低速空气动力学理论与计算第三章

低速空气动力学理论与计算第三章1第1页，共49页，2023年，2月20日，星期三本章主要内容流场的基本描述方法场观点与粒子观点场观点下的加速度表达方法流线、流管和流面微团的运行学分析散度、旋度、位势平面、空间流场基本控制方程微分形式、积分形式环量与涡环量涡的概念理想流体中的涡2第2页，共49页，2023年，2月20日，星期三引言上一章介绍了一维流动，现在推广到二维和三维空间对流体仍旧使用连续介质假定，并研究它的运动情况及直接关联的物理量（速度、压强、密度、温度等）研究对象的选择研究方法数学工具基本结论3第3页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场的基本描述方法流场描述的两种方法：两种方法的等价关系拉格朗日观点（粒子方法）沿用描述刚体运动的方法：标号（a，b，c，t0）研究每个微团在坐标系（xyz）随时间变化的规律：坐标随时间的变化就是微团的速度，速度随时间的变化就是加速度；微团的坐标、速度、加速度都是（a，b，c，t）的函数这个方法沿袭刚体动力学方法，却不好用，一般不用欧拉观点（场方法）研究空间各点物理量的变化，速度和加速度是指位于某点的微团的速度和加速度上式描述流完整的流动，包含四个独立变量，分别是空间坐标和时间，必须另外赋予意义才能定义诸如dx/dt，d2x/dt24第4页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场的基本描述方法一个布满某种物理量的空间称为场，上面的公式是速度场，还有压力场、密度场、温度场，都是流场机翼导致的流场：空间和时间的函数5第5页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场的基本描述方法欧拉方法的加速度表达式一维流动中已经介绍过加速度的两个组成部分：当地加速度：P(x,y,z)在t时刻流体微团的速度是时间的函数迁移加速度：迁移导致的速度改变加速度：随体导数（物质导数、实导数）D/Dt6第6页，共49页，2023年，2月20日，星期三表征流场的曲线--流线流线的定义：这条曲线上的任何一点曲线的切线都和该点微团的速度方向一致，就是流线在欧拉描述中，场每一点都有速度（大小和方向），那么在某一个瞬间看流场，从某点出发，顺着这一点的速度指向微小距离的邻点，再按邻点同一时刻的速度指向再画一个微小距离，一直画下去就得到一条曲线。流线满足的方程流线上各点的切线与该点流向一致，则流线上的切线的三个余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速的三个分量与合速度所夹的三个角度的余弦相同如果流场各点的速度都知道，但流线没有解析式，可以用流线方程逐点画出流线7第7页，共49页，2023年，2月20日，星期三表征流场的曲线--流线定常流线与非定常流线一个物体在静止的大气里做匀速运动，在静止坐标系上看运动是非定常的只要加上一个与物体速度相反的直匀流速，流动就是定常的（相对坐标）在不同坐标系中受力情况是一样的8第8页，共49页，2023年，2月20日，星期三流管和流面流管的定义经过某一条一般的封闭围线的所有流线气流绝对不会穿越流线运动（相切无法向速度），流动只能限制在流管内流面的定义相邻流线连成的曲面流动无法穿越9第9页，共49页，2023年，2月20日，星期三微团的运动学分析平面流动的微团运动的分析：线变形率角变形率转动10第10页，共49页，2023年，2月20日，星期三微团的运动学分析三维流动的微团运动的分析：包括整体移动、线变形、角变形和角速度

