统计量及其抽样分布

统计量及其抽样分布演示文稿现在是1页\一共有42页\编辑于星期日（优选）统计量及其抽样分布现在是2页\一共有42页\编辑于星期日§5.2

关于分布的几个概念总体分布与抽样分布渐近分布与近似分布现在是3页\一共有42页\编辑于星期日总体中各元素的观测值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布

(populationdistribution)总体现在是4页\一共有42页\编辑于星期日样本统计量的概率分布，是一种理论分布样本统计量是随机变量如：样本均值,样本比例，样本方差等抽样分布来自容量相同的所有可能样本抽样分布提供了样本统计量稳定的信息，是进行推断的理论基础抽样分布、参数估计、假设检验构成了统计推断的核心抽样分布

(samplingdistribution)现在是5页\一共有42页\编辑于星期日抽样分布

(samplingdistribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本现在是6页\一共有42页\编辑于星期日渐近分布与近似分布精确的抽样分布很难得到，即使得到也很难推广应用；通常把样本量无限增大时统计量的极限分布作为抽样分布的一种近似，称为渐近分布；在精确分布与渐近分布都无法得到的情况下，可以通过随机模拟来获得统计量的近似分布；如：为了得到某个统计量的分布函数，可以进行一系列类似试验得到一组该统计量的观测值，从而近似得到其经验分布函数。现在是7页\一共有42页\编辑于星期日1、2分布2、t分布3、F分布§5.3

三大统计分布现在是8页\一共有42页\编辑于星期日由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)

分别于1875年和1900年推导出来；设，则令，则Y服从自由度为1的2分布，即

当总体，从中抽取容量为n的样本，则2分布

(2

distribution)现在是9页\一共有42页\编辑于星期日2分布

(性质和特点)卡方分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则(U+V)这一随机变量服从自由度为(n1+n2)的2分布其他性质略。现在是10页\一共有42页\编辑于星期日c2分布

(图示)选择容量为n的简单随机样本计算样本方差S2计算卡方值2=(n-1)S2/σ2计算出所有的

2值不同容量样本的抽样分布c2n=1n=4n=10n=20

ms总体例：现在是11页\一共有42页\编辑于星期日现在是12页\一共有42页\编辑于星期日t

分布设X~N(0,1)

，Y~

2(n)，且X，Y独立，则称统计量：服从自由度为n的t分布,记为t

~t

(n)。对于来自于的一个样本，则有：由高赛特()于1908年以Student为笔名的论文中提出。现在是13页\一共有42页\编辑于星期日t分布的形态Xt

分布与正态分布的比较正态分布t分布t不同自由度的t分布正态分布t(df=13)t(df=5)Zt分布现在是14页\一共有42页\编辑于星期日现在是15页\一共有42页\编辑于星期日由统计学家费希尔()

提出的，以其姓氏的第一个字母来命名设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则

称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布

(F

distribution)现在是16页\一共有42页\编辑于星期日F分布

(图示)

不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)现在是17页\一共有42页\编辑于星期日F现在是18页\一共有42页\编辑于星期日§5.4

样本统计量的抽样分布

(一个总体)样本均值的抽样分布样本比例的抽样分布样本方差的抽样分布现在是19页\一共有42页\编辑于星期日样本均值的抽样分布是容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布是一种理论概率分布是推断总体均值的理论基础 当总体分布为正态分布时，样本均值的抽样分布也为正态分布，且有样本均值的均值(数学期望)等于总体均值样本均值的方差等于总体方差的1/n现在是20页\一共有42页\编辑于星期日样本均值的均值（数学期望）样本均值的方差样本均值抽样分布的特征

(数学期望与方差)现在是21页\一共有42页\编辑于星期日样本均值抽样分布的性质

（总体方差已知）=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值也服从正态分布，的数学期望为μ，方差为σ2/n。即～N(μ,σ2/n)现在是22页\一共有42页\编辑于星期日中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布。中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。一个任意分布的总体X现在是23页\一共有42页\编辑于星期日中心极限定理的分布趋于正态分布的过程现在是24页\一共有42页\编辑于星期日样本均值的抽样分布对于任意总体的样本均值，只要n≥30，就有：对其进行标准化，可以变形为：标准化有什么用呢？现在是25页\一共有42页\编辑于星期日中心极限定理的应用【例】某生产商声称其产品寿命服从均值为60个月，标准差为6个月的寿命分布。质监部门为进行检验随即抽取50个产品进行试验。问：假定厂商声称正确，50个产品的平均寿命不超过57个月的概率为多少？【解】首先根据n=50>30，可以按照中心极限定理确定其平均寿命的抽样分布为：现在是26页\一共有42页\编辑于星期日样本均值的抽样标准误差所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度小于总体标准差计算公式为通常称为标准误现在是27页\一共有42页\编辑于星期日样本均值的抽样分布

（总体方差未知）

设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N~(μ,σ2)的一个样本，其中，σ2未知，且小样本情况下称统计量，服从自由度为(n-1)的t分布，即：

那么，大样本情况下会怎样？现在是28页\一共有42页\编辑于星期日样本比例的抽样分布现在是29页\一共有42页\编辑于星期日总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

比例

(proportion)现在是30页\一共有42页\编辑于星期日样本比例的抽样分布容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布，是一种理论概率分布是推断总体比例的理论基础当样本容量很大（np≥5,nq≥5）时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似“足够大”的经验准则：现在是31页\一共有42页\编辑于星期日样本比例的数学期望样本比例的方差故在大样本条件下，样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)现在是32页\一共有42页\编辑于星期日样本方差的抽样分布现在是33页\一共有42页\编辑于星期日样本方差的分布对来自正态总体的简单随机样本，则统计量的抽样分布服从自由度为(n-1)

的2分布即现在是34页\一共有42页\编辑于星期日§5.5

样本统计量的抽样分布

(两个总体)两个样本均值之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布两个样本方差比的抽样分布现在是35页\一共有42页\编辑于星期日两个样本均值之差的抽样分布现在是36页\一共有42页\编辑于星期日两个样本均值之差的抽样分布

m1s1总体1s2

m2总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X2m1-m2抽样分布现在是37页\一共有42页\编辑于星期日两个总体都为正态分布，即，两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和即 于是有：两个样本均值之差的抽样分布现在是38页\一共有42页\编辑于星期日两个样本比例差的抽样分布现在是39页\一共有42页\编辑于星期日两个总体都服从二项分布分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似比例差的数学期望为方差为各自的方