小专题复习课（四）立体几何

小专题复习课（四）立体几何热

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热点一：空间几何体的表面积与体积的计算问题1.此类问题常以三视图为载体，通常是给出某几何体的三视图，要求考生求解该几何体的表面积或体积2.试题以选择题、填空题为主，考查学生的计算能力，属中档题热

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报热点二：有关线、面位置关系和命题真假的判断1.此类问题涉及知识面广，综合性强，通常是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质2.试题以选择题的形式出现，考查学生的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力热点三：空间位置关系的证明1.此类问题多以多面体为载体，考查线线、线面、面面间的平行与垂直之间的相互转化2.试题多为解答题，考查学生的推理能力和空间想象能力热

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报热点四：折叠问题1.此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面的位置关系及有关计算2.试题以解答题为主，考查学生的空间想象能力和知识迁移能力热点五：空间向量在立体几何中的应用

1.此类问题多以多面体(棱柱、棱锥)为载体，考查空间位置关系的证明及空间角的求法，特别是线面角和二面角的求法2.试题多以解答题的形式出现，主要考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力热

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报热点：空间几何体的三视图1.此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合命题2.试题多以选择题或填空题的形式出现，主要考查学生的空间想象能力及运算能力，属中档题热点一

空间几何体的表面积与体积的计算问题1.(2013·济南模拟)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的表面积是()(A)(80+)cm2(B)84cm2(C)(96+)cm2

(D)96cm2【解析】选A.由三视图可得该几何体是正四棱锥与正方体的组合，S表面积＝2.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积为()(A)cm3(B)70πcm3(C)cm3(D)100πcm3【解析】选A.由三视图可知，该几何体上部是一个圆台，下部是一个半球，故其体积为故选A.3.(2013·株洲模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积是()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC，其中平面ADC⊥平面ABC，△ADC为等边三角形.取AC的中点为E，连接DE，BE，则有DE⊥AC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥EB.由图中数据知AE=EC=EB=1，设此三棱锥的外接球的球心为O，则它落在高线DE上，连接OA，则有所以故球O的半径为故所求几何体的外接球的表面积故选B.4.(2013·岳阳模拟)某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是()(A)(B)(C)6(D)4【解析】选A.由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，以正方体的上面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积为故选A.热点二

有关线、面位置关系和命题真假的判断1.设l,m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()(A)若l⊥m,m⊂α,则l⊥α(B)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(C)若l∥α,m⊂α，则l∥m(D)若l∥α,m∥α,则l∥m【解析】选B.根据线线、线面位置可知，A中l可在α内或者与α相交但不垂直或者l与α平行，C中l与m也可以垂直或异面，D中l与m也可以异面或相交.故选B.2.(2013·长沙模拟)设α，β，γ为平面，l，m,n为直线，则m⊥β的一个充分条件为()(A)α⊥β,α∩β=l,m⊥l(B)n⊥α,n⊥β,m⊥α(C)α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ(D)α⊥γ,β⊥γ,m⊂γ，m⊥α【解析】选B.如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l,都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错；由n⊥α,n⊥β,得α∥β.又m⊥α,则m⊥β，故B正确.3.(2013·武汉模拟)设α,β为两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，给出下列命题：①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；③若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β;④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.其中所有真命题的序号是_______.【解析】若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,①是假命题；②中的n与m可以垂直，假命题；③中n⊥β，或n⊂β,或n与β相交，但不垂直，或n∥β，假命题；④是真命题.答案:④热点三

空间位置关系的证明1.如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=.(1)求证：AF∥平面BCE.(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.(3)求此多面体的体积.

【解析】(1)取CE的中点P，连接FP，BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=DE.又AB∥DE，且AB=DE，∴AB∥FP，且AB=FP，∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.又∵AF平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵AD=AC，F是CD的中点，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD.又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.(3)此多面体是一个以C为顶点，以四边形ABED为底面的四棱锥，又AF=AC=AD=2，AF⊥CD，∴CD=2，∴△ACD为等边三角形.S四边形ABED=平面ABED⊥平面ADC，∴等边三角形ACD中AD边上的高就是四棱锥的高，∴2.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA1上的一点.(1)求证：CD⊥平面ACE.(2)若平面CBE交DD1于点F，求证:EF∥AD.【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以AA1⊥CD，即AE⊥CD.因为AC⊥CD，AE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，AE∩AC=A，所以CD⊥平面AEC.(2)因为AD∥BC，AD⊂平面ADD1A1，BC平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A1.因为BC⊂平面BCE，平面BCE∩平面ADD1A1=EF，所以EF∥BC.因为AD∥BC，所以EF∥AD.热点四

