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文档简介

高等代数正交变换第一页，共十四页，2022年，8月28日一、一般欧氏空间中的正交变换1.定义即，欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变，则称为正交变换.注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广.第二页，共十四页，2022年，8月28日2.欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：（定理4）设是欧氏空间V的一个线性变换.3）保持向量间的距离不变，即2）保持向量长度不变，即1）是正交变换；第三页，共十四页，2022年，8月28日证明：首先证明1)与2)等价．即，两边开方得，若是正交变换，则有，(1)(2)若保持向量长度不变，则对第四页，共十四页，2022年，8月28日把(3)展开得，再由(1)(2)即得，(3)是正交变换．第五页，共十四页，2022年，8月28日再证明2)与3)等价．根据２）故3）成立.若则有，即，故2）成立.第六页，共十四页，2022年，8月28日二、维欧氏空间中的正交变换1.

维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换．是V的标准正交基，则也是V的标准正交基.1).若是维欧氏空间V的正交变换，事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质即有，第七页，共十四页，2022年，8月28日2).若线性变换使V的标准正交基变成变换．标准正交基，则为V的正交证明：任取设由为标准正交基，有第八页，共十四页，2022年，8月28日故是正交变换．又由于为标准正交基，得第九页，共十四页，2022年，8月28日2.维欧氏空间V中的线性变换是正交变换在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．设为V的标准正交基，且证明：的标准正交基，当是正交变换时，由1知，也是V而由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.第十页，共十四页，2022年，8月28日设为V的标准正交基，且再由

1

即得为正交变换．由于当A是正交矩阵时，也是V的即，标准正交基，所以，A是正交矩阵．第十一页，共十四页，2022年，8月28日1）正交变换的逆变换是正交变换；2）正交变换的乘积还是正交变换．3.

欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．因而有，（由同构的对称性可得之）（由同构的传递性可得之）第十二页，共十四页，2022年，8月28日4.

维欧氏空间中正交变换的分类：设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基1）如果则称为第一类的（旋转）;2）如果则称为第二类的．下的矩阵是正交矩阵A，则第十三页，共十四页，2022年

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