2022考研数学一真题及答案

#J"xsinxdx=2冗，兀所以J"(x一acosx-bsinx)2dx=—"3+(a2+b2)一4"b2所以就相当于求函数a2+b2-4b的极小值点，显然可知当a=0,b=2时获得最小值，所以应该选〔A〕.0aa0b00b5.行列式等于0cd0c00dA〕(ad-bc)2〔B〕-(ad-bc)2C〕C〕a2d2-b2c2D〕-a2d2+b2c2详解】0a0c=-ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=-(ad-bc)2应该选〔B〕.6.设a,a,a是三维向量，那么对任意的常数匕l，向量a+ka,a+la线性无关1231323是向量ai,a2,a3线性无关的〔A〕必要而非充分条件〔C〕充分必要条件〔B〕充分而非必要条件D〕非充分非必要条件【详解】假设向量巴,a2，a3线性无关，那么a+ka，a+la〕1323=(a,a,a)01230、1=(ai，a2'OK，对任意的常数k，l，矩l丿阵K的秩都等于2,所以向量巴+ka3，«2+la3定线性无关.无关，但a,a,a线性相关；应选择〔A〕.123时’对任意的常数kI'向量巴+k3,7.设事件A,B想到独立，P(B)=0.5,P(A-B)=0・3那么P(B—A)=(〕〔A〕0.1〔B〕0.2〔C〕0.3〔D〕0.4【详解】P(A一B)=0・3=P(A)一P(AB)=P(A)一P(A)P(B)=P(A)-0・5P(A)=0・5P(A).所以P(A)=0・6,P(B—A)=P(B)-P(AB)=0・5-0・5P(A)=0・2.应选择〔B〕.8．设连续型随机变量X,X互相独立，且方差均存在，X,X的概率密度分别为1212f(x),f2(x)，随机变量Y］的概率密度为fY(y)=2(f(y)+f(y))，随机变量Y=1(X+X)，那么2212〔A〔A〕EY>EY,DY>DY1212〔C〕EY=EY,DY<DY1212⑻EY=EY,DY=DY1212〔D〕EY=EY,DY>DY1212【详解】EY1=2J+8y(f(y)+f(y))dy=2Gx1+EX2Le(Y2)，8EY-2=2“？2(f-(y)+小网=2EX+2EX2，DY=E(Y2)-E2(Y)=-EX2+-EX2--E2(X)--E2(X)--E(X)E(X)11121224142212=-D(X)+-D(X)+-E(X-X》>-D(X)+-D(X)=DY414241241422故应该选择〔D〕.二、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上9.曲面z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为

【详解】曲面z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在点(1,0,1)处的法向量为(,z,一1)=(2,-1,-1)，所以切平面方程为2(x一1)+(-1)(y一0)+(-1)(z-1)=0,xy(1,0,1)即2x-y-z-1=0.10.设f(x)为周期为4的可导奇函数，且/，(x)=2(x一1),xg，那么TOC\o"1-5"\h\zf⑺=.【详解】当xg10,2]时，f(x)=j2(x-1)dx=x2-2x+C，由f(0)=0可知C=0,即f(x)=x2-2x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)=f(-1)=f(1)=1.11•微分方程xy'+y(lnx一lny)=0满足y(1)=e3的解为.【详解】方程的标准形式为ylny，这是一个齐次型方程，设u=y，得到通解为dxxxxy=xeCx+1，将初始条件y(1)=e3代入可得特解为y=xe2x+112.设L是柱面x2+y2=1和平面y+z=0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，那么曲线积分fzdx+ydz=Ldydz【详解】由斯托克斯公式Jdydz【详解】由斯托克斯公式JPdx+Qdy+Rdz=Jf2LSdxPdzdxa

勿QJzdx+ydz=JJdydz+dzdx=JJdxdy=JJdxdy=“.LTOC\o"1-5"\h\zSSDxyIx2Ix2+y2<1}y+z=0.取上侧，Dx2+y2<1xy13设二次型f(x1,x2,七)=x12-送+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是】，那么a的取值范围.【详解】由配方法可知f(x,x,x)=x2-x2+2axx+4xx123121323=(x+ax)2-(x-2x)2+(4-a2)x213233由于负惯性指数为1,故必需要求4—a2>0，所以a的取值范围是I一2,2]

