应力状态分析

应力状态分析第1页/共118页2复杂应力状态下的强度条件？c,d点:单向应力；a点处:纯剪切；b点:s,t

联合作用，如何建立强度条件？§8-1引言工字梁的横力弯曲第2页/共118页3

螺旋桨轴组合变形的应力:FFMA微体A第3页/共118页4构件的开裂外因：不同方位应力不同（本章研究）

内因：材料的强度（下一章研究）结构与构件失效原因探讨第4页/共118页5通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态

应力状态应变状态构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的应变状态研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础xyzyxdxdydzxxyy本章研究内容、目的与方法第5页/共118页6§8-2平面应力状态应力分析xyzyxdxdydzxxyy微体仅有四个面作用有应力；

应力作用线均平行于不受力表面；什么是平面应力状态？xyzdz问题：已知x

,y,x

,y,求任意平行于z轴的斜截面上的应力。平面应力状态的应力分析微体有一对平行表面不受力的应力状态。由此推断第6页/共118页7

应力分析的解析法：微体中取分离体平衡。符号规定：—拉伸为正；—使微体顺时针转者为正

—以x轴为始边，指向沿逆时针转者为正xyxxxyyynyxdAxy第7页/共118页8建立在静力学基础上，与材料性质无关。换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。应力转轴公式的适用范围？是否与材料性质相关？应力转轴公式（斜截面上的应力公式）第8页/共118页9解：问可取何值（x轴向左）例求图示，已知单位：MPa第9页/共118页10一、应力圆§8-3应力圆在平面上，的轨迹？应力转轴公式应力转轴公式形式变换应力圆第10页/共118页11—坐标系下的圆方程圆心坐标：半径：o(x+y)/2R结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆

——应力圆第11页/共118页12二、应力圆的绘制及应用o(x+y)/2R绘制方法1：为半径作圆为圆心，以缺点：需用解析法计算圆心坐标和半径没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系第12页/共118页13ostsxtxsytyC(sx+sy)/2F(sx-sy)/2绘制方法2（实际采用）分析设x面和y面的应力分别为故DE中点坐标由于为圆心，DE为直径。DE第13页/共118页14同理：ostsxtxDsytyEC(sx+sy)/2sH2a02aH(sa,ta)tHF(sx-sy)/2绘图：以ED为直径，C为圆心作圆

面应力：考察H点应力第14页/共118页15点面对应：微体截面上的应力值与应力圆上点的坐标值一一对应。应力圆点与微体截面应力对应关系HC第15页/共118页16

二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角变化的两倍，且二者转向相同。

微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端

微体平行对边,对应应力圆同一点2aC第16页/共118页17

几种简单受力状态的应力圆xx单向受力状态xy纯剪切受力状态oR=x双向等拉ox/2R=x/2CoC第17页/共118页18

绘制应力圆两例AABBo(A,A)(B,B)o(0,)(0,-)2(-)第18页/共118页19§8-4平面应力状态的极值应力与主应力一、平面应力状态的极值应力思考：如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力？最大与最小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？第19页/共118页20§8-4平面应力状态的极值应力与主应力一、平面应力状态的极值应力第20页/共118页21思考：对于平面应力：是否一定存在正应力为零的截面？切应力最大的截面，与正应力最大截面夹角多大？是否一定存在切应力为零的截面？正应力最大与最小的截面，切应力有什么性质？第21页/共118页22

二、主应力

主平面－切应力为零的截面主应力－主平面上的正应力主应力符号与规定－主平面微体－相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体（按代数值排列）第22页/共118页23应力状态分类:

单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态

二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态

三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态复杂应力状态:

二向与三向应力状态

三、纯剪切状态的最大应力

第23页/共118页24圆轴扭转时滑移与剪断发生在tmax的作用面：圆轴扭转时断裂发生在smax

的作用面：例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：第24页/共118页25解：1.解析法例试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向单位：MPa第25页/共118页26例试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向1.解析法(续)问题：哪一个解是正确的？根据对应切应力所指方向可判断的方向又解：试比较两个求的公式第26页/共118页27（2）量A、B两点坐标，BD’的方位角得2.图解法（1）在 坐标系画上两点，联结DE，以DE为直径作应力圆第27页/共118页28思考题：试分析下列平面应力杆件中A，B两点的应力A点零应力状态，应力圆为位于圆点的点圆B点应力集中第28页/共118页29作业8-28-48-5请用坐标纸作图第29页/共118页30xyxxxyyynyxdAxy平面应力转轴公式上一讲回顾第30页/共118页31应力圆的画法：确定x面和y面的应力坐标点D、E以DE为直径作应力圆。应力圆点与微体面对应关系极值应力应力应力圆与极值应力第31页/共118页32§8－5复杂应力状态的最大应力实际工程构件和结构通常处于复杂应力状态第32页/共118页33微体AFt分析：截取微元体三向应力状态。对复杂应力状态，我们最关注什么？如何研究？例：火车通过时，导轨面一点的应力分析第33页/共118页34一.三向应力圆（1）三组特殊的平面应力对应于三个应力圆：平行平面，由, 作应力圆；由, 和, 分别作应力圆（2）三向应力圆第34页/共118页35结论：任意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内（3）任意斜截面的应力与三向应力圆对应关系第35页/共118页36二.最大与最小应力位于与和均成的截面第36页/共118页37例图示单元体最大切应力

作用面是图______单位：MPa答：第37页/共118页38例试作图示平面应力状态微体的三向应力圆单位：MPa第38页/共118页3930E(40,30)D(120,-30)

②

作三向应力圆例试作图a所示微体三向应力圆,计算微体的解：①作图b所示平面应力微体的应力圆主应力与第一主应力方位。单位：MPaxyz分析：垂直于z轴的平面是一个主平面stO130-30第39页/共118页40③计算微体的和主应力i)图解法

由图量得(单位：MPa）单位：MPa思考：三向应力圆的三个圆分别代表分别代表微体那组特殊平面的应力？极值应力对应于微体哪个方位？在哪个圆上量取？30E(40,30)D(120,-30)stO130-30第40页/共118页41ii)解析法单位：MPaxyz思考：下述计算是否正确？左面计算的是平行于z轴截面的极值应力，不一定是微体最大最小应力。③

计算微体的和主应力第41页/共118页42ii)解析法（单位：MPa)单位：MPaxyz3）计算微体的和主应力对于垂直于z轴的截面极值应力微体最大最小应力微体主应力第42页/共118页434)求方位i)图解法最大主应力发生在哪个平面？单位：MPaxyz发生在xy平面30D(120,-30)stO130-30D’(120,30)直接测量得

（在xy平面）第43页/共118页444)求方位i)图解法ii)解析法单位：MPaxyz30D(120,-30)stO130-30D’(120,30)直接测量得：

（在xy平面）第44页/共118页45§8－6平面应变状态应变分析平面应力与平面应变状态的工程实例拦水坝：平面应变状态qq薄板：平面应力状态第45页/共118页46应力平面应变状态：构件某点的变形均平行于某一平面平面应变的应力：在垂直于该平面的方向存在正应力平面应变状态的定义及对应的应力第46页/共118页47一、平面应变状态下任意方位的应变分析已知应变ex,ey与gxy，求a方位的应变ea

