二项式定理教学设计与思考

《二项式定理》教学设计与思考一、教学目标.知识与技能（1）能利用组合数的方法证明二项式定理；（2）理解并掌握二项式定理，并能简单应用..过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力以及化归意识与知识迁移能力，体会从简单到复杂的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳..情感、态度与价值观培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，感受数学史.二、教学重点、难点重点：探究并归纳用组合数的方法得到展开式的形成过程，并由此得到二项式定理.难点：1.展开式中的项的特点;2.展开式中各项系数的确定.三、教学设想为了突破难点、突出重点，我采用化归的思想将二项式展开过程化归到熟悉的（a+b）2,（a+b）3,设计展开（a+b）4,进而探究^+㈠10,引出课题，启发引导学生采用分组合作探究的形式分析、解决问题.四、教学过程设计.数学史屏幕展示科学家牛顿，陈述二项式定理是他在数学史上的第一个发现，引出课题..创设情境设计问题串，创设情境，引出二项式定理的推导过程.问题1：大家可能会问，二项式定理是用来研究什么的？二项式定理就是用来研究6+㈠n（n£N*）是如何展开的.问题2：（a+b）2等于什么？问题3：快速计算（a+b）3,并回答你是用什么方法得到的.问题4：用同样的方法可以快速展开（a+b）10吗？我们要展开（a+b）10就须要知道（a+b）9,要展开（a+b）9就须要知道（a+b）8……这个过程是相当复杂的，那么我们就来研究怎样能够更快地展开（a+b）n.现在如果你是牛顿，你会怎么想（应该从这里面寻找一个规律）？引出寻找一个新的方法，快速展开（a+b）n,保证后面能选取最便捷的方法，并且运用该方法准确、快速地得到答案..教授新课寻找规律。请大家思考一下：第一，我们从什么地方开始寻找规律？第二，这个展开式虽然很复杂，但是只要我们能够抓住几个关键环节就可以把展开式轻松展开，那么，这几个关键环节是什么？我们要找一个规律，这个规律肯定是n£N*,只要在这个范围内什么样的式子都成立.所以我们可以从简单的式子入手，以此类推第二，虽然展开的式子很复杂，但是只要我们抓住这几条：（1）展开后有多少项；（2）各单项式的形式;（3）各单项式的系数.这节课我们将从这三个方面来重点研究问题.首先，让我们对（a+b）2的展开式的形成过程重新进行分析.2ab这一项是ab与ba合并同类项之后形成的.接下来，用新的思想重新考虑系数2是怎样形成的，引出应该从ab这一项是怎样形成的去考虑.ab这一项的形成可以看做：从这两个因式中选择一个因式，让其中一个出现a,另一个出现b.对于一个因式来说，它里面要么出现a,要么出现b,且只能出现一个.因此，出现a了就不能出现b;出现b了就不能出现a.事实上，以谁为研究对象都可以，在这里，我们不妨以b为研究对象，所以引出二项式定理从始至终以b作为研究对象.接着分析ab这一项，ab可以看做是从两个因式中选出一个因式出现b,有C21种可能性，剩下的因式自然就出现a，则只有一种可能，因此我们始终以b为研究对象，就得到了2ab.接下来用同样的思想来探索a2,可以看做从两个因式中选0个因式出现b。因此，对它来说应该是C20a2;最后一项，从两个因式中选出2个，让它们都出现b，就有了C22b2这一项.如此，我们用组合数的方法重新定义了我们所认识的（a+b）2,那么接下来再用同样的方法探索一下（a+b）3具体会出现哪些项（按b的升幂的顺序写出每一项），每一项的形成过程是什么（请学生回答）.强调在以b为研究对象的前提下，在每一项的形成过程中产生了相应项的系数，而系数是用组合数定义的，这是我们最关心的.根据刚才的规律,可以快速推出（a+b）4,利用组合数的思想写出系数C40、C41、C42、C43、C44.现在，以（a+b）2,（a+b）3,（a+b）4作为最基本的研究对象，你能不能从中找到一些规律？还是从我们所说的三点总结，即项数、项数特点、项数系数的特点.学生讨论,并将讨论的结果与大家一起分享.注意：在讨论的过程中，从项数特点上渗透通项，从每一项的形成过程得到每一项的系数，而且按照b的升幂的顺序列出每一项，既简洁又可体现数学里的对称美.从三个方面来寻找规律，从简单到复杂，用归纳推理的思想猜测出二项式定理，进而对其证明.表明二项式定理的特点：（1）Tk+1=Cnkan-kbkk=0，1，2…n.（2）每个式子都有n次，a降幂，b升幂.（3）共有n+1项.（4）Cn0、Cn1…Cnk…Cnn叫做二项式系数.（5）用加号连接.4.课堂巩固例1：求（2-）6的展开式.从本例总结出一个二项式展开式的某一项的二项式系数和系数是两个不同的概念.例2：（1）求（1+2x）7的展开式4项的系数.（2）求（x+）9的展开式x3的系数.本例题中体现了二项式展开式的通项的作用，强调重点内容：Tk+1=Cnkan-kbkk=0，1，2…n.（1）为二项展开式中的第k+1项.（2）利用通项可以求出二项展开式中某些特殊的项：如常数项，含x的n次幂的项，某项的系数等.学习了公式，要学会正用、逆用，还要学会变形用.例3：化简（x-1）4+4（x-1）3+6（x-1）2+4（x-1）+1.5.课堂小结请大家思考：（1）本节课新学习的基本知识点；（2）本节课新知识点的得出用了什么思想方法？让学生回顾知识形成过程，梳理思路，自我归纳总结.6作业（1）在二项式定理中，如果设a=1，b=x，则得到什么公式？（2）试写出（1+b）n的展开式.五、设计思考二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，是组合知识的进一步运用，本节课的教学重、难点是“使学生掌握