苏州大学历年高等代数真题

精品文档2000年真题114分）设f(x),g(x),h(x)都是数域P上的一元多项式，并且满足：精品文档放心下载(x41)f(x)(x1)g(x)(x2)h(x)0（）感谢阅读(x41)f(x)(x1)g(x)(x2)h(x)0感谢阅读（）x41g(x)。214分）设A是nr的矩阵，并且秩（）=，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。感谢阅读315分）求矩阵321的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。0A2223610４(14分)设-2,3,-1是33A36An．５(14分)设A,B都是实数域R上的nn矩阵:AB,BA的特征多项式相等．精品文档放心下载1欢迎下载。精品文档EAEB证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：精品文档放心下载６．(14分设A是nn实对称矩阵,证明：A25A7En是一个正定矩阵．证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．n=0,(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设V,使An10,A精品文档放心下载．证明：{,A,A2,,An1}是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．感谢阅读2000年真题答案2欢迎下载。精品文档11(2)2g(x)0h(x)g(x)

4h(x)（）21将（）带入（）中，得到：(x1)f(x)xg(x)感谢阅读42x4与x互素，x41g(x)．注：本题也可以把作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。精品文档放心下载2、证明：ABAC,A(BC)谢谢阅读A是nr的矩阵,R(r,AAX0．精品文档放心下载BC0,即BCEA2、，0241，22，当时，求出线性无关的特征向量为，0，2＇，2是的特征子空间的一组基．0则L,，,12012-2,3,-1是332,3,123则矩阵36A15,16对应的特征值为：220,1n3故A201636A4800n1,利用构造法，设0、HE1B，AEE0EAE1BE1B，两边取行列式得AE01EABHE11()nE．（１）111EBEB，两边取行列式得E0AEHE11()nE(1)nEAB1＝()nEBA3欢迎下载。精品文档EE（３）．上述等式是假设了0，但是（３）式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（0精品文档放心下载注：此题可扩展为Ａ是mnnm矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：nEmmEnBA个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式．5A5A7E57()设6、2222n故A25A是一个正定矩阵．7En340．证明：An10,An=0.令lAl、ln1An1010用An1左乘（１）式两边，得到l(A0n1)0．An10，带入（１）得l0，ln10，l0再用An2左乘（２）式两端，可得l10．这样继续下去，可得到lll01n110．Aln1An10,A,A2,,An1谢谢阅读(,A,A2,,An1)0(,A,A2,,An1)00．0000010011000Ａ在此基下的矩阵为1000001000000010，可见,R(n1,dimkerAn(n1谢谢阅读即A的核的维数为．2001年真题4欢迎下载。精品文档5欢迎下载。精品文档2002年真题115分）设A1101000001110011110111，0102100032100n1nnn都是n2n1n3n21201矩阵。解矩阵方程AXB。0B1001220分）设143A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵C，使得C1是一个对角矩阵。，A25344

2310分）设k,m,r,sf(x)g(x)。都是非负整数。设f(x)1xx2x3,g(x)x4kx4m1x4r2x4s3。证明：410分）设A，B矩阵，G矩阵，并且G的秩是n。证明：如果AGBGAB都是nn是nm。6欢迎下载。510分）设A是nn矩阵，并且A是可逆的。证明：如果A精品文档与A1的所有的元素都是整数，则A的行列式是-1或1。610分）设A是nn反对称矩阵，证明：A2是半正定的。715分）设A是nn矩阵。如果A2E，并且(AE)nnr，A是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。V810是有理数域V的维数是证明：存在正整数mm是零变换。n，与是VABBAA。2003年真题7欢迎下载。精品文档8欢迎下载。精品文档9欢迎下载。精品文档2004年真题2004年真题答案10欢迎下载。精品文档的10112101X021精品文档放心下载3510201012152解；35311012101115P是010212102220111011011112101521011X3501002131010021由或411511222210210p12且p12i取12则但感谢阅读三（’）设PnV2感谢阅读））{（|V}精品文档放心下载1（）V）1(3)是V(V)=1谢谢阅读1）则(（）(2()(()0感谢阅读则（）））{（|V}感谢阅读11）,2()0,（）{（|V}精品文档放心下载1）{（|V}精品文档放心下载1）{（|V}精品文档放心下载1（）V,则（））精品文档放心下载1=（）+（））精品文档放心下载1即V=）1）(V)(1V()精品文档放心下载((（()）=(谢谢阅读）1V）1（3(V)是谢谢阅读11(V)，V=+谢谢阅读（）），，=（）感谢阅读1（）（（=+=）+（==（）精品文档放心下载()=0，(（）（（=（（+=（（）+()）=（）谢谢阅读（）=（）11欢迎下载。精品文档四（20）设是数域PV的一个线性变换，是感谢阅读1的特征向量，向量组，，……

