利息理论和年金的计算

利息理论和年金的计算第1页，共123页，2023年，2月20日，星期三导言第2页，共123页，2023年，2月20日，星期三背景知识保险的基本概念精算学及其应用领域寿险精算学的基本思想精算师精算师职业资格考试第3页，共123页，2023年，2月20日，星期三保险的概念保险的概念投保人根据合同约定，向保险人支付保险费，保险人对于合同约定的可能发生事故因其发生所造成的财产损失承担赔偿保险金责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病或者达到约定年龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险行为。关键概念保险合同可保风险第4页，共123页，2023年，2月20日，星期三保险的分类

保险分：非寿险和寿险。非寿险分：财产保险(车险,房屋保险,火灾险,信用险,知识产权保险)和责任保险；寿险（广义）分：人寿保险（狭义）、年金保险（生存保险）和健康保险；狭义的人寿保险分：定期寿险、终生寿险和两全保险。第5页，共123页，2023年，2月20日，星期三定期寿险定期寿险又称死亡寿险。它只提供一个确定时期的保障，如1年、5年、10年、20年或者到被保人达到某个年龄为止，如60岁。如果被保人在这个时期内死亡，保险人向受益人给付保险金。如果被保人期满生存，保险人无给付保险金的责任。第6页，共123页，2023年，2月20日，星期三终身寿险终身寿险是提供终身保障的保险，一般到生命表的终极年龄100岁为止。如果被保险人生存到100岁，保险人则向其本人给付保险金。第7页，共123页，2023年，2月20日，星期三两全保险定期寿险和终身保险都是在被保险人死亡情况下给付保险金。两全保险不仅在被保险人在保险期内死亡时向其受益人给付保险金，而且在被保险人期满生存时也向其本人给付保险金。因此，两全保险是定期寿险和生存保险的综合，与终身寿险的区别是保险有一定期限，其年均衡保费要高于终身寿险。第8页，共123页，2023年，2月20日，星期三精算学及其应用领域精算学概念以概率论和数理统计为基础，与经济学、金融学及保险理论相结合的具有应用性和交叉性的学科。对保险业经营管理的各个环节进行数量分析，为保险业提高管理水平、制定策略和作出经营管理决策提供科学依据和工具的一门学科。第9页，共123页，2023年，2月20日，星期三保险精算学的基本思想损失补偿思想不能阻止风险发生，但能将风险带来的损失降低最小事先防范风险净均衡思想自助互助性大数定律第10页，共123页，2023年，2月20日，星期三为消除投机因素和减少逐年分摊损失中出现的剧烈波动现象，保险经营必须应用大数定律。合理的保险经营必须维持最小限度的投保人数，并且不断使投保人数增加。第11页，共123页，2023年，2月20日，星期三精算师精算师金融、保险、投资和风险管理的工程师。精算师的职责

