2018第一学期工科物理热学

§5.4

能量按自由度分配的统计规律主要内容：3.理想气体的内能1.分子的自由度2.能量按自由度均分定理5.4.1分子的自由度自由度数：确定一个分子的空间位置所需要的独立坐标数目.刚性分子：分子内原子之间的距离保持不变的分子.分子种类平动自由度t转动自由度r总自由度

i＝t＋r单原子分子303刚性双原子分子325刚性三原子以上分子336说明⑴分子的自由度不仅取决于其内部结构，还取决于温度。(2)实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还有振动自由度。但在常温下将其分子作为刚性处理，能给出与实验大致相符的结果，因此可以不考虑分子内部的振动，认为分子都是刚性的。*非刚性双原子分子具有3个平动自由度，2个转动自由度，1个振动自由度。“常温”下气体分子一般采用刚性模型:

单原子分子

i=3; 双原子分子

i=5非直线多原子分子

i=6“高温”下振动模式及能量不可忽略单原子分子

i=3; 双原子分子

i=6非直线三原子分子

i=9一般多原子分子i=3N5.4.2能量按自由度均分定理每个平动自由度的平均平动动能为由于沿x,y,z三个方向运动的概率均等，有在温度为T

的平衡态下，物质(气体、液体和固体)分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其值为这一结论称为能量按自由度均分定理.一个分子的平均平动动能为单原子分子、刚性双原子分子、刚性多原子分子的平均总动能分别为.能量按自由度均分定理是大量分子无规则热运动的能量所遵从的经典统计规律.分子的平均总动能与自由度数有关.(2)(3)

(1)说明

有局限性：低温下需要用量子理论.

(4)

若某气体分子的自由度是i,能否说每个分子的能量都等于ikT/2?每个气体分子的平均势能为每个气体分子的平均热运动总能量为

若某种气体分子具有t个平动自由度和r个转动自由度，s个振动自由度，每个气体分子平均总动能为令i=t+r+2s气体分子的平均总动能等于气体分子的平均总能量。即为对于刚性分子刚性双原子分子:单原子分子:刚性多原子分子：气体的内能：包括气体中所有分子的热运动动能、分子内原子间振动势能、分子间相互作用势能的总和.

5.4.3理想气体的内能理想气体的内能：气体内所有分子的动能和分子内原子间振动势能的总和.1mol刚性分子理想气体的内能为

质量为m、摩尔质量为Mmol的理想气体的内能为刚性分子理想气体的内能：气体内所有分子的动能的总和。对于一定质量m的某种理想气体,内能与温度成正比且仅是温度的单值函数.(1)

(2)

(3)说明理想气体的内能与气体分子的自由度数有关,与气体的摩尔数有关.气体的温度发生变化ΔT时，气体的内能的改变量为内能变化与过程无关，内能是气体宏观状态的单值函数，简称为态函数.理想气体的摩尔热容热量Q：因温度不同，系统与外界经边界交换的能量。比热容c：单位质量的物体在温度升高(或降低)1K时所吸收(或放出)的热量，与过程有关。热容C：物体质量与比热容的乘积Mc。

对质量M气体有：摩尔热容：1mol气体在温度升高(或降低)时吸收(或放出)的热量，与过程有关。定体摩尔热容：实验表明：单原子气体和双原子气体，理论－实验符合较好；多原子气体，偏差较大；低温和高温时，偏差较大，需用量子理论修正。

刚性双原子分子:单原子分子:刚性多原子分子：（1）由于相同质量的均匀球体绕中心轴的转动动能是与半径平方成正比,单原子分子转动动能是非单原子分子转动动能的10-10。双原子分子的转动自由度中有一个自由度是通过两个原子中心的连心线转动的自由度，与其他转动动能之比也是10-10

。（2）常见的双原子分子理想气体的振动自由度都处于冻结状态。讨论：每个原子的质量都集中在半径为10-15m的原子核上，而分子的线度为10-10m。其半径之比为10-15m/10-10m=10-5倍。双