满足关系12

s（-E）=，i=1，2?…s-1,其中E是恒等变换i精品文档放心下载证明：，，?…线性无关12

s证明：因为（-E）=i所以（），i=1，2?…s-1i精品文档放心下载即k设k+k+?…+k谢谢阅读s01122sii1si(k+k+?…+k)0谢谢阅读1122ss)ks1(()，2?…s-1k感谢阅读11i1i1k1s1ksk011i1ii1i1kk0,由于kss1s0iiiiii1i1i1ks10ii1So,k0

+k+?…+k2132s(k+k+?…+k)0感谢阅读2132s0重复上述过程可得k+k+?…+k3142s继续重复上述过程，我们有k，因为，所以k0s11s从而我们有k0+k+?…+k1122s1再继续上面步骤，可得k0k0精品文档放心下载1由归纳法得kk?…+k012s因此，，……感谢阅读12s线性无关12欢迎下载。精品文档五(20)用正交线性替换三元二次型f(x,x,x)=x2-2x22-4xx+4xx+8x1231231213为标准型,并给出所用的正交线性替换.x23212解:设A为二次型矩阵,A=224242令|EA|0122即224(2)2(7)0242感谢阅读2,71,23对应于2的特征向量为1,21对应于7的特征向量为33正交化(0,1,1),(1,2,2(2,0,1)令(0,1,1)1()11

,)12(,)2222111(1,2,2)31021从而令C122

1122200从而CAC020007令XCY则f(x,x1,x)=XAX=()A(CY)Y'C'2y22y27y223123六(15)设A,B为两个n阶方阵,r(A)r(B)n1,其中n1感谢阅读齐次线性方程组AX=0与BX=0同解,证明:A的非零列与B的非零列的非零精品文档放心下载列成比例,其中A**分别是A,B的伴随矩阵.感谢阅读证明:sincer(A)r(B)n1谢谢阅读so,r(A*)r(B*)1because,AA*AE0,BB*BE0谢谢阅读A的列向量是AX=0的解,B的列向量是BX=0的解感谢阅读For,AX=0与BX=0同解设是A的非零列,是B的非零列=k13欢迎下载。精品文档设,是nV,V,精品文档放心下载((),)(,()),:谢谢阅读:,((,(((),))0谢谢阅读(V)(V)...............................................(1)谢谢阅读),(,(0谢谢阅读((),)(,(0()0,精品文档放心下载)谢谢阅读感谢阅读(V)八(15)设M是数域P上的n(n1),f(x),g(x)x](f(x),g(x))1谢谢阅读Af(M),Bg(M),W,W,W分别是方程组ABXAX0,BX0谢谢阅读12空间,证明:证明:(1),g(M)fWW(M)011221A0f(M)0f(M)g(M)1111WWW11同样WW2WWW12(2)because,(f(x),g(x))

1,so,u(x),v(x)x]u(x)f(x)v(x)g(x)1u(M)f(M)v(M)g(M)E感谢阅读WW,A0,Bf(M)g(M)012(u(M)f(M)v(M)g(M))E0感谢阅读谢谢阅读WW12(3)sinWWW12so,dim(WW)dim(W)12Also,WW{0}dim(WW)dim(W)dim(W)感谢阅读121212dim(W)dim(W)dim(W)....................................................(1)谢谢阅读12Still,r(r(B)nr(AB)感谢阅读ndim(W)ndim(W)nndim(W)谢谢阅读12dim(W)dim(W)dim(W)....................................................(2)感谢阅读12dim(W)dim(W)dim(W)12also,WW12WW1214欢迎下载。精品文档九(10)设V是数域Pn维线性空间,,是V的线性变换,有n个互异谢谢阅读的特征值,证明:与可交换的充分必要条件是:是E,,22线性组合,其中E是恒等变换.n1的证明:因为=,设是的n个互异的特征值,是属于谢谢阅读的特征向量iii则也是的特征向量i,对于每个(i1,2..........n)有(())()

()=(())=()=(精品文档放心下载)iiiiiiiii从而()V由于,所以dim(V)1,(i1,2..........n)感谢阅读iiii故也是的特征向量)i从而uV,使)u,(i1,2..........n)谢谢阅读iiii1于是有(,.........)(,..........)2谢谢阅读1212nnnu1u)2(,)(,.........精品文档放心下载1212nnuxxxn.........un11121n1x.........

xx

u{1......................1）感谢阅读n1222n

2考虑方程组.....................................精品文档放心下载x111n2.........nnunn1n1n111n（）1i(异）)0(互由于系数行列式