——保证风险经营的财务稳健性对风险和损失的预先评价对风险事件做出预先的财务安排第12页，共123页，2023年，2月20日，星期三1988年北美精算学会在"未来精算师特别工作组"的报告中指出："精算师是私人和公共财务设计师和潜在的企业管理人员，这是建立在精算职业的智能核心基础上的，其智能核心为经验分析和分析衡量、估算、转移以及对未来意外事件的现行财务状况作出反映"。第13页，共123页，2023年，2月20日，星期三精算师的从业范围诸如在银行、顾问咨询公司、投资公司、大型跨国公司、会计师事务所、工会以及政府机构等处。第14页，共123页，2023年，2月20日，星期三精算师的作用：帮助公司制定养老金计划，确定合适的投资组合，估计公司经营的成本（不确定成本），估计国际商贸和海外投资风险，为政府提供医疗制度的成本分析，工伤赔偿办法、爱滋病对策、社会保障体制等各方面的建议，同时对政府新颁布的法律在经济中的影响提出预测等。与此同时，精算学的研究领域也相应扩大。由于精算师的职业特点，在世界上经济发达国家都建立了精算师考试制度，也设计了一整套课程体系，概括的说包括数理基础课、财经基础课、精算专业基础课、精算专业方向课。第15页，共123页，2023年，2月20日，星期三精算与许多相关学科关系密切1与统计学的关系：精算学是利用统计方法，根据经验数据来分析问题和预测未来发展趋势，例如构造生存模型、编制生命表、建立损失分布、费率和准备金的计算（精算数学、风险理论），因此在精算发展的很长一段时间，把精算学称为"保险统计"。第16页，共123页，2023年，2月20日，星期三2与投资学的关系：投资是经济主体购买金融资产或实物资产，以便在未来某个时期取得与承担风险成比例的收入，其根本问题是投资决策。而精算的生命力就在于应用数学方法处理经济问题，如精算师在识别和控制利率风险以及合理的投资组合等方面的工作是保险公司正常运作的基础，所以精算学在投资领域的应用越来越有优势。第17页，共123页，2023年，2月20日，星期三3、与财务和会计学的关系：会计是管理经济工作的手段之一，它利用资金的价值形式，以货币为只要计量尺度应用专门的核算方法，通过记帐、报帐等程序，对经营活动进行核算和监督，用以制定决策等。由于保险公司的产品定价与一般企业不同，所以在保险公司中精算的职能主要是负责保费设计、准备金核算、红利和佣金的合理匡算，使会计流程规范、合理，起到技术监督职责，使公司财务过程合理化；更重要的是精算将对未来的财务风险作出评估和预测，使企业的经营管理建立在科学的基础上保证确保企业的稳妥经营；第18页，共123页，2023年，2月20日，星期三4、与金融、保险学的关系更是密不可分：精算学是根据保险学的基本原理进行科学定量分析保险业务，大量使用金融工具来对保险公司进行有效的金融管理。因此，精算学也可以说是根据经济学的基本原理，利用数学方法，结合经济、金融、保险等理论，对各种经济活动中的财务风险进行分析、估价和管理的综合性应用科学第19页，共123页，2023年，2月20日，星期三精算师职业资格考试精算师执业资格认证考试体系北美、英国、日本、中国认可标准1998年，欧共体精算协会顾问团公布了欧洲精算培训核心大纲，以此建立欧洲国家精算师互相资格认可1998年国际师精算协会通过了国际精算教育指南和培训大纲，要求至少到2005年以后正是会员的资格符合教学大纲的要求2000年，北美精算学会，英国精算学会对各自的教育大纲进行修改，向国际精算师协会推荐的教育体系靠拢2000年底，开始中国精算师资格考试，2004年，中国精算师分寿险和非寿险两个方向考试。第20页，共123页，2023年，2月20日，星期三中国精算师考试科目及考试内容准精算师部分的考试内容包括：

数学A1金融数学A2精算模型A3经济学基础A4寿险精算A5非寿险精算A6

会计与财务A7精算管理A8不分寿险和非寿险方向，考完8门课，经过职业道德培训后可获中国准精算师资格。第21页，共123页，2023年，2月20日，星期三

精算师部分的考试内容包括：

F1(L/G)保险法及相关法规（寿险/非寿险）F2(L/G)保险公司财务管理（寿险/非寿险）F3个人寿险与年金精算实务F4员工福利计划F5非寿险实务选考F6非寿险定价F7

非寿险责任准备金评估F8投资学F9资产负债管理F10健康保险精算师部分要求完成5门精算师考试课程，既有必考的又有选考的，因寿险和非寿险方向有所不同。经精算职业道德培训后，并具有三年以上的精算工作经验，可获得中国精算师（寿险方向）或中国精算师（非寿险方向）的资格。寿险方向：通过F1L、F2L、F3和F8科目，并在F4、F9和F10这3门科目中至少通过1门科目。非寿险方向：通过F1G、F6、F7和F8科目，并在F2G、F5、F9和F10这4门科目中至少通过1门科目。第22页，共123页，2023年，2月20日，星期三考点北京、上海、天津、广州、厦门等15城市均设有考点。在香港和滑铁卢大学设有两个海外考点。每年春秋两季举办考试。/mainAction.do（.uk/）/

第23页，共123页，2023年，2月20日，星期三与国外考试体系抵免第24页，共123页，2023年，2月20日，星期三（1）通过SOA

资格考试有关科目可免考的CAA考试科目。

通过SOA考试科目免考CAA考试科目ExamP–ProbabilityA1

数学ExamFM-FinancialMathematicsA2

金融数学ExamC–ConstructionandEvaluationofActuarialModelsA3

精算模型

ExamM-ActuarialModels-LifeContingenciesSegment(MLC)A5

寿险精算第25页，共123页，2023年，2月20日，星期三（2）

通过

I&FA资格考试有关科目可免考的CAA考试科目。

①、一对一科目抵免通过IOA考试科目免考CAA考试科目CT3-ProbabilityandMathematicalStatisticsA1

数学CT1-FinancialMathematics

A2

金融数学CT4–Models

和CT6-StatisticalMethodsA3

精算模型CT5–ContingenciesA5

寿险精算第26页，共123页，2023年，2月20日，星期三②准精算师层次整体抵免2011年3月，经中、英精算师协会双方协商，在相互认可彼此考试体系基础上，就准精算师资格考试课程相互认可签订谅解备忘录。取得英国准精算师资格者，可以直接转换中国准精算师A1-A8全部课程。第27页，共123页，2023年，2月20日，星期三③

