正余弦定理解三角形教案

--个性化案教师XX学科

数学

学生XX年级

填写时上课时课题名

正余弦理解三角形1．正、余弦定理解三角形．

课时方教学目

2．正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．3.正余弦定理的实际应用〔灵活运用〕教学重1．掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法．难

点

2．正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．【知识梳理】1．正弦定理：

abc＝＝＝2，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变sinAsinBsinC形为：(1)∶∶＝sin

∶sin

；(2)＝2sin_，＝2sin_，＝2sin_

；abc(3)sin＝，sin＝，sin＝等形式，以解决不同的三角形问题．2R2R2R2．余弦定理＝＋cos_

＝－2cos_＝－2cos_

．余弦定理3．

＋－2＋－2＋2－2＝，cos＝，cos＝.可以变形为：cos2bc2ac2ab111abc1＝sin＝sin＝sin＝＝(＋＋)·(三角形外接圆半径eq\o\ac(△,S)2224R2形内切圆的半径)，并可由此计算，.

是三角4.角形内角和为π，故有>0sin)，cos＝－cos(5.角形大边对大角，或者说大角对大边。即：假设>,

,sin

A>sin

B知一推二-word.zl-

--6.弦值(不是的情况下，对应角度有两个，而余弦值与角度一一对应。【常考考点】1．考察利用正、余弦定理解任意三角形的方法．2．考察利用正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．3.余弦定理的实际应用〔灵活运用〕【解题关键】1．三角函数及三角恒等变换的根底．2．正弦定理、余弦定理实现边角互化理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的正确选择3.利用三角形的判定方法准确判断解三角形的情况。4.角形的边角关系〔大边对大角内角和180度。5．两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如，，，那么A锐角

A钝角或直角图形关系

＜sin

A

＝sin

Asin

＜＜b≥b＞b

≤b式解的无解

一解

两解

一解

一解

无解个数【一条律】在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中＞＞sin

＞sin

.-word.zl-

--【两类题】在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)角及任一边，求其它边或角；(2)两边及一边的对角，求其它边或角．情(2)结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)两边及夹角求第三边和其他两角；(2)三边，求各角．【两种径】根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；角为边，并常用正弦(余弦定理实施边、角转换．双基自1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，＝60°＝75°，，那么c于(A．102106C.D．563

)．解析

由＋＋＝180°，知＝45°，由正弦定理得：

asin

c＝，AsinC即

103

＝

c2

.∴＝

1063

.22答案Csin2．在△ABC中，假设a

AcosB＝，那么B值为()．bAB．45°C．60°D．90°解析

由正弦定理知：sinsin

Acos＝Asin

B，∴sinB

＝cos，＝45°.答案B3．(2011·XX联考)在△＝3，＝1，＝2，那么A于()．-word.zl-

--ABC．60°D．75°解析

＋－21＋4－31由余弦定理得：cos＝＝＝，2bc2×1×22∵0＜π，∴＝60°.答案C14．在△ABC中＝32，＝23，cos＝，那么△ABC的面积为(．3A．23C3D.31解析∵cos＝，0＜＜π，3∴sin

22＝，3∴S

1＝sinABC2122＝×32×23×＝43.23答案C5．△ABC三边满足2＋＝－3，那么此三角形的最大内角为________．解析∵＋2－＝－3

，2＋－23∴cos＝＝－，2ab2故＝150°为三角形的最大内角．答案150°考点一

利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中＝3，＝2，＝45°.求角，C边.[审题视点]两边及一边对角或两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判-word.zl-

断．解

--ab32由正弦定理得＝，＝，sinAsinBsinAsin45°∴sin

＝

32

.∵＞，∴＝60°或＝120°.当＝60°时，＝180°－45°－60°＝75°，＝

sinsin

C6＋2＝；B2当＝120°时，＝180°－45°－120°＝15°，＝

sinC6－2＝.sinB2(1)角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．π【训练1】(2011·)在△ABC中，假设，∠＝，tan＝2，那么sin4＝________.

＝________a解析

因为△ABCtan

＝2，所以A锐角，且

sincos

A＝2，sin2＋cos2，A25联立解得sin＝，5再由正弦定理得

ab＝，sinAsinB代入数据解得＝210.答案

255

210-word.zl-

2-2-考点二

利用余弦定理解三角形cosBb【例2】►在△ABC中、、c别是角、、C的对边，且＝－.cosC2＋c(1)求角B大小；(2)假设＝13，＋＝4，求△ABC的面积．[审题视点]由

coscos

Bb＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．C2＋c解(1)余弦定理知：cos

＋－2＝，2accos

＋－2＝.2ab将上式代入

cosBb＝－得：cosC2＋c2＋－22ab·＝－2ac＋－22

b，＋c整理得：＋2－＝－.2＋－2－ac1∴cos＝＝＝－.2ac2ac22∵B为三角形的内角，∴＝π.3(2)将＝13，＋＝4，2＝π代入＝＋cos3

，得＝(＋)－2－2cos

，∴13－2-word.zl-

∴

--133＝sin＝.eq\o\ac(△,S)24(1)据所给等式的构造特点利用余弦定理将角化边进展变形是迅速解答此题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】，，CABC的三个内角，其所对的边分别为，，，A且2cos＋cos＝0.2(1)求角A值；(2)假设＝23，＋，求△ABC的面积．A解(1)2cos＋cos，2得1＋cos＋cos，即cos