与ga

使左下直角增大之g

为正规定：

方位角

a

以x

轴为始边，为正第47页/共118页48分析要点：叠加法切线代圆弧仅考虑仅考虑仅考虑第48页/共118页49单独考虑应变问题：

?如果，怎么计算？答：可利用的解析公式计算。第49页/共118页50分别考虑和第50页/共118页51叠加法求应变转轴公式第51页/共118页52小结：

平面应变转轴公式：

互垂方位切应变：互垂方位的切应变数值相等，正负符号相反

上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关。适用范围：第52页/共118页53平面应力转轴公式与平面应变转轴公式规律的相似性平面应力转轴公式平面应变转轴公式应力圆~应变圆对应关系第53页/共118页54二、应变圆对比应力圆第54页/共118页55三、最大应变与主应变(1）应力圆与应变圆对照第55页/共118页56三、最大应变与主应变(2）最大与最小应变最大应变方位角第56页/共118页57切应变为零方位的正应变称为主应变一点的三主应变方位两两互垂主应变表示：e1e2e3主应变三、最大应变与主应变(3）第57页/共118页58解：由应变转轴公式例:已测得求 ， 与联立求解上述三个方程，得：第58页/共118页59作业8-88-108-11请用坐标纸作图第59页/共118页60上一讲回顾1.三向应力的极值应力2.绘制三向应力圆第60页/共118页613.应力圆与应变圆对照对应关系第61页/共118页62§8-7各向同性材料的应力、应变关系一、广义胡克定律（1）胡克的实验装置RobertHooke(1635~1703)，英国科学家。少时热爱制作活动玩具与画图，18岁在牛津基督教堂充当唱诗班指挥员，27岁获得工艺学硕士，之后致力于显微术，29岁成为Gresham学院的几何学教授。他一生中完成大量的实验、发明与新仪器。其中著名成果包括：历史回顾（1）：

载荷大小与变形的关系；弹性能概念；万有引力与惯性的概念；光的横向振动；梁弯曲实验中纵向纤维的变形。第62页/共118页63试弓定力图—东汉一、广义胡克定律（2）历史回顾（2）：中国古代的相关科学成就与应用时间：发展水平：力学知识的综合应用（胡克定律，杠杆原理遗憾：没有上升到科学理论第63页/共118页64一、广义胡克定律（3）单向拉伸：复杂应力状态：为什么？如何分析？第64页/共118页65xyxyxxxyyy研究方法：利用叠加原理，由单向受力和纯剪状态的胡克定律推导复杂应力状态的广义胡克定律。xxyy=++第65页/共118页66xxxyyy讨论：对于平面应力微体第66页/共118页67平面应力状态的广义胡克定律三向应力状态的广义胡克定律以上结果成立的条件：各向同性材料；线弹性范围内；小变形.或第67页/共118页68zyx123二、主应力与主应变的关系123第68页/共118页69yx45°45yx-45各向同性材料弹性常数之间的关系：弹性常数：E，G，相互独立？已知：x=0；y=0；xy=,xy=/GoR=x45-45第69页/共118页70单向受力一、回顾：应变能密度的概念：单向受力应变能密度单向受力体应变能：§8-8复杂应力状态下的应变能单位体积内的应变能，第70页/共118页71二、应变能密度的一般表达式（1）单向受力纯剪切ydyxzdzdxxyz，dzdydx

单向受力与纯剪应力状态下的应变能密度第71页/共118页72123dxdydz三向应力状态下的应变能密度（对主应力微体）：广义胡克定律应变能密度：对于非主应力微体：二、应变能密度的一般表达式（2）第72页/共118页73123dxdydz(略去高阶小量)1.体应变(微体的体积变化率)三、体应变与畸变第73页/共118页74dxdydztdxdydzt2.体应变与畸变比较畸变发生畸变的主应力微体体应变第74页/共118页75平均应力应力偏量123avavav1-av3-av2-av=+3.任意应力状态分解为平均应力与应力偏量应力偏量的平均应力为零第75页/共118页76123dxdydz4.平均应力与体应变关系由广义胡克定律第76页/共118页77avavav1-av3-av2-av体积改变能密度，即平均应力的应变能密度：畸变能密度总应变能密度：令上式注意到左边微体有四、体积改变能与畸变能密度第77页/共118页781.对于主平面微体，应变能密度对于非主平面微体，应变能密度是否为2.对于主平面微体，平均应力

对于非主平面微体，平均应力是否为思考题：第78页/共118页79答：不等于，漏了剪切应变能。1.对于非主平面微体，应变能密度是否等于2.