考生可选择①或②方式进行科目抵免。2011年以后取得中国准精算师资格者，可以直接转换英国准精算师考试基础技能课程（CT1至CT8）8门课程和学习类基础应用课程CA1。有关具体转换要求请登录英国精算师协会网站查询（.uk/）

第28页，共123页，2023年，2月20日，星期三（3）通过CAS资格考试有关科目可免考的CAA考试科目。通过CAS考试科目免考CAA考试科目EXAM1–ProbabilityA1

数学EXAM2-FinancialMathematicsA2

金融数学EXAM4-ConstructionandEvaluationofActuarialModelsA3

精算模型

EXAM5-BasicTechniquesforRatemaking&EstimatingClaim

EXAM6-Reserving,InsuranceAccountingPrinciples,Reinsurance,andEnterpriseRiskManagementA6

非寿险精算第29页，共123页，2023年，2月20日，星期三课程结构利息理论基础(利息理论和确定性年金的计算)生命表基础趸缴纯保费计算均衡纯保费的计算均衡纯保费的责任准备金总保费和修正准备金第30页，共123页，2023年，2月20日，星期三指定教材张连增，寿险精算（2010），中国财政经济出版社。参考资料Kellison,S.G.，TheoryofInterest，2ndEdition,SOA，1991.Bowers,N.L，ActuarialMathematics，2ndEdition，SOA，1997.王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。第31页，共123页，2023年，2月20日，星期三考核办法上课到课率平时作业期末考试第32页，共123页，2023年，2月20日，星期三第零章利息理论基础第33页，共123页，2023年，2月20日，星期三利息理论要点利息的度量利息问题求解的原则确定性年金第34页，共123页，2023年，2月20日，星期三第一节利息的度量第35页，共123页，2023年，2月20日，星期三第一节汉英名词对照积累值现实值实质利率单利复利名义利率贴现率利息效力AccumulatedvaluePresentvalueEffectiveannualrateSimpleinterestCompoundinterestNominalinterestDiscountrateForceofinterest第36页，共123页，2023年，2月20日，星期三

第一节

利息的度量一、定义：利息可定义为使用资本的代价或报酬。资本使用者不一定拥有资本的所有权，他可借入资本来使用，对资本借入者来说，利息就是因他使用资本借出者的资本而支付给后者的代价，对资本借出者来说，利息是他暂时转让资本的使用权而从资本借入者那里得到的报酬。第37页，共123页，2023年，2月20日，星期三第一节

利息的度量（续）二、影响利息的因素１．本金用来生息的资本（即初始投资的资本）以货币计量时，就称作本金。过了一定时期后收到的总金额称为积累值或终值A(t)（假定资本数额的任何变化都是由利息的效应所造成的，即假设在投资期间不再加入或抽出本金）。终值和本金之间的差额就是投资期间内的利息金额。在其他因素不变的情况下，本金越多，可得到的利息也越多。第38页，共123页，2023年，2月20日，星期三第一节利息的度量（续）2．时期在理论上，投资的时间可用许多不同的单位来度量，如日、月、年等，最常用的是一年。在其他因素不变的情况下，使用资本的时期越长，可得到的利息也就越多。考虑时间段，则该时间段内的利息额为，记作，则有第39页，共123页，2023年，2月20日，星期三第一节利息的度量（续）３．通货膨胀（利率）通货膨胀越严重，货币的贬值就越厉害，此时对资本的使用就应得到较高的利息。如不考虑风险因素的话，一般所说的利息实际上是单纯由时间因素引起的资本增值和由通货膨胀因素引起的资本增值共同作用的结果。可见，对未来通货膨胀率的预期会影响到利率的大小。４．风险在经济生活中，存在着各种各样的风险因素，如国家经济政策的变化，资本市场的波动等，它们将影响使用资本得到的收益。一般来说，高风险，高收益，即利息多。正因风险的存在，对资本进行投资不一定获得增值，有时资本可能会贬值，即利息为负，本书中，一般假设利息为非负。第40页，共123页，2023年，2月20日，星期三第一节利息的度量三利息的度量（零）、概念积累函数表示0时刻时的1单位货币到时刻t时的积累值。通常是递增函数。若利息连续增加，则此函数为连续函数，但实际中常存在这样的情况：利息在支付期之间并不连续增加，此时该函数具有间断性。总量函数表示时刻0时的初始投资k到时刻t时的积累值。于是有：第41页，共123页，2023年，2月20日，星期三利息的度量(积累和折现)积累函数总量函数折现函数第N期利息0t1------------------------------K---------------------------------------------------------1K---------------------------k