1＝－，22π∵0＜π，∴＝.3(2)由余弦定理得，＝2＋－2cos

2π，＝，3那么＋)－，又＝23，＋＝4，有12＝42－，那么，故

1＝sineq\o\ac(△,S)2

＝3.考点三

利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中，假(＋)sin(－)－)sin，试判断△ABC的形状．[审题视点]首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解

由(2＋)sin(

－)＝(－2)sin

，-word.zl-

--得[sin(

－)＋sin

]＝2[sin

－，即sin

cos

＝cos

sin

，即sin2sincos＝sincossin，所以sin＝sin2，由于，B三角形的内角．故0＜2＜2π＜2π.故只可能2

＝2B2

＝π，π即＝B＝.2故△ABC为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的根本思想是；利用正、余弦定理进展边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC中，假设

abc＝＝；那么△ABC是()．cosAcosBcosCA直角三角形B等边三角形C钝角三角形D．等腰直角三角形解析

由正弦定理得＝2sin

，sin

，＝2sin

(RABC外接圆半径)．sinAsinBsinC∴＝＝.cosAcosBcosC即tan＝tan＝tan，∴＝＝.答案B-word.zl-

--考点四

正、余弦定理的综合应用π【例3】►在△ABC中，内角，，C边的边长分别是，，，＝2，＝.3(1)假设△面积等于3，求，；(2)假设sin

＋sin(－)＝2sin2

，求△ABC面积．[审题视点]第(问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于的方程组求解；第(2)问根据sin

＋sin(－)＝2sinA进展三角恒等变换角的关系转换为边的关系出边，b的值即可解决问题．解(1)余弦定理及条件，得＋－＝4.1又因为△ABC的面积等于3sin2

＝3＝4方程组＝4，

解＝2，得＝2.(2)由题意，得sin(

＋)＋sin(

－)＝4sin

cos

，即sin

cos

＝2sin

cos

.当cos

ππ＝0，即＝时，＝，26＝

4323，＝33

；当cos

≠0时，得sin

＝2sin

，由正弦定理，得＝2.联立方程组＝2，-word.zl-

3433-3433-解得

23＝，.123所以△ABC的面积＝sin＝.23正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中过解方程组获得更多的元素通过这些新的条件解决问题．【训练3】(2011·西城一模)设△ABC的内角C对的边长分别为，且4＝，＝2.5(1)当＝30°时，求a值；(2)当△ABC面积为3时，求＋c值．

B解(1)为cos

43＝，所以sin＝.55aba10由正弦定理＝，可得＝，sinAsinBsin30°35所以＝.313(2)因为△面积＝·sin，sin＝，253所以＝3，10由余弦定理得2＝2＋－2cos

，8得4＝＋－＝＋－16即2＋＝20.5所以(＋)－2＝20＋)＝40.所以＋＝210.-word.zl-

--——无视【问题诊断】考察解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全〞的情况，其主要原因就是无视三角形中的边角条件,【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【例如】►(2011·)在ABC中c

分别为内角C对的边长＝3＝，1

)＝0，求边BC的高．错因

无视三角形中“大边对大角〞的定理，产生了增根．实录

由1＋2cos(

)＝0，1π知cos＝，∴＝，23根据正弦定理

asin

b＝Asin

得：Bsin

sin＝a

A＝

2π3π，∴＝或.244以下解答过程略．正解∵在△ABCcos(＝－cos，∴1

π)＝1－2cos＝0，∴＝.3ab在△ABC中，根据正弦定理＝，sinAsinBsinA∴sin＝＝a

22

.π5∵＞，∴＝，∴＝π＋)＝π.412∴sin

＋)

cos

＋cossin

A-word.zl-

--21236＋2＝×＋×＝.22224∴BC上的高为sin

＝2×

6＋23＋1＝.42【试一试】ABC的三个内角C对的边分别为sinb(1)求；a(2)假设2＝＋32，求.[尝试解答](1)正弦定理得，sinsin＋sincos2＝2sin，即

sin

＋cos＝.sin

(sin2)＝2sin

.故sin

＝2sin

b，所以＝2.a(2)由余弦定理和2＝2＋3

，得cos

＝

1＋32c

a.由(1)知2＝2，故＋3).12可得cos＝，又cos＞0，故cos＝，所以＝45°.22【固习1,B,ba

b,则角等

2

,

,

bcosBa

3A,B

,

asinBBcos

12

b,a则-word.zl-

--25364ABC,