天津市和平区2022年九年级上学期期末数学试题解析版

九年级上学期期末数学试题一、单选题1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法错误的是（）A．开口向下B．当x>1时，y随x的增大而减小C．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）D．当x＝1时，y有最小值43．如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（）A．45° B．30° C．20° D．15°4．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的条件有（）①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；②∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，，A′C′＝9cm，B′C′＝6cm；③AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；④△ABC与△A′B′C′是有一个角为80°等腰三角形A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．35°7．把形状完全相同风景不同的两张图片全部从中剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取两张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为（）A． B． C． D．8．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．5 B． C． D．9．如图，在平行四边形中，F是上一点，且，连结并延长交的延长线于点G，则的值为（）A． B． C． D．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A． B．C． D．11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，）C．（﹣，） D．（﹣，2）12．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）．①二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上②当x＜2时，y随x的增大而增大，则m=2③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2其中，正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题13．已知正六边形的周长是24，则这个正六边形的半径为．14．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷一次小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是．15．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．16．如图，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，∠PMQ=45°，∠PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ=．17．已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为．三、解答题18．如图（1）如图①，AB，CD是⊙O的两条平行弦，OE⊥CD交⊙O于点E，则弧AC弧BD（填“>”，“<”或“=”）；（2）如图②，△PAB是⊙O的内接三角形，OE⊥AB交⊙O于点E，则∠APE∠BPE（填“>”，“<”或“=”）；（3）如图③，△PAB是⊙O的内接三角形，∠QPA是它的外角，在弧AP上有一点G，满足PG平分∠QPA，请用无刻度的直尺，画出线段PG．（不要求证明）19．（1）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；（2）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．20．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．21．已知AB是⊙O直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线PC交AB的延长线于点P，D为弧AC上一点，连接BD，BC，DC．（1）如图①，若∠D=26°，求∠PCB的大小；（2）如图②，若四边形CDBP为平行四边形，求∠PCB，∠ADC的大小．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为s．（1）用含t的式子表示：AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，cm2，cm2；（2）当△PBQ的面积为32cm2时，求运动时间；（3）四边形APQC的面积能否等于72cm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．23．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x＋4090每天销量（件）200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元[（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.24．（1）如图①，△PAM是等边三角形，在边PM上取点B（点B不与点P，M重合），连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC，连接BC，MC．①△MAC可以看作△PAB绕点逆时针旋转（度）得到的；②∠PMC=（度）．（2）如图②，△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，在边PM上取点B（点B不与点P，M重合），连接AB，将线段AB绕点A旋转，得到线段AC，旋转角为α，连接PC，BC．①当α=90°时，若△PBC的面积为1.5，求PB的长；②若AB=，求△PBC面积的最大值（直接写出结果即可）．25．已知抛物线（m为常数），点A（-1，-1），B（3，7）．（1）当抛物线经过点A时，求抛物线解析式和顶点坐标；（2）抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，①求抛物线的解析式；②在直线AB下方的抛物线上有一点E，过点E作EF⊥x轴，交直线AB于点F，求线段EF取最大值时的点E的坐标；（3）若抛物线与线段AB只有一个交点，求m的取值范围．

答案解析部分1．【答案】A【知识点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：B、C、D三个选项的图形旋转180°后，均不能与原来的图形重合，不符合题意，A选项是中心对称图形．故本选项符合题意．故答案为：A．【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可.2．【答案】D【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：，，开口向下，故A不合题意；当时，y随x的增大而减小，故B不合题意；令可得，解得：，，抛物线与x轴的交点坐标为和，故C不合题意；∵对称轴为，顶点坐标为，当时，y有最大值，最大值为4，故D符合题意．故答案为：D．【分析】由于y＝﹣（x﹣1）2+4中a=-1＜0，可知抛物线开口向下，由解析式可得对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4），再求出y=0时x的值，即得抛物线与x轴的交点坐标，据此逐一判断即可.3．【答案】B【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；相交两圆的性质【解析】【解答】解：连接O1O2，AO2，O1B，∵O1B=O1A∴∵⊙O1和⊙O2是等圆，∴AO1=O1O2=AO2，∴△AO2O1是等边三角形，∴∠AO2O1=60°，∴∠O1AB=∠AO2O1=30°．故答案为：B．【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可求出△AO2O1是等边三角形，可得∠AO2O1=60°，根据圆周角定理可得∠O1AB=∠AO2O1=30°.4．【答案】C【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：（1）∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°．∴∠B＝65°．∵∠C＝∠C′，∠B＝∠B′．∴．（2）∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，，A′C′＝9，B′C′＝6．∴，．∴．（3）∵AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；∴．∴．（4）∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故答案为：C．【分析】根据①有两组角对应相等的两个三角形相似，②两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，③三边对应成比例的两个三角形相似，据此逐一判断即可.5．【答案】A【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题【解析】【解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．∵该抛物线过点（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-．∴y=-（x-1）2+3．∵当x=0时，y=-（0-1）2+3=-+3=，∴水管应长m．故答案为：A