第一项：整体移动

第二项：线变形率

第三、四项：角变形率

第五、六项：角速度11第11页，共49页，2023年，2月20日，星期三微团的运动学分析散度定义：三个方向线变形率之和可压缩与不可压缩对于不可压缩流体：如果流体密度有变化，散度一般不等于012第12页，共49页，2023年，2月20日，星期三微团的运动学分析旋度与位势上面分析得到三个角速度分量，合角速度是某点上微团的瞬时角速度称为旋度有旋流与无旋流（理论意义）无旋条件：即上式为是全微分的必要和充分条件13第13页，共49页，2023年，2月20日，星期三微团的运动学分析若是无旋流，存在全微分这个Φ称为速度位势速度位势在某个方向的偏导数等于速度在那个方向的分量14第14页，共49页，2023年，2月20日，星期三微团的运动学分析有关速度位势的分析速度位势的叫法来自于有势力在保守力场（引力场）中有势力对某个方向取偏导数就等于那个方向的分力无旋流场速度位势的偏导数等于那个方向的分速度类比有势力，无旋速度位势之差与路径无关，绝对值不重要15第15页，共49页，2023年，2月20日，星期三微团的运动学分析速度位势的应用：速度位势是坐标点的函数一个无旋流场一旦知道速度位势的具体函数就可以计算出任何一点的速度，所以对于无旋流场的问题一般归结为如何求流动的速度位势例子：二维流场速度分布此例仅为示意，真实情况中都是先求出位势16第16页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程连续性方程（质量守恒）质量守恒定律在空气动力学中的具体表现形式方程的推导微分形式不可压缩积分形式（方程推导说明：积分和微分形式，哪个更基本？）17第17页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程欧拉方程（运动方程）牛顿第二定律在流体力学中的应用方程的推导：微分形式（欧拉方程）18第18页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程关于方程的说明这三个微分式规定了压强变化和速度变化以及体力之间的关系速度变化和体力的存在是压强改变的原因，彼此独立，可以分开计算某个方向的体力乘以流体的密度就是那个方向的压强梯度（如果只考虑重力—浮力）（只要体力存在，对压强的总有永远是这个计算方法）空气可以忽略体力的影响（根据情况，不能一概而论）速度变化的影响：流速增大，压强降低；流速下降，压强上升；没有流速就没有压强梯度。19第19页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程运动方程的兰姆形式20第20页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程欧拉方程的积分流动无旋，存在速度位势假设体力有势：对兰姆方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加就可以积分了，得21第21页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程对于不可压缩流体的定常流，上式可以积分，得对于气体忽略体力，有这就是低速气流的Bernulli方程，C是总压，可以写成：这个公式与一维流的Bernulli公式形式完全一样，但意义略有不同，这里的积分是在无粘无旋的前提下进行的，总压在整个无旋流场中是常数。如果不是无旋流场怎么办？欧拉方程仍旧可以积分，如何积分？22第22页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程对于有旋流动的欧拉方程的积分：沿流线积分，即增加约束微分方程推导：以dx，dy，dz分别乘以定常流的欧拉方程，得23第23页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程进一步代入流线方程，总加起来有：仍旧假设体力有势，在不可压缩流中可以得到积分：此处的积分是在流线约束下获得的，所以每条流线有一个常数，彼此不同24第24页，共49页，2023年，2月20日，星期三例子机翼绕流25第25页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程积分形式的动量方程：微分形式的动量方程适用于流场的每一点，但不是所有问题都能将每一点的流动弄清楚，一般只需要知道总的合力作用—使用积分形式的动量方程一维流动介绍过动量定理，现在只需简单推广26第26页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程X方向动量方程第一项是当地变化率，与流动无关；后三项是迁移变化率，可以化为穿过S面的动量变化：27第27页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程上述面积分包括流入与流出S的x方向动量，x方向动量的随体导数为：S上x方向全部压力（没有黏性力作用）：X方向体力28第28页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程单位时间内x方向动量变化等于所有x方向的作用力，因此得到x方向积分形式动量方程：X的指向是物体受力的指向29第29页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程y，z方向动量方程同样获得Y，Z方向与前述相同30第30页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程积分形式动量方程的应用使用积分形式的动量方程可以不知道控制面内部的细节，这是很大的优点，有以下基本的使用方法：控制面包围一个物体（机翼）：需要知道机翼所受气动力（不论性质，可以是压力，也可以是黏性力），按照前页公式计算X，Y，Z。前提是必须知道控制面上的流动参数。气流流过管子：管内可以有其他物体（发动机）也可以是空的（风洞），需要求出管壁和管内物体的受力。前提是知道气流进出控制面的参数。包含激波的流动：包含间断面的控制体31第31页，共49页，2023年，2月20日，星期三例子测量二维物体压差阻力的方法32第32页，共49页，2023年，2月20日，星期三例子发动机推力的估算33第33页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程动量矩方程动量矩方程一维中讲过，现在推广到三维S内部某微团P（x，y，z）动量对x轴的矩是总共是（力矩正向为右手）34第34页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程动量矩当地变化率：单位时间内穿过ds的动量对x轴的矩：所有穿过S的净流出动量矩：35第35页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程ds面上压力对x轴的力矩微团体力对x轴的力矩S所围流体的外力力矩36第36页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程按照动量矩定理得到动量矩方程37第37页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程速度位势的物理意义一块流体的边界（包括内部边界，如机翼）可以对流体施以冲击，从而改变流体各微团的运动速度。在边界上施以冲击压强，这个压强可以传遍整个流体（不可压缩声速无穷大）冲击压强：单位面积上的冲量38第38页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程取六面体流体微团受冲击前速度：受冲击后速度：按照冲量等于动量的变化率，列出三个方向的动量方程：39第39页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程三个方向：分别乘以dx,dy,dz，然后相加有如果φ代表冲击以前的速度位势，φ’代表冲击以后的速度位势，上式可以写成：

积分得

积分常数代表一个常值冲击压强，对流体无影响40第40页，共49页，2023年，2月20日，星期三流场基本控制方程结论：解释：凡是具有单值速度位势的流动都可以用适当布置的冲击压强使流动从静止立即发生运动，流场上各点的速度位势就等于该点的冲击压强除以流体密度（差一个负号）对于有旋流动既不能用冲击压强产生，也不能用冲击压强消灭。41第41页，共49页，2023年，2月20日，星期三环量与涡环量与涡的关系：流体力学中两个非常重要的概念环量的定义：在流场中沿一条指定的曲线做速度的线积分就是计算速度与长度乘积的总和，类似作功计算；速度指的是在曲线方向的的投影值；环量线积分是有方向的；此定义对于积分曲线是否封闭没有规定，但一般会沿一条闭合曲线计算速度线积分，如右图，此时42第42页，共49页，2023年，2月20日，星期三环量与涡如果把一个速度向量写成分量，同时线段ds也分解为分量，那么

于是，环量的计算公式为43第43页，共49页，2023年，2月20日，星期三环量与涡对于无旋流，存在速度位势，上述速度分量可以用位势的分量表示

此时环量值与路径无关，只与AB的位置有关，大小为位势函数之差

如果沿封闭曲线积分，那么44第44页，共49页，2023年，2月20日，星