一辆高速运动卡车突然刹车，试问卡车上的氧气瓶静止下来后，瓶中氧气的压强和温度将如何变化?讨论：高速的x方向定向运动动能通过分子之间的频繁碰撞逐步平均分配到y、z方向的自由度以及其他自由度上去。达到平衡态时，能量达到均分，温度上升，压强升高。分析：氦气定向运动动能全部转化为分子热运动动能，温度升高△T习题一容器内某理想气体的温度为273K，密度为ρ=1.25g/m3，压强为

p=1.0×10-3atm(1)气体的摩尔质量，是何种气体？(2)气体分子的平均平动动能和平均转动动能？(3)单位体积内气体分子的总平动动能？(4)设该气体有0.3mol，气体的内能？解例求由结果可知，这是N2或CO气体。(1)由，有(2)平均平动动能和平均转动动能为(3)单位体积内气体分子的总平动动能为(4)由气体的内能公式，有混合后内能不变§5.5

气体分子数按速率分布的统计规律主要内容：4.麦克斯韦速率分布的实验验证3.与分子速率有关的物理量的统计平均值1.速率分布函数2.麦克斯韦速率分布律5.5.1速率分布函数

定义:速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比称为速率分布函数,用f(v)表示.dN/N表示单个分子速率取值在v～v＋dv区间内的概率；f(v)表示单个分子速率取值在速率v附近单位速率间隔内的概率.设一定量的气体(总分子数为N)在给定的温度下处于平衡态,把速率分成许多相等的区间，若速率分布在某一速率区间v～v＋dv内的分子数为dN，则dN/N表示分布在这一速率区间内的分子数占总分子数的百分比.5.5.2麦克斯韦速率分布律1.麦克斯韦速率分布函数1859年麦克斯韦从理论上导出平衡状态下气体分子速率分布函数(1)该函数给出的是一种统计平均结果.某一时刻某个分子的速率有大有小，是偶然的.但对大量分子的总体而言，在平衡态下，分子速率遵从麦克斯韦速率分布律.(2)f(v)的物理意义是：速率v附近单位速率区间分子数占总分子数的百分比，且满足归一化条件.(4)分布函数仅适用由大量分子构成并处于平衡状态的理想气体系统.(3)分布函数与物质的种类—分子质量、温度有关.说明2.麦克斯韦速率分布曲线速率分布曲线下的总面积(速率分布函数的归一化条件)在v1~v2区间的曲线下面积曲线下的窄条面积元函数曲线形象地反映了平衡态下理想气体分子按速率的分布情况.X的概率分布函数：概率分布函数也具有归一性：所以，随机变量x的平均值:对任意物理量G=G(x),其平均值:——随机变量x-x+dx内的数值的概率（概率密度）(1)当v→0

和v→∞时，

f(v)→0

速率很大和很小的分子数占总分子数的比率都很小，具有中等速率的分子数占总分子数的比率却很大.

3.麦克斯韦速率分布曲线的特征(2)分布函数存在一个极大值，与极大值对应的速率称为最概然速率.

由求极值的条件可求得(最概然速率)(3)曲线直观地反映出温度和分子质量对速率分布的影响.f(v)vOT2(T1<T2<T3)T1T3m1m2(m1>m2)vf(v)o温度降低时,

vp减小，曲线变得较为凸起;分子质量减小时,vp增大，曲线变得较为平坦.讨论：若容器为恒温器，则速率分布不变。讨论：由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变。若氢气瓶为一绝热容器，情况又如何？在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。大气层中为什么氢气比氧气要少?30有N个粒子，其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子数解例求(1)由归一化条件得O(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子数与总分子数的比率，所以因此，v>v0

的分子数为(2N/3)同理v<v0

的分子数为(N/3)的分子数与总分子数的比率为5.5.3与分子速率有关的物理量的统计平均值1.最概然速率2.平均速率与分子速率v

有关的任意力学量g(v)

的统计平均值例如：碰撞、输运问题速率分布3.方均根速率在相同条件(T、m

或Mmol相同)下:20040060080010001200

v(m/s)f(v)(10-3s/m)vvp2.01.00.00分子热运动能量,如何变化?例在温度为300K时，空气中速率在(1)vp附近；(2)10vp附近，速率区间Δv＝1m/s

内的分子数占分子总数的比率是多少？麦克斯韦速率分布为解式中vp为最概然速率当T=300K时，空气分子的最概然速率为(1)在v=

vp附近，Δv＝1m/s内单位速率区间的分子数占分子总数的比率为(2)在v=10vp

附近，Δv＝1m/s

的速率区间内的分子数占分子总数的比率为105mol空气中的总分子数N=6.02×1023×105

，在vp附近，Δv=1m/s

区间内的分子数为

在10vp

附近，Δv=1m/s

区间内的分子数为讨论分子出现在vp

附近的概率最大

解题思路利用麦克斯韦速率分布律处理实际问题是本章的难点与重点，正确理解和掌握速率分布函数与麦克斯韦分布律的物理意义是关键.例如表示平衡态下，处在速率间隔v～v＋dv

内的分子数占总分子数的比率表示平衡态下，处在速率间隔v～v＋dv

内的分子数表示平衡态下，处在速率间隔v1～v2内的分子数.