对于非主平面微体，平均应力是否等于ostsxtxDsytyEC(sx+sy)/2sH2a02aH(sa,ta)tHF(sx-sy)/2答：等于。2倍s轴圆心坐标，3维情形根据转轴公式证第79页/共118页80xyxxxyyynyxdAxy本章内容回顾平面应力转轴公式于平面应变转轴公式（物理含义不同）第80页/共118页81平面应力转轴公式与平面应变转轴公式（数学上一一对应）

平面应变转轴公式：

平面应力转轴公式：对应关系第81页/共118页82应力圆与应变圆对照应力圆的画法：确定x面和y面的应力坐标点D、E以DE为直径作应力圆。应变圆的画法：自行补充重点应力圆第82页/共118页83平面应力状态的应力圆、极值应力与主应力第83页/共118页84最大与最小应变平面应变状态的应力圆、极值应变与主应变一点的三主应变方位两两互垂主应变e1e2e3对于一个各向同性材料，应力主平面与应变主平面重合第84页/共118页85任意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内三向应力圆最大应力与主应力第85页/共118页86三向应力状态的广义胡克定律各向同性材料弹性常数之间的关系：第86页/共118页87avavav1-av3-av2-av体积改变能密度，即平均应力的应变能密度：畸变能密度总应变能密度：

总应变能密度=体积改变能+畸变能密度第87页/共118页88例:(8-21)

测得构件表面求:分析：构件表面处于什么应力状态？解题步骤：2.由广义胡克定律计算1.由应变转轴公式计算

习题解析第88页/共118页89解：1.由应变转轴计算第89页/共118页90解：

2.由广义胡克定律计算第90页/共118页91例:刚性块D=5.001mm凹座，内放d=5mm刚性圆柱体，F=300kN,E=200GPa, ,无摩擦，求圆柱体主应力。解：设圆柱体胀满凹座问题：如果和计算结果为正，怎样处理？0由对称性，可设由广义胡克定律第91页/共118页92第92页/共118页93例：如右图所示，已知＝160MPa，＝－40MPa，薄板(厚度t＝10mm)上画有一半径R＝100mm的圆。试：（1）求应变x,y,z

OR(2)

求

30,30/120

（沿与x轴成30o和120o方向）(3)计算板厚改变量t,圆面积改变量A(4)

若板上画有与圆面积相等得任意形状图形,

求此图形变形后的面积变化第93页/共118页94OR根据广义胡克定律：解：（1）求应变x,y,z第94页/共118页95解:（i）由应变转轴公式（单位：MPa）(2)

坐标系转动30o，求

30,30/120

思考：能否不用应变转轴公式计算

30,30/120

第95页/共118页96然后由广义胡克定律(2)

坐标系转动30o，求

30,30/120

解：（ii）由应力转轴公式（应力单位：MPa）第96页/共118页97ORt=zt=-1.510-410=-1.510-3mm所画圆变形后成为椭圆,长短半轴a,b分别为a=(1+x)R,b=(1+y)R,A圆=ab-R2(x+y)

R2=(8.510-4-410-4)100=14mm2

O(3)计算板厚改变量t,圆面积改变量A解：板厚改变量思考:如何求任意形状区域面积改变量?第97页/共118页98(4)

若板上画有与圆面积相等得任意形状图形,求此图形变形后得面积变化OdA解：考虑微面积dA在加载后的改变量dA=(x+y)dA所以总的面积改变量为:思考:如何求任意区域体积改变量?第98页/共118页99(5)计算max,max1,12,2解：对于各向同性板，沿平行于X,Y,Z坐标系轴截出的微体为主应力微体,又为主应变微体思考题:(i)如果y也为正值,max如何计算?所在面方位如何?(ii)自行总结本例题对应的平面应变问题max=

1=x=8.510-4max=x-y=12.510-4第99页/共118页100作业8-168-208-22第100页/共118页101“虎”式武装侦察直升机

NH90中型运输直升机

复合材料已经大量用于制造飞机的零部件§8-9复合材料的应力、应变关系第101页/共118页102首个全尺寸复合材料整体机身段(波音)TAG-M65、TAG-M80战术航宇集团(TAG)

复合材料钢筋第102页/共118页103复合材料制造的体育用品第103页/共118页104第104页/共118页105第105页/共118页106第106页/共118页107第107页/共118页108

复合材料的定义：由两种或两种以上材料在宏观尺度上组成的材料。

复合材料的基本特点：1、通常由基体材料和增强材料组成；3、宏观上呈现各向异性。2、不同组