第42页，共123页，2023年，2月20日，星期三积累和折现是相反的过程一期折现因子简称折现因子，记为v.t期的折现因子是为了使在t期末的累积值为1，而在开始投资的本金金额。为了在t期末得到某个积累值，在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（折现值）。积累值只与过去的付款有关。现值于将来的付款有关。当前值既可与将来的付款有关也可与过去的付款有关。第43页，共123页，2023年，2月20日，星期三（一）利息度量一——计息时刻不同

某一个度量期内（n-1,n）期末计息——利率第N期实际利率（有效利率）期初计息——贴现率第N期实际贴现率（有效贴现率）第44页，共123页，2023年，2月20日，星期三实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11第45页，共123页，2023年，2月20日，星期三实际利率是对期末支付的利息的度量；而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。二率的等价性第46页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求分别等于多少？第47页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.1答案

第48页，共123页，2023年，2月20日，星期三（二）计算利息的方法（多个或非整数个度量期）利息计算有两种基本方法：单利法和复利法。１．单利法(利不生利)２．复利法（利滚利）该法不仅对本金生息，还对产生的利息生息。第49页，共123页，2023年，2月20日，星期三利息度量二——积累方式不同线形积累单利单贴现指数积累复利复贴现第50页，共123页，2023年，2月20日，星期三单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。单贴现的实质贴现率逐期递增，复贴现的实质贴现率保持恒定。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。第51页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.2某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？第52页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.2答案

第53页，共123页，2023年，2月20日，星期三(三)利息的度量三——利息转换频率不同

（一个度量期内利息支付多次或多个度量期内利息支付一次）实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为。名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记

为这一年的名义利率，。利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为。实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。第54页，共123页，2023年，2月20日，星期三名义利率名义利率11第55页，共123页，2023年，2月20日，星期三名义贴现率名义贴现率11第56页，共123页，2023年，2月20日，星期三二率的等价性第57页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。第58页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.3答案1、2、3、第59页，共123页，2023年，2月20日，星期三(四)利息的度量方式之四---利息效力定义：瞬间时刻利率强度（度量每一时间点上的利息或无穷小区间上的利息。）第60页，共123页，2023年，2月20日，星期三等价公式一般公式恒定利息效力场合第61页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、第62页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.4答案第63页，共123页，2023年，2月20日，星期三第二节利息问题求解原则第64页，共123页，2023年，2月20日，星期三一、利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力本金在投资期末的积累值

第65页，共123页，2023年，2月20日，星期三二利息问题求解原则（承认货币的时间价值）利息理论的基本原则：任何时刻资金的积累额依赖于其所经历的时间。过去支付的资金所经历的时间是从支付日到所考察时的时间，资金变化是一个积累过程。未来要支付的资金所经历的时间是从所考察的时间到未来支付日，资金变化是一个折现过程。不同时刻支付的金额不能直接比较，要将各个不同时刻的付款积累或者折现到同一时刻，再进行比较。第66页，共123页，2023年，2月20日，星期三利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具：现金流图（时间图），采用复利。方法：建立现金流分析方程（求值方程）原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。（选择一个便于计算的比较日期）0现金流时间坐标第67页，共123页，2023年，2月20日，星期三基础天数的计算严格单利法常规单利法银行家规则第68页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.5：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？第69页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.5答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）第70页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.6：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？第71页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.6答案（1）（2）第72页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.7：求时间假定分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？第73页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.7答案

第74页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.8：求积累值某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？第75页，共123页，2023年，2月20日，星期三例0.8答案