典型的问题有以下几类：1.根据麦克斯韦分布律求在某速率区间内的分子数.速率区间很小时，可用2.已知速率分布函数，求与速率有关的任意物理量的统计平均值5.5.4麦克斯韦速率分布的实验验证

麦克斯韦速率分布律1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上导出，由于技术条件的限制，直到20世纪初才获得实验验证.1920年，斯特恩（Stern,O.1888~1969）第一次用实验证实了麦克斯韦速率分布的正确性.

验证麦克斯韦速率分布的实验装置及数据(1)能通过细槽到达检测器D

的分子所满足的条件(2)通过改变角速度ω的大小，选择速率v

密勒－库士实验：与实验曲线相符(3)通过细槽的宽度，选择不同的速率区间月球大气月球没有大气层：由于月球的重力加速度只有地球的1/6，月球的直径是地球的0.27，所以月球表面上的逸出速率为2380

m/s.任一气体分子通过碰撞在不断地改变速率大小，月球在数十亿年的演化过程中几乎全部的大气分子都能超过逸出速率而纷纷逸出月球。地球上有大气，所以会发生大气的分子散射现象，因而白天看到地球的天空是蓝色的。但是月球没有大气层，月球的天空始终是黑色的。由于月球上没有大气，再加上月面物质的热容量和热导率又很低，因而月球表面昼夜的温差很大。组成太阳大气的原子以等离子体出现，即由质子和电子所组成。太阳大气中的速度比较高的粒子可以逃逸出去，形成以200~800

km/s的速度由太阳径向向外运动的等离子体流。太阳风的密度是非常稀薄而微不足道的，但它刮起来的猛烈程度，却远远胜过地球上的风。在地球上，12级台风的风速是32.5

m/s,而太阳风的风速，在地球附近却经常保持在350~450

km/s。太阳风使彗星绕过太阳时形成长长的向着反太阳方向延伸的彗尾；在地球高纬区看到的多彩的极光现象，也是进入地球磁场的太阳风粒子经加速后在地球大气中沉降产生的。太阳风--20世纪空间探测的重要发现之一当太阳风到达地球附近空间时，太阳风与地球的偶极磁场发生作用，把地球磁场压缩在一个固定区域里，这个区域就叫磁层。地球磁层像一个头朝太阳的蛋形物。由于太阳风的磁感应线和地球的磁感应线是不能相交的，太阳风就不能进入地球磁层内，避免了这些带电粒子对地球的侵蚀，特别是对生命的摧残。太阳大气的扰动，太阳黑子的激烈活动都会通过太阳风传到地球，通过与地球磁场的相互作用，引起一些烈影响人类活动的时间，如通讯卫星失灵、高纬区电网失效，及短波通讯、长波导航质量下降等，还会引起气象和气候的变化。地球磁层-地球生命的第一把保护伞§5.6

分子数按能量分布的统计规律主要内容：1.玻耳兹曼能量分布律2.重力场中微粒按高度的分布5.6.1玻耳兹曼能量分布1.无外力场时分子按动能的分布规律分子数按速率的分布代入速率分布式可得到按动能分布的规律在动能Ek附近单位动能区间内的分子数占总分子数的比率.对于理想气体，麦克斯韦速率分布和按照平动动能的分布是完全等价的。习题2.有外力场时分子按能量的分布规律分子处于保守力场中时，分子能量既有动能又有势能分子动能是分子速度的函数，分子势能一般是位置的函数，分子数按能量分布关系与速度有关，也和空间位置有关.其中n0