【分析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，可设顶点式为y=a（x-1）2+3，将（3，0）代入解析式中求出a值即得解析式，再求出x=0时的y值即可.6．【答案】C【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得△ADE，∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠AEC=50°，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE=50°，∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，故答案为：C．【分析】由旋转的性质可得∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，由平行线的性质可得∠DAE=∠AEC=50°，由AE=AC可得∠AEC=∠ACE=50°，利用三角形的内角和求出∠EAC=80°，根据∠BAE=∠EAC-∠BAC即可求解.7．【答案】B【知识点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得：由图可得，共有12种等可能的结果，其中摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的结果共有4种，∴摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：，故答案为：B．

【分析】利用树状图列举出共有12种等可能的结果，其中摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的结果共有4种，然后利用概率公式计算即可.8．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；切线的性质；切线长定理【解析】【解答】解：连接OF，OE，OG，∵AB、BC、CD分别与相切，∴，，，且，∴OB平分，OC平分，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：D．

【分析】连接OF，OE，OG，根据切线的性质及切线长定理可得，由平行线的性质可得，从而求出，利用勾股定理求出BC=5，然后根据即可求出OF.9．【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：根据题意，∵四边形是平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△DGF，∴，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CGE，∴；故答案为：C．【分析】由四边形是平行四边形，可证出△ABF∽△DGF，再利用平行线分线段成比例的了即可解决问题。10．【答案】C【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象【解析】【解答】解：∵，∴函数图象过，排除D；∵，，∴，排除A；由选项B可知，，对称轴，得，与矛盾，排除B，故答案为：C．【分析】二次函数y＝ax2+bx+c中，由于，，可知函数图象过，a＞0，据此排除A、D；由选项B可知，利用对称轴可求出b＜0，与矛盾，故排除B，从而得解.11．【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．∵B（-2，0），C（-1，0），B′（1，0），A′（2，-3）∴OB=2，OC=OB′=1，OF=2，A′F=3，∴BC=1，CB′=2，CF=3，∵△ABC∽△A′B′C，∴，∴，∵∠ACE=∠A′CF，∠AEC=∠A′FC=90°，∴△AEC∽△A′FC，∴，∴，∴，∴，故答案为：C．

【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．由已知点的坐标可求出BC=1，CB′=2，CF=3，由位似图形知△ABC∽△A′B′C，利用相似三角形的性质可求，证明△AEC∽△A′FC，可得，据此求出，从而求出，继而得出点A坐标.12．【答案】B【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：①证明：图象的顶点为（m，-m+1），设顶点坐标为（x，y），则x=m，y=-m+1，∴y=-x+1，即顶点始终在直线y=-x+1上，①符合题意；②，对称轴，当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而增大，，②不符合题意；③与点在函数图象上，，，，∵x1＜x2，x1+x2＞2m，，，∴，③不符合题意．故答案为：B．【分析】①求出二次函数的顶点坐标，即可验证；②抛物线的对称轴为x=m，由于抛物线开口向下，可知当时，y随x的增大而增大，结合已知可得，据此判断即可；③将点A、B坐标代入二次函数解析式中求出，从而求出，由于x1＜x2，x1+x2＞2m，可得，据此即可判断.13．【答案】4【知识点】正多边形的性质【解析】【解答】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，又∵正六边形的周长为24，∴正六边形边长为24÷6=4，∴正六边形的半径等于4．故答案为4．【分析】正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，据此解答即可.14．【答案】【知识点】概率公式【解析】【解答】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，∴朝上一面的数字出现偶数的概率是，故答案为：．【分析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可．15．【答案】2【知识点】圆锥的计算【解析】【解答】扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2【分析】圆锥的弧长等于底面周长．16．【答案】【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：如图，连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，在中，，∵M为AB的中点，∴∵，∴，，∵在中，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴在中，，∴，∴．故答案为：．【分析】连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，由勾股定理求出AB=4，由等腰直角三角形的性质可得CM⊥AB，∠1=∠2=45°，从而得出，可求，在中，，可求.易求，由于=，据此求出DQ的长，利用AQ=AD+DQ即可求解.

17．【答案】3【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，∴对称轴为直线x==b，∵抛物线经过不同两点，，∴A、B两点关于直线x=b对称，∴，∴，∵该二次函数的图象与x轴有公共点，∴△==≥0，∴≥0，即-4（b-2）2≥0，∴b=2，∴c=b-1=1，∴=3，故答案为：3

【分析】求出抛物线的对称轴为直线x=b，由于A、B两点关于直线x=b对称，可得，求出.由于该二次函数的图象与x轴有公共点，可得△≥0，据此求出b=2，代入求出c值即可.18．【答案】（1）=（2）=（3）解：如图所示：连接AD、CB交于点H，连接HO并延长交于点G，连接PG，即为所求，【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；线段垂直平分线的判定【解析】【解答】解：（1）如图所示：连接AO，BO，CO，DO，∵，，∴，∴OE平分，，∴，，∴，即，∴，故答案为：=；（2）如图所示：连接OA、OB，∵，∴，∴，∴，，∴，故答案为：=；(3)∵，根据图可得：即，由垂径定理可得：点H在线段AB、CD的垂直平分线上，连接HO并延长交于点G，则点G恰好平分，即点G恰好平分与所对的圆周角的和，∴PG即为所求．