折叠问题1.将如图①所示的直角梯形ABEF(图中数字表示对应线段的长度)沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图②所示.(1)证明：BE∥平面ADF.(2)设M是FB的中点，求证：EM⊥平面BDF.【证明】(1)∵CE∥DF，CE平面DAF，DF⊂平面DAF，∴CE∥平面DAF.又∵BC∥AD，BC平面DAF，AD⊂平面DAF，∴BC∥平面DAF.∵CE∩BC=C，∴平面CBE∥平面DAF.又∵BE⊂平面CBE，∴BE∥平面ADF.(2)取BD的中点O，连接MO，CO.则MO∥FD，且MO=FD⇒EC∥MO且EC=MO⇒四边形MECO为平行四边形⇒ME∥CO.由已知FD⊥DC，平面FDC⊥平面ABCD，平面FDC∩平面ABCD=CD，∴FD⊥平面ABCD，∴FD⊥OC.又易知BD⊥OC，BD∩FD=D，∴CO⊥平面BDF.∴EM⊥平面BDF.2.(2013·吉首模拟)已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E在CD上且CE=1，如图(1).把△DAE沿AE向上折起到D′AE的位置，使二面角D′-AE-B的大小为120°，如图(2).(1)求四棱锥D′-ABCE的体积.(2)求CD′与平面ABCE所成角的正切值.(3)设M为CD′的中点，棱AB上是否存在点N，使MN∥平面D′AE？若存在，试求出点N位置；若不存在，请说明理由.【解析】(1)取AE的中点P，连接DP，D′P,由DA=DE，D′A=D′E⇒DP⊥AE,D′P⊥AE.故∠D′PD=60°⇒△DD′P为等边三角形，D′在平面ABCD内的射影H为PD的中点，∴(2)由题意知∠D′CH即为CD′与平面ABCE所成的角.在三角形CDH中，DH=，CD=3，∠CDH=45°,由余弦定理可得CH=⇒tan∠D′CH=(3)取CE的中点F，连接MF，则MF∥D′E，在平面ABCE内过F作FN∥AE交AB于N，连接MN.又MF∩NF=F，D′E∩AE=E，则平面MFN∥平面D′AE，又MN在平面MFN内，故MN∥平面D′AE，此时AN=EF=CE=，故存在点N使MN∥平面D′AE.热点五空间向量在立体几何中的应用1.如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值.(2)已知F是AD的中点.求证：FB1⊥平面BCC1B1.(3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值.【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),F(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a).(1)∵=(-a,a,a),=(0,0,a),∴即异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为(2)∵=(-a,-a,a),=(-2a,0,0),=(0,a,a),∴∴FB1⊥BB1，FB1⊥BC.∵BB1∩BC=B，∴FB1⊥平面BCC1B1.(3)由(2)知，为平面BCC1B1的一个法向量，设n=(x1,y1,z1)为平面FCC1的一个法向量，又∵=(0,-a,a),=(-a,2a,0).由令y1=1,则x1=2,z1=1,∴n=(2,1,1),∴

即二面角F-CC1-B的余弦值为2.(2013·益阳模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2,点D，E分别是AA1，CC1的中点.(1)求证：AE∥平面BC1D.(2)证明：平面BC1D⊥平面BCD.(3)求CD与平面BC1D所成角的正切值.【解析】(1)在矩形ACC1A1中，由C1E∥AD,C1E=AD，得四边形AEC1D是平行四边形，所以AE∥DC1.又AE平面BC1D，C1D⊂平面BC1D，所以AE∥平面BC1D.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1，而C1D⊂平面ACC1A1，所以BC⊥C1D.在矩形ACC1A1中，从而DC2+DC12=CC12，所以C1D⊥DC，又DC∩BC=C，所以C1D⊥平面BCD，而C1D⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面BCD.(3)方法一:由(2)可知平面BC1D⊥平面BCD，所以，斜线CD在平面BC1D上的射影在BD上，∠BDC即为直线CD与平面BC1D所成的角.又由(2)可知，BC⊥平面ACC1A1，所以，BC⊥CD，所以，三角形BCD是直角三角形，BC=1,CD=所以所求值为方法二：以C1为原点，射线C1A1，C1B1,C1C为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,2),D(1,0,1),C1(0,0,0),B(0,1,2)，则

=(-1,0,1)，=(1，0，1)，=(0，-1，-2).设平面BC1D的一个法向量为n=(x,y,1)，由n

·=0,得x+1=0，由n

·=0,得y+2=0，由以上两式解得x=-1,y=-2,∴n=(-1,-2,1)，设n与的夹角为θ，则即CD与平面BC1D所成角的正弦值为故所求值为热点空间几何体的三视图1.