表示Ep=0处气体分子的数密度.（玻耳兹曼分子按能量分布定律）(2)玻尔兹曼分布与负指数因子成正比，按照统计分布，分子总是优先占据低能量的状态，即分子处于低能量状态的概率大.(1)麦克斯韦速率分布律不考虑外力场的作用，气体分子在空间的分布是均匀的.但如果有外力场（保守力场）存在，需要考虑分子的势能，分子在空间的分布不均匀.玻耳兹曼给出了气体分子按能量的分布规律.说明(3)玻耳兹曼分布律是一个普遍的规律，它对任何物质微粒(气体、液体和固体分子等)在任何保守力场中的运动都成立.5.6.2重力场中微粒按高度分布根据麦克斯韦速度分布函数的归一化性质则玻耳兹曼分布可以写为：（粒子数密度按势能的分布）分子按势能的分布规律是玻耳兹曼分布律的另一常用形式.如果保守外力场为重力场，势能为

Ep=mgz（z为高度），则(重力场中粒子数密度按高度的分布)将其代入理想气体状态方程有此式称为等温气压公式，对其取对数，可导出高度公式只要测出大气压强随高度的变化，可估算出爬山和航空中上升的高度.拉萨海拔约为3600m

，气温为273K，忽略气温随高度的变化。当海平面上的气压为1.013×105Pa时，由等温气压公式得设人每次吸入空气的容积为V0,在拉萨应呼吸x

次(1)拉萨的大气压强；(2)若某人在海平面上每分钟呼吸17次，他在拉萨呼吸多少次才能吸入同样的质量的空气。=29×10-3kg/mol解例求则有Maxwell-Boltzmann分布律无外力场时，气体内n、p、T处处均匀；有外力场时，气体内n、p不再均匀分布；气体内不同处分子的势能不同。一.重力场中粒子按高度的分布非均匀的稳定分布hh+dh平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为了解比较两式得：——等温气压公式是h=0

处气体的压强其中：Ohn积分得：在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小，m越大，n

减小越迅速；T越高，n

减小越缓慢。二.Boltzmann分布律平衡态下温度为T的气体中，位于空间某一小区间x~x+dx，y~y+dy

，

z~z+dz中的分子数为它适用于任何形式的保守力场式中εp是位于(x,y,z)处分子的势能在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态——Boltzmann分布律适用于任何势场中任何物质的分子及其它微观粒子在麦克斯韦速度分布率中，有一因子三.Maxwell-Boltzmann分布律分子在空间的位置分布由势能决定：即分子按速度的分布由动能决定：故：平衡态下温度为T的气体中,速度在区间vx~vx+dvx

,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz

,且位置在区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内的分子数为——Maxwell-Boltzmann分布律其中是分子的总能量，C是与无关的比例因子。M-B分布律:在温度为T的平衡态下,任何保守系统在某一状态区间的粒子数与该状态区间的粒子能量

有关,且与Boltzmann因子成正比.定义分布函数:——Maxwell-Boltzmann分布函数Maxwell-Boltzmann分布律给出了分子数按能量的分布规律，因此，又称玻耳兹曼能量分布律。根据玻耳兹曼分布律,在重力场中,存在于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz

区间内,具有各种速度的分子数为取z

轴垂直向上，地面处z=0，可得在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A,设柱体中分子数为N.设大气的温度为T,空气分子的质量m.求此空气柱的玻耳兹曼分布律中的n0.解例解得61实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低133.3Pa。试用恒温气压公式验证此结果(海平面上大气压按1.013×105Pa计，温度取273K)。解例等温气压公式将上式两边微分，有§5.7

气体分子平均碰撞频率及平均自由程主要内容：1.气体分子平均碰撞频率2.气体分子平均自由程5.7.1气体分子的平均碰撞频率

气体分子在运动过程中会与其它分子发生频繁的碰撞，每碰撞一次，分子速度的大小和方向都改变，分子运动的轨迹是一迂回的折线.

平均碰撞频率：一个分子在单位时间内与其他分子碰撞的平均次数，用表示.分子以平均速率运动

t

时间内路程：

曲折圆柱体的体积为：

假定只有我们追踪的分子以平均速率运动，而其它分子是静止不动的，

平均碰撞频率的推导曲折圆柱体内总分子数：

考虑其他分子也在运动，气体分子的平均相对速率平均碰撞频率

平均碰撞频率

说明气体单位体积中的分子数越多，分子间的碰撞越频繁.气体分子平均速