【分析】（1）连接AO，BO，CO，DO，由平行线的性质求出，根据弧、弦、圆心角的关系可得，，从而求出，即得；

（2）连接OA、OB，由垂径定理可得，即得，根据圆周角定理可得，，即可求解；

（3）连接AD、CB交于点H，连接HO并延长交于点G，连接PG，即为所求.19．【答案】（1）解：，，则，整理得：，解得：；（2）证明：把化为一般形式：，，故无论m为何值，4m2+1永远大于0，则方程总有两个不相等的实数根．【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；

（2）先将方程化为一般式，可求出△，根据即可判断.20．【答案】（1）证明：为的中点，，∴，，∴，∴，；（2）解：为中点，，由（1）得：，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，．【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形【解析】【分析】（1）由D为弧BC的中点可得，即得，由OD=OB，可得∠DAB=∠ADO，从而得出，根据平行线的判定即证；

（2）由垂径定理可得，，再求出△DOE、△OGA是等腰直角三角形，可得，从而求出AC的长.21．【答案】（1）解：连接CO，∵，∴，∵，∴，∵PC与相切，∴，∴；（2）解：连接CO，AC，∵四边形CDBP为平行四边形，∴，∵AB为直径，∴，即，∵PC与相切，∴，即，∴，∵，∴，则，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；∴，．【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质【解析】【分析】（1）连接CO，由圆周角定理可得由OB=OC可得∠BCO=∠OBC=64°，由切线的性质可得，根据即可求解；

（2）连接CO，AC，由平行四边形的性质可得，根据圆周角定理、切线的性质及余角的性质可求出，，从而得出=，由圆周角定理及三角形外角的性质可得，，即得，由OB=OC可得即得，继而得出.22．【答案】（1）2t；12-2t；4t；-4t2+24t；4t2-24t+114（2）解：解得：或4，即当秒或4秒时，的面积是；（3）解：所以当t为3时的面积最小，最大小面积是．故四边形APQC的面积不能能等于72cm2．【知识点】三角形的面积；一元二次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题【解析】【解答】解：（1）根据题意得：cm，cm，所以cm，∵，∴，∵∴故答案为：，，，；

【分析】（1）根据路程=速度×时间，可求出cm，cm，从而求出BP=AB-AP=12-2t，根据即可求解；

（2）根据△PBQ的面积为32cm2建立方程，求出t值即可；

（3）利用（1）结论，将四边形APQC的面积解析式化为顶点式，即可求解.23．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，，当50≤x≤90时，，综上所述：.（2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.（3）解：解，结合函数自变量取值范围解得，解，结合函数自变量取值范围解得所以当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．【知识点】分段函数；二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案.（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案.（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于4800，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．24．【答案】（1）A；60；120（2）解：①当线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AC，连接CM，∴∠BAC=90°，AB=AC，∵△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，∴∠APM=∠AMP=45°，PM=2=4，∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC=90°，∴∠PAB=∠MAC，∴△PAB≌△MAC(SAS)，∴∠APM=∠AMC=45°，PB=MC，∴∠PMC=∠AMP+∠AMC=90°．∴△PBC的面积=PBMC=PB2=1.5，解得：PB=(负值已舍)；当线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC1，连接C1P，同理可得△MAB≌△PAC1(SAS)，∴∠AMB=∠APC1=45°，BM=PC1，∴∠MPC1=∠APM+∠APC1=90°．∴△PBC1的面积=PBPC1=PB(4-PB)=1.5，整理得：PB2-4PB+3=0，解得：PB=3或1；综上，PB的长为3或1或；②(3+)【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：（1）①∵△PAM是等边三角形，∴PA=AM，∠PAM=∠APM=∠AMP=60°，∵线段AC是线段AB绕点A逆时针旋转60°得到的，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC=60°，∴∠PAB=∠MAC，∴△PAB≌△MAC(SAS)，∴△MAC可以看作△PAB绕点A逆时针旋转60（度）得到的，②∵△PAB≌△MAC，∴∠APM=∠AMC=60°，∴∠PMC=∠AMP+∠AMC=120°．故答案为：①A，60；②120；（2）②过点A作AD⊥PM于点D，∵△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，∴AD=PD=DM=2，∵AB=，∴BD=，∴PB=2+1=3，∵线段AC是线段AB绕点A逆时针旋转得到的，∴线段AB旋转到DA延长线上时，△PBC的面积取得最大值，如图：∴△PBC面积的最大值=PBCD=PB(AC+AD)=3+．

【分析】（1）①根据SAS证明△PAB≌△MAC即可判断；利用全等三角形的性质可得∠APM=∠AMC=60°，从而得出∠PMC=∠AMP+∠AMC=120°．

（2）①分两种情况：当线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AC，连接CM，可得∠BAC=90°，AB=AC，证明△PAB≌△MAC(SAS)，可得∠APM=∠AMC=45°，PB=MC，从而得出∠PMC=∠AMP

+∠AMC=90°根据△PBC的面积=PBMC=PB2=