14.设总体X的概率密度为f(x,e)=\釜,e<xv2e,其中e是未知参数,I0,其它X1，X2，，X.是来自总体的简单样本’假设C5是e2的无偏估计’那么常数i=1【详解】E(X2)=J【详解】E(X2)=J20X2eii=1i=1=—e2,所以ECX2=Cn-e2,由于cLii=1i=152e2的无偏估计’故52=1，C=五三、解答题15.〔此题总分值10分〕Jx(t2(et—1)-1)dt求极限lim—1-x_+8x2ln(1+—)x【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法那么求未定型极限【详解】Jx(Jx(t2(et—1)—t)dtlim丄-一—+8x2ln(1+—)xJx(t2(et—1)—t)dt=lim—丄=lim(x2(ex—1)—x)xs=limfx2(丄+—*—+。(丄)一xx^lx2x2x2丿16．〔此题总分值10分〕设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值.【详解】解：在方程两边同时对x求导一次，得到(3y2+2xy+x2)y'+(y2+2xy)=0dy

dx一y2dy

dx3y2+2xy+x2

令=o及y3+可2+X2y+6=0，得到函数唯一驻点x=1,y=一2.dx在〔1〕式两边同时对x求导一次，得到〔(6yy'+4y+2xy*+4x)y'+(3y2+2xy+x2)y"+2y=04把x=1,y=一2,y'(l)=0代入，得到y"(1)=->0，所以函数y=f(x)在x=1处获得极小值y=-2.17.〔此题总分值10分〕Q2zd2z设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足+=(4z+excosy)e2x.假Qx2Qy2设f(0)=0,f*(0)=0，求f(u)的表达式.【详解】矿-用siny,设u=excosy，那么z=f(u)=f(ex矿-用siny,=f'(u)excosy,QxQ2z=f"(u)e2xcos2y+f'(u)excosy；Qx2=f"(u)e2xsin2y一f'(u)excosy；Qy2Q2zQ2Q2zQ2zX+詁=广如2x=f"(excosy)e2xQ2z由条件亦+Q2zQy2=(4z+excosy)e2x，可知f"(u)=4f(u)+u这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.对应齐次方程的通解为：f(u)=Ce2u+Ce-2u其中C,C为任意常数.1212对应非齐次方程特解可求得为y*=-4u.故非齐次方程通解为f(u)=Ce2u+C2e-2u-4u.

将初始条件f(°)=o,f'(o)=0代入，可得q=16,c2=-16所以f(妨的表达式为/(“)=16e2—16e-2u-4u，18．〔此题总分值10分〕设曲面E:z=x2+y2(z<1)的上侧，计算曲面积分：JJ(x一1)3dydz+(y一1)3dzdx+(z一1)dxdyE【详解】(z=1设E:彳［取下侧，记由E,E1所围立体为Q，那么高斯公式可得1Ix2+y2<11JJ(x一1)3dydz+(y一1)3dzdx+(z一1)dxdy=-JJJ(3(x一1)2+3(y-1)2+1)dxdydz=-JJJ(3x2+3y2+7-6x一6y)dxdydz=-JJJ(3x2+3y2+7)dxdydz=-GdoJ1rdrJ1(3r2+7)dz=-4k00r2D(x-1)3dydz+(y-1)dzdx+(z-1)dxdy=fj(1-1)dxdy=0,E1EE1jj(x一1)3dydz+(y一1)3dzdx+(z一1)dxdyEJJ(x-1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z-1)dxdy=一4兀E+E]19．〔此题总分值10分〕设数列%｝满足0设数列%｝满足0va<K,0<b<K，cosa一a=cosb且级数b收敛.n2nnn2nn=1(1)证明lima=0；nsn戶a2)证明级数收敛.n=1n兀v-可得兀v-可得〔1〕证明：由cosa-ann=cosb，及0〔1〕证明：由cosa-annnn2n0va=cosa一cosbv，所以0vavbv,nnn2nn2由于级数刀b由于级数刀bnn=1收敛，所以级数£a也收敛,nn=1由收敛的必要条件可得lima=0.inTOC\o"1-5"\h\z冗冗〔2〕证明：由于0VaV,0vbV,n2n2.a+ba+b.b一a,b-a所以sin—nn<—nn,Sin—nn<—nn2222a+b.b-a2sin—nnsin—nnacosa—cosb22—n=nn=bbbnnna+bb-a2―nnnn-22b2—a2b2b—nn——nb2b2b2nnn由于级数£b收敛，由正项级数的比拟审敛法可知级数收敛.nbn=1n=1n20.〔此题总分值11分〕"1-23-4、设A=01一11E为三阶单位矩阵.,1203丿求方程组AX=0的一个根底解系；求满足AB=E的所有矩阵.【详解】〔1〕对系数矩阵A进展初等行变换如下:""0一23-4、""0一23-4、rr0一23-4、r1rr0001、A=1一11T1一111一11T10一2",1203>r,04一31>r,001一3>r,001一3>得到方程组AX=0同解方程组得到得到AX=0的一个根底解系g1=xx=-x14x=2x24x=3x3〔2〕显然B〔2〕显然B矩阵是一个4x3矩阵，设B=(x1x2x3Ix4y1y2y3y4z、z2z3z>4r1-23r1-23-4100、r1-23-4100、(AE)=01-11010T01-11010<1203001><04-31-101丿r1-23-4100、q00126-1、01-11010T010-2-1-31<001-3-1-41><001-3-1-41>对矩阵(AE)进展进展初等行变换如下:rx、1x2'2、-1+c(-1、2，P11(6I-3+c(-1、2，(zI1z2(-1、1+c(-1、2x-113y-423z133333Ix丿3><1>Iy丿<0><1><zQ<0><1>由方程组可得矩阵B对应的三列分别为即满足AB=E的所有矩阵为其中其中c1,c2，C3为任意常数•21．〔此题总分值11分〕B=2-B=2-c1-1+2c1-1+3c1c16-c2-3+2c2