22

iji

1ijn1n1nn则方程组有唯一解，设为（a,a......a)12n则a,(i1,2..........n)aau1i2iin即（a）an1au

1i2ii

nii得（aa（）n（））=（）112inii由于,........是V的一组基，因此=aa（）1212nin所以是E,,2n1的线性组合2005年真题15欢迎下载。精品文档120分）设A,B均为n阶方阵A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外其余元素均为0.问A,B是否等价是否合同是否相似感谢阅读么?220分）设A=。vA最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。精品文档放心下载320分）设（）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n（（）都是奇数，则（）没有整数感谢阅读根。420分）设A是一个2n×2n的矩阵。证明：如果对于任意的2n2，矩阵方程B都有解，则A是可逆的。谢谢阅读5有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组的解空间谢谢阅读正交。620分）设，B是n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价：感谢阅读16欢迎下载。（）AB=O,O为零矩阵（）秩(A)+秩(B)=n谢谢阅读精品文档720分）设V是复数域上的n维线性空间，，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明：精品文档放心下载（）如果k是q的特征值，那么（）存在一组基使得、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。感谢阅读810分）设，，C分别是m×n,mn矩阵（）且AC=CB,C的秩为r.精品文档放心下载证明:A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中在原题中k为V的下标。谢谢阅读2006年真题17欢迎下载。f(x,x,x123精品文档)x24x4xxx112132x8x2xx222233变换。212是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵，使得C二、设A254A为对角阵，且写出此对角阵。精品文档放心下载1f(x)axaxax1ann110是一个整系数多项式，证明：如果ana0是一个奇数，则f(x)x-1也不能被x+1A是一个nn矩阵，证明：如果A的秩等于A2的秩，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组A2X=0同解。五、设VQ上的线性空间，id是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，证明：如果325没有特，则18欢迎下载。精品文档征值。A是nn实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明：对任意n维非零的实列向量，都有(A,)(,)b。七、设F[x]是F上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间。精品文档放心下载5f(x)V，定义映射(f(x))r(x)f(x)(x21)q(x)r(x)，r(x)或deg(r(x))2感谢阅读a)证明映射是V的一个线性变换。b)求在基，x,x2,x3,x4下的矩阵。8A,B都是nn矩阵，并且AB=BA。证明：如果A,B都相似于对角矩阵，则A+B也相似于对角矩阵。精品文档放心下载一，化二次型fx,x12,x32xx122xx232xx132007年真题为标准型并给出所用的非退化线性替换.19欢迎下载。精品文档二，求三阶矩阵126的.1072527,R2,矩阵AEnnTT求A的特征多项式.四，设A是n证明：aEA阶反对称矩阵,E为单位矩阵.1求证Q是正交阵.n可逆设,b设Q=E+AEA1阵.求证Q是正交五，设A是3阶对称矩阵且A的各行元素之和都是3,0,1,1,1,2,1TT是AX0的解A的特征值,特征向量,求正交阵Q和矩阵B使得QBQAT精品文档放心下载20欢迎下载。精品文档六，设P是一个数域,Px是Px中次数大于0的多项式,证明：如果对于任意的fx,gx,若有Px|fxgxpx|fxpx|gx,PxPx是不可约多项式.谢谢阅读，那么dimW2dimW1，，12，n,0.W1L,,,12nW,2L,,12,,,证明：ni0,八，设是n维欧氏空间中的一个对称变换则VV2007年真题答案01.解所给二次型的矩阵为A111011为1其特征多项式f()|EA|(1)(2).故特征值为2021欢迎下载。精品文档11,22.121,解对应的特征方程(EA)X0得X(110)T,X21T,X2,解对应的特征方程(2EX0得X(11T.3(101)T.以X,X,X12,X3作为列向量作成矩阵C.则C,且CT.这时做非退化线性替换yxx121xxy213得f(y,y12,y)yy2y2223123.■0yxxx312312610010.1701

02.解EA,将其对角化为01.故A的若当标准形为102700((1)

001■3.解A的特征多项式为f()|EnA|(nTT(n(TT)(n2(2T()(n2(2TTT(n21TTT1TT(1)(1025()).■n22T24.证⑴AT是反对称实矩阵故其特征值为零或纯虚数.,是A的特征值,是相应的特征向量则A(()AA(谢谢阅读TTTTTTTT,又A,故这说明是零或纯虚数由此得|EA|0,因而EA.TT⑵由知EA这说明Q有意义而Q(E1(E,感谢阅读TQTQ(E1(EA)(EA)(EA)1(E1(EA)(EA)(E