第76页，共123页，2023年，2月20日，星期三第三节年金第77页，共123页，2023年，2月20日，星期三第三节汉英名词对照年金支付期期末付年金期初付年金永久年金变额年金递增年金递减年金AnnuityPaymentperiodAnnuity-immediateAnnuity-dueperpetuityVaryingannuityIncreasingannuityDecreasingannuity第78页，共123页，2023年，2月20日，星期三一、年金的定义与分类定义按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款，理论上可以连续付款。（购买住房时采取的按揭付款方式、退休者购买或获得养老金领取资格后以年金的方式领取养老金。）第79页，共123页，2023年，2月20日，星期三年金分类确定年金：确定时期内支付确定金额的年金。它的支付次数和支付金额是确定的。零存整取、住房按揭还款、购物分期付款等。生存年金：以年金支付人或受领人生存为条件的年金。其支付金额确定，事先约定的支付次数只是最多可能支付次数，若支付人或受益人死亡则停止给付。如养老金给付、分期交付保费等。（将在第二章介绍）本节介绍确定年金的各种形式和计算方法，为后续各章的寿险理论作铺垫。第80页，共123页，2023年，2月20日，星期三年金分类分类标准型年金等时间间隔付款整个付款期内利率不变且付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定一般型年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金第81页，共123页，2023年，2月20日，星期三年金分类分类付款时刻不同：期末付年金/期初付年金付款期限不同：有限年金/永久年金第82页，共123页，2023年，2月20日，星期三本节内容主要介绍各种形式的确定型年金，并给出各种形式年金的现值及积累值。第83页，共123页，2023年，2月20日，星期三二、确定年金现值和终值的计算（一）标准型年金设年金每期支付一次，利息每期支付一次，每期的有效利率固定不变。以年为基本单位。每次支付额为1.第84页，共123页，2023年，2月20日，星期三标准型年金图示

0123-------nn+1n+2---111----100---111----1000---11----111----111----111----期末付永久年金期初付永久年金期末付年金期初付年金第85页，共123页，2023年，2月20日，星期三（1）期末付定期即期年金的现值和终值设年金额为1，于每年年末支付，共付n年，年实际利率为i，称此种年金为期末付定期即期年金。记其现值和积累值为···t012···n-1n第86页，共123页，2023年，2月20日，星期三期末付定期即期年金（续）有第87页，共123页，2023年，2月20日，星期三期末付定期即期年金（续）第三个式子说明现在投资的１元，在每年年末可获得利息i，且在第n年末还可获得本金１。第88页，共123页，2023年，2月20日，星期三期末付定期即期年金

当n为无穷时，有

这是一个期末付定期即期的永久年金。第89页，共123页，2023年，2月20日，星期三（2）期初付定期即期年金的现值和终值设年金额为1，于每年年初支付，共付n年，年实际利率为i，称此种年金为期初付定期即期年金。···t01···n-1n第90页，共123页，2023年，2月20日，星期三期初付定期即期年金有第91页，共123页，2023年，2月20日，星期三期初付定期即期年金（续）第三个式子说明现在投资的１元，在每年年初可获得利息d，且在第n年年末还可获得本金１。第92页，共123页，2023年，2月20日，星期三期初付定期即期年金

当n为无穷时，有

这是一个期初付定期即期的永久年金。第93页，共123页，2023年，2月20日，星期三（3）期末付定期延期年金的现值和终值

设年金额为１，于m年后开始在每年年末支付，共付n年，年实际利率为i，称此种年金为期末付定期延期年金。t0mm+1m+n第94页，共123页，2023年，2月20日，星期三期末付定期延期年金于是第95页，共123页，2023年，2月20日，星期三期末付定期延期年金有第96页，共123页，2023年，2月20日，星期三期末付定期延期年金（续）当n为无穷时，有

这是一个延期的期末付的永久年金。第97页，共123页，2023年，2月20日，星期三（4）期初付定期延期年金的现值和终值

设年金额为１，于m年后开始在每年年初支付，共付n年，年实际利率为i，称此种年金为期初付定期延期年金。···t0mm+1···m+n-1m+n第98页，共123页，2023年，2月20日，星期三期初付定期延期年金（续）于是第99页，共123页，2023年，2月20日，星期三期初付定期延期年金（续）有第100页，共123页，2023年，2月20日，星期三期初付定期延期年金

当n为无穷时，有

这是一个延期的期初付的永久年金。第101页，共123页，2023年，2月20日，星期三（二）一般型年金第102页，共123页，2023年，2月20日，星期三1.付款频率低于计息频率的年金设年金在k年内支付一次，计息期为n年，每期的有效利率i固定不变。付款次数为n/k(假设为整数)，每次付款为1。第103页，共123页，2023年，2月20日，星期三2.付款频率高于计息频率的年金设年金额为1，在一年内分p次支付，每次支付1/p，每期的有效利率固定不变。第104页，共123页，2023年，2月20日，星期三（1）每年付p次的期末付即期年金的现值和终值