-4+3c2-1-c、31+2c31+3c3c丿3证明n阶矩阵‘1…1、...1‘0…0…相似．1…1]'0…01证明n阶矩阵‘1…1、...1‘0…0…相似．1…1]'0…01]‘11…1，B=‘0…021…1丿<0…0n丿0…0【详解】证明：设A=分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：|XE-A\=九-1-1-1九一1-1-1=（九一n）九n-l,-l-1…九一1所以A的n个特征值为九1=n,九2巳=…九n二°；而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化.且A~0丿0…-1九…一2=（九一n）九n-10…九一n所以B的n个特征值也为九1=n，九2巳=…入n=°；对于n一1重特征值九=0，由于矩阵（0E一B）=-B的秩显然为1,所以矩阵B对应n一1重特征值九=0的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B—定可以对角化，且B~0丿‘11…1]（0…01]11…10…02从而可知n阶矩阵-•与-•11…11丄丄丄丿、0…0n丿相似．22．〔此题总分值11分〕

设随机变量X的分布为P(X=1)=P(X=2)=2,在给定X=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U(0,i),i=1,2.求Y的分布函数；求期望E(Y).【详解】〔1〕分布函数F(y)=P(Y<y)=P(Y<y,X=1)+P(Y<y,X=2)=P(Y<y/X=1)P(X=1)+P(Y<y/X=2)P(X=2)=-(P(Y<y/X=1)+P(Y<y/X=2))2当y<0时，F(y)=0；当0<y<1时,当1<y<2时，F(y)=2+22=4y+当y>2时，F(y)=1.所以分布函数为F(y)F(y)=\,y<003-y4丿y4_4丿、1,y>2,0<y<144，0<y<11,1<y<2，4’〔2〕概率密度函数为f(y)=F,(y)=<0其它E(Y)=J1ydy+f2ydy=0414423.〔此题总分值11分〕

x2设总体x的分布函数为F(碎)彳1-旷o,兀、0，其中e为未知的大于零的参数,

、0,x<0X,X，…,X是来自总体的简单随机样本，12n〔1〕求E(X),E(X2)；〔2〕求e的极大似然估计量.〔3〕是否存在常数a，使得对任意的£>0,都有limM0-a、£>=0.〔3〕是否存在常数a，使得对任意的£>0,都有limM0-a、£>=0.nT8【详解】〔1〕先求出总体X的概率密度函数2xf(x,e)=4药x2e_e,x>0，0,x<0f2x2xLEX=J+8_^e0eedx=-J+8xde=一xe1+8+J+®edx=；000f2x3EX2=严一0ex21fxL1fit一edx=J+8x2e"edx2=J+8t