线性代数课件

第二章线性方程组§2.1

消元法§2.2

n维向量§2.3

向量组的秩§2.4

矩阵的秩§2.5

线性方程组解的一般理论1引例1一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析用消元法解下列方程组的过程．§2.1

消元法2解3用“回代”的方法求出解：最后一个方程是多余的，不再写出。上述方程组等价于4方程组的特点是:自上而下的各个方程所含未知数的个数依次减少，这种形式的线性方程组，一般称为阶梯型方程组。由原方程化为阶梯型方程的过程称为消元过程，由阶梯形方程组得各未知量的过程称为回代过程。所以方程组的一般解为5其中c为任意常数.（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（以替换）（以替换）（与相互替换）对方程组施行了如下三种变换：6这三种变换的每一种变换都称为线性方程组的初等变换.上述三种变换都是可逆的．

由于三种初等变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．7提出这些数构成矩形数表横排称行，竖排称列，这样的4行5列数表就称为一个四行五列矩阵。简称45矩阵。这个矩阵也称为方程组的增广矩阵。矩阵中的各个数也称为该矩阵的元素。对方程组(1)施以初等变换，就相当于对它的增广矩阵的各行施以相应的变换。它们都称为矩阵的初等行变换。利用矩阵记号，上述消元过程可以非常简单地写成下述形式：8用矩阵的初等行变换解方程组（1）：910回代过程阶梯形矩阵11只要任意取定x3的值，就可以唯一地确定出对应的x1，x2的值，从而得到原方程组的一组解。因此原方程组有无穷多组解。这时，变量x3称为自由未知量可以看出与原方程组同解12这种解的表达式称为线性方程组的一般解引例2解线性方程组13解方程组的增广矩阵是一个35矩阵，对这一矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵由最后的阶梯形矩阵，可得对应的阶梯形方程组14这是一个矛盾方程组，无解。所以原方程组也无解。由上面的讨论可以看出，线性方程组可能无解；也可能有解。在有解的情况下，可能有唯一解；也可能有无穷多组解。利用消元法解线性方程组时，我们只需对其增广矩阵施以初等行变换，并把消元过程和回代过程合并在一起写出即可二、线性方程组解的情况为了便于讨论一般的n元线性方程组的情况，首先须引入矩阵的概念。定义2.115由数域F中mn个数称为数域F上的一个mn矩阵.简称mn矩阵。排成的m

行n

列的数表简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.16例如是一个24实矩阵,是一个33复矩阵,是一个31矩阵,是一个14矩阵,是一个11矩阵.17定义2.2下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:矩阵的初等行(列)变换统称为矩阵的初等变换。18下面考虑一般的线性方程组方程组中各未知量的系数组成一个mn矩阵，19称为方程组的系数矩阵称为方程组的增广矩阵为了讨论方程组的解，只需对增广矩阵施行初等行变换不妨设A的前n列中任意一列的元素不全为零，20再对右下角的(m-1)n矩阵重复施行上述变换，直到最终化为如下的阶梯形矩阵为止：2122这相当于方程组(1)经过一系列方程组的初等变换化为(2)所以方程组(1)与(2)同解。23这一回代过程也可以由相应的阶梯形矩阵自下而上逐次施以初等行变换，化为2425262728综上可得下述结论：线性方程组(1)的增广矩阵通过初等行变换可以化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵所对应的方程组(2)与(1)同解，并且29对于齐次线性方程组所对应的增广矩阵为30所以对它施以行变换，最终可化为：31定理2.2含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解它的系数行列式定理2.1如果齐次线性方程组中方程个数小于未知量个数，即m<n,则方程组有非零解.证3233证毕解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，将其化为阶梯形矩阵：343536由此可得37例2

试确定的值，使齐次线性方程组38解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形有非零解39其对应方程组：40由此得法二此题也可利用系数行列式4142例3

解线性方程组重要题型解43(i)若b2，则方程组无解(ii)若b=2，则44此时，方程组有无穷多组解(c为任意常数)(3)若b=1时，则45方程组有无穷多组解46(c为任意常数)(i)若b2，方程组无解(ii)若b=2，方程组有无穷多组解(3)当b=1时，综上结论：1．解的状况

2．解的判断有n

个未知数，m

个方程的线性方程组复习:线性方程组解的状况与判断47增广矩阵经过一系列初等行变换化为如下形式的阶梯形矩阵其中r:系数部分中元素不全为0的行数(阶梯矩阵中阶梯的个数)48最后矩阵对应的线性方程组为：

（2），有解有唯一解有无穷多解，恰有个非自由未知量.

（1），无解r=增广矩阵中元素不全为0的行数r增广矩阵中元素不全为0的行数r=未知量的个数r<未知量的个数r:系数部分中元素不全为0的行数(有效方程的个数)49判定线性方程组解的状况的基本思路对增广矩阵实施一系列初等行变换，化阶梯形矩阵；在阶梯形矩阵中，根据系数部分中元素不全为0的行数(阶梯矩阵中阶梯的个数)

r与增广矩阵中元素不全为0的行数是否相等来判断是否有解；若有解，再根据r与未知量的个数n之间的关系，判断有唯一解还是无穷解.503.n

个未知量m个方程的齐次线性方程组解的判断

(1)解的状况一定有解

一定为051n个未知量，m个方程的齐次线性方程组

(2)解的状况定理1

如果方程个数m

小于未知量个数n，一定有非零解.定理2