过点E作EH⊥AD于H，设EH=x，先求出∠G=30°，再求出∠DAE=30°，根据直角三角形的性质可得AE=2EH=2x，AH=x，在Rt△EHD中，∠ADE=45°，可得DH=EH=x，从而得出DE=x，根据AD=AH+DH建立方程，求出x值即可.【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AD=DC，∠ADB=∠CDB，然后证明△ADP≌△CDP，据此可得结论；

（2）由正方形的性质可得∠ADP=∠CDP=45°，根据垂直的概念可推出∠DPE=45°，则PE=DE，由已知结合勾股定理可得PE的值，由全等三角形的性质可得∠DCP=∠DAP=30°，则PC=2，推出四边形PFCE是矩形，据此解答.【解析】【解答】解：问题2：如图，连接BE，设BE与AC交于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE=．故答案为：．【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，再利用勾股定理求解即可；

（2）找到点D关于AC的对称点B，再连接BE，用勾股定理求解即可；

（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，；

（4）利用两点之间的距离公式求解即可；

（5）过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP，再利用勾股定理求解即可。【解析】【解答】（3）由（2）可知△BED和△CDG是等边三角形，

∴BE=DE=BD，CD=DG=CG，

∵DE=2AE，AE=CD，BE=BD，

∴AB=3AE即=2，

∴BE=BD=DE=4，

由（1）可知四边形AEDG是平行四边形，

∴CD=DG=CG=AE=2，DG∥AB，

过点D作DM⊥AB于M，过点G作GN⊥DE于N，过点C作CH⊥AB于H，CH交DG于L，如图3

∴CL⊥AB

∴BM=ME=BE=2

∵△ABC是等边三角形，

∴BH=AB=3

在Rt△BCH中

∴

同理可得：CL=

∴AM=AE+ME=2+2=4，

在Rt△ADM中

;

∴S平行四边形AEDG=S△ABC-S△BDE-S△CDG

=

=;

∴DE·NG=

在Rt△MDE中

∴NG=

在Rt△DNG中

∴EN=ED-DN=4-1=3，

在Rt△ENG中

.

故答案为：，.

【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠A=∠B=∠C=60º，利用平行线的性质可推出∠2=∠C=60º，利用轴对称的性质可求出∠3的度数，从而可证得∠1=∠3，然后利用平行线的判定定理，可证得DG∥AE，由此可证得结论.

（2）利用等边三角形的判定和性质可证得DG=DC=GC，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用菱形的性质可证得AE＝BE＝BD＝CD＝CG＝GA，由此可推出ΔAEG≌ΔEDG